Objecte zero (àlgebra)

Morfismos des d'i cap a l'objecte zero

En àlgebra, el objecte zero d'una estructura algebraica donada és, en el sentit explicat a continuació, l'objecte més simple de dita estructura. Es tracta d'un conjunt unitari, i com magma té una estructura de grup trivial, que també és abeliano. L'estructura de grup abeliana abans mencionada generalment s'identifica en la adició, i l'únic element es diu zero, per lo que l'objecte en sí es denota típicament com {0}. És habitual referir-se a el "objecte trivial" (d'una categoria especificada) ya que cada objecte trivial és isomòrfic a qualsevol un atre (baixe un isomorfisme únic).

Casos

Les instàncies de l'objecte zero inclouen, entre unes atres, les següents:

• Com grup, el grup zero o grup trivial.
• Com anell, el anell zero o anell trivial.
• Com àlgebra sobre un cos o sobre un anell, el àlgebra trivial.
• Com mòdul (sobre un anell R), el mòdul zero. El terme mòdul trivial també s'utilisa, encara que pot resultar ambigu, ya que un mòdul G trivial és un G-mòdul en una acció trivial.
• Com un espai vectorial (sobre un cos R), el espai vectorial zero, espai vectorial de dimensió zero o simplement espai zero.

Estos objectes es descriuen de forma conjunta no solament en funció de l'estructura comuna del grup únic i trivial, sino també de les propietats teòriques de les categories compartides.

En els últims tres casos, la multiplicació escalar per un element de l'anell base (o cos) es definix com:

κ0 = 0 , a on κ ∈ R.

El més general d'ells, el mòdul zero, és un mòdul de generació finita en un conjunt generador buit.

Per a estructures que requerixen l'estructura de multiplicació dins de l'objecte zero, com el anell trivial, solament hi ha un producte possible, 0 × 0 = 0, perque no hi ha elements distints de zero. Esta estructura és associativa i conmutativa. Un anell R que té una identitat tant aditiva com multiplicativa és trivial si i solament si 1 = 0, ya que esta igualtat implica que para tot r dins de R,

$r=r\times 1=r\times 0=0.$

En este cas és possible definir la divisió per zero, ya que l'element individual és el seu propi invers multiplicativo. Algunes propietats de {0} depenen de la definició exacta de l'identitat multiplicativa (consulte's Estructures unitàries a continuació).

Qualsevol àlgebra trivial és també un anell trivial. Un àlgebra sobre un cos trivial és simultàneament un espai vectorial zero considerat més alvance. Sobre un anell conmutativo, un àlgebra trivial és simultàneament un mòdul zero.

L'anell trivial és un eixemple d'anell de quadrat zero. Un àlgebra trivial és un eixemple d'àlgebra zero.

L'espai vectorial de dimensió zero és un eixemple especialment ubic d'un objecte zero, un espai vectorial sobre un cos en una base buida. Per lo tant, té dimensió zero. També és un grup trivial sobre la adició i un mòdul trivial.

Propietats

2↕	$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$	=	$\left[\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
L'element de l'espai zero, escrit com vector columna buit (el situat més a la dreta), es multiplica per la matriu 2 × 0 per a obtindre el vector zero bidimensional (el situat més a l'esquerra). Es respecten les regles de la multiplicació de matrius.

L'anell trivial, el mòdul zero i l'espai vectorial zero són objectes zero de les corresponents categories, és dir, Rng, R-Mod i Vect_R.

L'objecte zero, per definició, deu ser un objecte terminal, lo que significa que un morfismo A → {0} deu existir i ser únic per a un objecte arbitrari A. Este morfismo assigna qualsevol element de A a 0.

L'objecte zero, també per definició, deu ser un objecte inicial, lo que significa que deu existir un morfismo {0} → A i ser únic per a un objecte arbitrari A. Este morfismo s'aplica a 0, l'únic element de {0}, en l'element zero 0 ∈ A, cridat vector zero en espais vectorials. Este aplicació és un monomorfismo i, per lo tant, la seua image és isomòrfica a {0}. Per a mòduls i espais vectorials, este subconjunt {0} ⊂ A és l'únic mòdul generat buit (o subespacio vectorial de dimensió 0) en cada mòdul (o espai vectorial) A.

Estructures unitàries

L'objecte {0} és un objecte final de qualsevol estructura algebraica a on existixca, com es va descriure en els eixemples anteriors. Pero la seua existència i, si existix, la propietat de ser un objecte inicial (i per lo tant, un "objecte zero" en el sentit de la teoria de categories) depenen de la definició exacta del element neutre 1 en una estructura específica.

Si la definició de 1 requerix que 1 ≠ 0, l'objecte {0} no pot existir perque pot contindre solament un element. En particular, l'anell zero no és un cos. Si els matemàtics a voltes parlen d'un cos en un element, este objecte matemàtic abstracte i alguna cosa misteriós no és un cos.

En categories a on l'identitat multiplicativa deu ser preservada per morfismos, pero pot ser igual a zero, l'objecte {0} pot existir. Pero no com a objecte inicial, perque els morfismos que preserven l'identitat de {0} a qualsevol objecte a on 1 ≠ 0 no existixquen. Per eixemple, en categoria d'anells, l'anell dels número entero Z és l'objecte inicial, no {0}.

Si una estructura algebraica requerix l'identitat multiplicativa, pero ni la seua preservació per morfismos ni 1 ≠ 0, llavors existixen zero morfismos i la situació no és diferent de les estructures no unitàries considerades en la secció anterior.