Octaedre truncat

Octaedre truncat

El Octaedre truncat és un sòlit de Arquímedes que s'obté truncant cada vèrtiç d'un octaedre. També denominat tetracaidecaedro o poliedre de Kelvin, per ser este el que va demostrar la singularitat de que és l'únic poliedre semirregular que pot omplir l'espai per repetició de sí mateixa.

Construcció

Archiu:Square Pyramid.svg

Un octaedre truncat es construïx a partir d'un octaedre regular de llongitut lateral $3a$, al com se li eliminen sis piràmides quadrades, una en cada vèrtiç. Dites piràmides tenen una llongitut de base $a$ i una llongitut lateral $e=a$, formant triànguls equiláteros. Sent l'àrea de cada u d'estos de $a^2$. Tinga en conte que cada una d'estes formes són exactament mijos octaedres i en estar eliminant 3 parells d'estes piràmides, es formen 3 octaedres també regulars d'aresta $a$.

De les propietats de les piràmides quadrades, podem calcular l'altura inclinada, $s$, i l'altura, $h$, de la piràmide:

$\begin{array}{cccc}h& =\sqrt{e^2-\frac{1}{2}{a}^2}& & =\frac{1}{\sqrt{2}}a\\ s& =\sqrt{h^2+\frac{1}{4}{a}^2}& & =\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2}& & =\frac{\sqrt{3}}{2}a\end{array}$

El volum, $h$, esta donat per:

$V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$

Ya que s'eliminen les sis piràmides per truncació, resultant una pèrdua de volum de $\sqrt{2}{a}^3$.

Àrea i volum

L'àrea $A$ i el volum $V$ d'un octaedre truncat l'aresta del qual medix $a$ són:

$A=6(2\sqrt{3}+1)\approx 26.7846097a^2$

$V=8\sqrt{2}{a}^3\approx 11.3137085a^3$