Número primo primer

En matemàtiques, els cosins primers són número primo que diferixen entre sí en quatre unitats. El concepte sorgix a partir del de primers bessons, açò és, les parelles d'número primo la diferència dels quals és dos unitats. Existix també un nom per als cosins que diferixen en 6 unitats: cosins sexys.

En la OEIS es correspon en les successions A023200 i A046132.

Les primeres parelles de cosins primers (tots menors que 1000) són:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Propietats

L'únic número primo que pertany a dos parells de cosins primers és el 7. Un dels números n, n+4, n+8 sempre serà divisible per 3, per lo que solament per a n = 3 es dona el cas de que en eixa terna apareixen tres cosins primers.

La major parella de cosins primers trobada fins a la data és (p, p + 4) a on

p = 4111286921397 · (2 ^ 66420) + 1

el qual té 20008 dígits. De fet, este número és part d'una terna primera puix p és també un primer bessó (perque p − 2 és també primer).

La parella de primers cosins provables més gran coneguda és:

474435381 · (2 ^ 98394) − 1

474435381 · (2 ^ 98394) − 5.

que tenen 29629 dígits i va ser trobada per Angel, Jobling i Augustin. S'ha demostrat que és primer el primer d'estos números, mentres que el segon és un cosí provable.

De la primera conjectura de Hardy–Littlewood se seguix que els cosins primers tenen la mateixa densitat asintòtica que els primers bessons.

Es pot definir un equivalent a la Constant de Brun para primers bessons, cridada constant de Brun per a cosins primers, per la següent série convergent, a on el terme inicial (3, 7) s'omet:

$B_4=(\frac{1}{7}+\frac{1}{11})+(\frac{1}{13}+\frac{1}{17})+(\frac{1}{19}+\frac{1}{23})+\cdots .$

Utilisant primers cosins fins a 2⁴², el valor de B₄ va ser estimat per Marek Wolf, en 1996 en

B₄ ≈ 1.1970449.

Esta constant no deuria confondre's en la constant de Brun per a cuádruplas de cosins, que també es nota com a B₄.

El número de Skewes per als cosins primers és $5206837$ (Tóth, 2019)

Vore també

• Primers bessons
• Cosins sexys
• Número primo / Primer de Solinas
• Conjectura dels número primo bessons
• Constant de Brun

Bibliografia

• Wells (2011). Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, p. 33. ISBN 978-1118045718.
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2007). Number theory: an introduction via the distribution of primes, Birkhäuser, pp. 206. ISBN 978-0817644727.
• .

• Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications.250(1–4)

335–344.doi:10.1016/s0378-4371(97)00661-4.