Número feliç

En el gràfic es representen els números feliços menors a 200. Els nodos del gràfic representen els números, i les vores representen el resultat de la transformació (sumixca dels quadrats dels dígits)

Els números feliços es definixen pel següent procediment: escomençant en qualsevol número entero positiu, es reemplaça el número per la suma dels quadrats dels seus dígits, i es repetix el procés fins que el número és igual a 1 o fins que s'entra en un bucle que no inclou l'1. Els números que en finalisar el procés terminen en 1 són coneguts com a números feliços. Aquells que no, són coneguts com a números infeliços (o trists). Un número primo que ademés és un número feliç es diu primer feliç.

Definició

Més formalment, donat un número $n$ de tal modo que $n_i=n^2$, es definix una seqüència $n_1$, $n_2$,... a on $n_{i+1}$ és la suma dels quadrats dels dígits de $n_i$. Llavors $n$ és feliç si i només si existix i de tal modo que $n_{i+1}=1$.

n &li; 100

7 és un número feliç, ya que:

7² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1.

Si $n$ no és feliç la suma dels quadrats entrarà en un bucle (de periodo 8):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4,...

Fòrmula

Existix una fòrmula recursiva que permet comprovar si un número és feliç despuix d'una série de iteraciones.

Siga $b_1$ el número a comprovar. Si $b_f=1$ despuix d'algunes iteraciones es considera llavors que $b_1$ és feliç.

$b_f=\sum _{n=0}^{\lfloor (\frac{\log (b(-1+f))}{\log (10)})\rfloor }{(-10\lfloor ({10}^{-1-n}b(-1+f))\rfloor +\lfloor \frac{b(-1+f)}{{10}^n}\rfloor )}^2$.