Orde monomial

En Àlgebra, un orde monomial o orde admissible és una ordenació del conjunt de monomis d'un anell, que s'utilisa per a poder establir un algoritme de divisió en polinomis de vàries variables.

Definició

Siga $R$ un anell conmutativo i $S:=\{x_1,\mathrm{...},x_n\}$ un conjunt d'indeterminades. Siga $ℳ$ el conjunt de monomis sobre $S$ (com és habitual, denotem per $X$ al monomi $x_1\cdot x_2\cdot \mathrm{...}\cdot x_n$, i donat el multiíndice $\alpha =({\alpha }_1,\mathrm{...},{\alpha }_n)\in {\mathbb{N}}^n$, denotarmos per $X^{\alpha }$ al monomi $x_1^{{\alpha }_1}\cdot \mathrm{...}\cdot x_n^{{\alpha }_n}$; ací entendrem per monomis a productes d'indeterminades, sense coeficients en l'anell). Es diu que < és un orde monomial si es complix que:

• < és un orde total en $ℳ$.

Daus $\alpha ,\beta ,\gamma \in {\mathbb{N}}^n$ de manera que $X^{\alpha }<X^{\beta }$, llavors es cumle que $X^{\alpha }{X}^{\gamma }<X^{\beta }{X}^{\gamma }$.

En alguns texts s'exigix una atra condició, la de que < siga un bon orde en $ℳ$. Nosatres denominarem orde monomial global a tot orde monomial que també és bon orde. Açò es fa aixina per a permetre certs tipos d'órdens monomiales sobre anells locals que resulten ser molt útils.

Orde monomial global

Un orde monomial < sobre $ℳ$ es diu que:

és artiniano si tot subconjunt no buit té element mínim (és dir, és bon orde);

és global si tota variable és major que l'unitat de l'anell, és dir, $1<x_i$ qualsevol que siga el $i\in \{1,\mathrm{...},n\}$;

• refina l'orde parcial definit per la divisió si es complix que $X^{\alpha }<X^{\beta }$ si $X^{\alpha }$ dividix a $X^{\beta }$.

El fet de que un orde monomial siga global és equivalent a que siga artiniano i a que refine l'orde parcial definit per la divisió.

Orde monomial local

Un orde monomial < sobre $ℳ$ es diu que és local si l'unitat de l'anell és major que tota variable, és dir, si $x_i<1$ qualsevol que siga el $i\in \{1,\mathrm{...},n\}$.

Referències

David A. Cox, John B. Little, Dò O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (Springer Verlag, 2ª edició, 1997) ISBN 0-387-9480-2.

• Wolfram Decker, Frank-Olaf Schreyer, Varieties, Gröbner Bases and Algebraic Curves.