Paradoxa de Berry

La paradoxa de Berry és l'aparent contradicció que deriva de frases com esta:

El menor sancer positiu que no es pot definir en menys de quinze paraules.

El següent argument sembla provar que esta frase definix un únic sancer positiu N. El número de frases que es poden formar en menys de quinze paraules és finito. Algunes d'estes frases poden descriure un sancer positiu específic, per eixemple «mil trescents vintisset», «el primer número primo major que cent millons» o «dos elevat a tretze». No obstant, unes atres de les frases descriuen coses que no són sancers, per eixemple "William Shakespeare" o "Torre Eiffel". En qualsevol cas, el conjunt A de sancers que es poden definir en menys de quinze paraules és finito. ya que A és finito, no pot contindre tots els sancers positius, de modo que té que haver un número entero positiu N que siga el menor de tots els número entero positius que no estan continguts en A.

Llavors, com hem dit, el número N és el menor sancer positiu que no es pot definir en menys de quinze paraules. Pero llavors resulta que la frase «El menor sancer positiu que no es pot definir en menys de quinze paraules» definirà a este número N. I, no obstant, dita frase té només catorze paraules.

Açò és clarament paradòxic, i sembla sugerir que «que no es pot definir en menys de quinze paraules» no està ben definit. No obstant, és possible construir una expressió anàloga en llenguage matemàtic formal, com ha fet Gregory Chaitin. A pesar de que l'expressió anàloga en llenguage formal no du a una contradicció llògica, sí té certs resultats impossibles, incloent una teorema de incompletitud similar al teorema de la incompletitud de Gödel.

La paradoxa de Berry va ser proposta per Bertrand Russell (Russell, 1906). Russell a la seua volta, la va atribuir a G. G. Berry, bibliotecari en cap de la biblioteca Bodleiana de l'Universitat d'Oxford (cf. Russell and Whitehead 1910), que havia sugerit l'idea d'estudiar la paradoxa associada a l'expressió "el primer número ordinal que no es pot definir".

Resolució de la paradoxa

Se sol acceptar que la paradoxa de Berry i atres paradoxes similars (com la paradoxa de Richard) provenen de l'interpretació de conjunts d'expressions que es autorreferencian. D'acort en (Russell i Whitehead, 1910) estes paradoxes «encarnen falàcies de círcul viciós». Resoldre una d'estes paradoxes significa localisar exactament on comença l'error en l'us del llenguage i restringir-ho per a evitar-les.

Algunes expressions d'este tipo no presenten la paradoxa:

El menor sancer positiu que no es pot definir en menys de dos paraules.

que baixe qualsevol us raonable del idioma espanyol descriu al 31, ya que "Trentaú" són tres paraules i qualsevol definició indirecta d'eixe número (com «el número de dies en giner», o inclús «El menor sancer positiu que no es pot definir en menys de dos paraules») tenen necessàriament dos o més paraules.

Referències

• Charles H. Bennett, On Random and Hard-to-Descriu Numbers, IBM Report RC7483 (1979) (disponible en: http://www.research.ibm.com/people/b/bennetc/onrandom.pdf).
• George Boolos, A new proof of the Gödel Incompleteness Theorem. Notices of the American Mathematical Society, 36(4), pp. 388-390.
• Bertrand Russell, Els paradoxes de la logique, Revue de métaphysique et de morale, vol 14, pp 627-650.
• Bertrand Russell and Alfred North Whitehead, Principia Mathematica, Cambridge University Press.