Potencial de Morse

Archiu:Morse-potential.svg

El potencial de Morse (blau) i el potencial d'oscilador harmònic (vert). A diferència dels nivells d'energia del potencial d'oscilador harmònic, que estan equiespaciados per ħω, l'espai entre els nivells del potencial de Morse decreix al mateix temps que l'energia s'aproxima a l'energia de dissociació d'enllaç. L'energia de dissociació D_i és major que la verdadera energia requerida per a la dissociació D₀ per l'energia de punt zero del nivell vibracional més baix (v = 0).

El potencial de Morse, nomenat aixina en honor al físic Philip M. Morse, és un model convenient per a l'energia potencial d'una molècula diatómica. És una millor aproximació per a l'estructura vibracional de la molècula que l'oscilador harmònic quàntic perque inclou explícitament els efectes de la ruptura de l'enllaç, tals com l'existència d'estats no enllaçats. També dona conte de l'anarmonicidad dels enllaços reals i de la provabilitat de la transició no-zero per als sobretonos i les bandes de combinació. El potencial de Morse també pot usar-se per a modelar atres interaccions com la que es dona entre un àtom i una superfície. Per la seua simplicitat (només tres paràmetros ajustables), no és utilisada en la espectroscopía moderna. No obstant, la seua forma matemàtica va inspirar el potencial MLR (Morse de llarc alcanç, Morse/Long-range), el qual és la funció d'energia potencial més popular per a explicar les senyes espectroscópicos.

Funció d'energia potencial

La funció de l'energia potencial de Morse té la següent forma:^[1]

$V^{'} (r) = D_{e} (1 - e^{- α (r - r_{e})})^{2}$

A on $r$ és la distància entre els àtoms, $r_{e}$ és la distància d'enllaç a l'equilibri, $D_{e}$ és la profunditat del pou (definida en relació en els àtoms disociados) i $α$ és una variable que controla l'ample del potencial (mentres més menut siga $α$ , més gran és el pou). L'energia de dissociació de l'enllaç pot ser calculada en restar l'energia de punt zero $E_{0}$ de la profunditat del pou. La constant de força (rigidea) de l'enllaç pot trobar-se per mig d'una expansió de Taylor de $V^{'} (r)$ quan $r = r_{e}$ per a la segona derivada de la funció d'energia potencial, del com pot demostrar-se que el paràmetro $α$ és:

$α = \sqrt{\frac{k_{e}}{2 D_{e}}}$

A on $k_{e}$ és la constant de força en el mínim del pou.

Degut a que el zero de l'energia potencial és arbitrari, l'equació del potencial de Morse pot ser reescrita en qualsevol número de formara agregant o restant un valor constant. Quan s'utilisa per a modelar l'interacció àtom-superfície, l'energia zero pot ser redefinida per a que el potencial tinga la forma:

$V^{'} (r) = V^{'} (r) - D_{e} = D_{e} (1 - e^{- α (r - r_{e})})^{2} - D_{e}$

La qual cosa, normalment s'escriu com:

$V (r) = D_{e} (e^{- 2 α (r - r_{e})} - 2 e^{- α (r - r_{e})})$

A on $r$ és la coordenada perpendicular a la superfície. Esta forma aproxima el zero a un valor de $r$ infinit i iguala $- D_{e}$ en el seu mínim. Açò mostra que el potencial de Morse és la combinació d'un terme repulsivo de curt alcanç (el primer) i un terme atractiu de llarc alcanç (el segon), anàlec al potencial de Lennard-Jones.

Estats vibracionales i energies

Archiu:N2ground.png

Comparació entre el potencial calculat utilisant l'oscilador harmònic quàntic (gris) i el potencial de Morse (negre). Es mostren les curves en les seues respectives eigenfunciones (verda per a OAC i blava per a Morse), per al mateix nivell vibracional del nitrogen.

De la mateixa forma que oscilador harmònic quàntic, les energies i eigenestados del potencial de Morse poden trobar-se utilisant operadors.^[2] Una aproximació involucra aplicar el método d'factorización al Hamiltoniano.

Estats estacionarios

Per a escriure els estats estacionarios en el potencial de Morse, per eixemple les solucions $Ψ_{n} (r)$ i $E_{n}$ de la següent equació de Schrödinger:

$(- \frac{h^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}) + V (r)) Ψ_{n} (r) = E_{n} Ψ_{n} (r)$

és convenient introduir les variables:

$x = a r ‖ x_{e} = a r_{e} ‖ λ = \frac{\sqrt{2 m D_{e}}}{a ℏ} ‖ ϵ_{n} = \frac{2 m}{a^{2} ℏ^{2}} E_{n}$

Per lo tant, l'equació de Scrhödinger, pren la forma:

$(- \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V (x)) Ψ_{n} (x) = ε_{n} Ψ_{n} (x)$

i

$V (x) = λ^{2} (e^{- 2 (x - x_{e})} - 2 e^{- (x - x_{e})})$

Eigenvalores i eigenestados

I els seus eigenvalores i eigenestados poden ser escrits:^[3]

$ε_{n} = - {(λ - n - \frac{1}{2})}^{2}$

a on

$n = 0, 1, ..., [λ - \frac{1}{2}]$

en $x$ representant la major integral menor a $x_{e}$

$Ψ_{n} (z) = N_{n} z^{λ - n - \frac{1}{2}} e^{- \frac{1}{2} z} L_{n}^{(2 λ - 2 n - 1)} (z)$

a on:

$z = 2 λ e^{- (x - x_{e})}$

$N_{n} = {[\frac{n! (2 λ - 2 n - 1) a}{Γ (2 λ - n)}]}^{\frac{1}{2}}$

i $L_{n}^{(a)} (z)$ és un polinomi de Laguerre generalisat de la forma:

$L_{n}^{(a)} (z) = \frac{z^{- a} e^{z}}{n!} \frac{d^{n}}{d z^{n}} (z^{n + a} e^{- z}) = {\frac{Γ (a + n + 1) / Γ (a + 1)}{n!}}_{1} F_{1} (- 1 n, α +), z)$

Expressió analítica

També existix la següent expressió analítica per a elements de la matriu de l'operador coordinat:^[4]

$⟨ Ψ_{m} | x | Ψ_{n} ⟩ = \frac{2 (- 1)^{m - n + 1}}{(m - n) (2 N - n - m)} \sqrt{\frac{(N - n) (N - m) Γ (2 N - m + 1) m!}{Γ (2 N - n + 1) n!}} .$

que és vàlit sempre que $m > n$ i $N = λ - 1 / 2$ .

Energia

Les eigenenergías de les variables inicials tenen la forma:

$E_{n} = h ν_{0} (n + 1 / 2) - \frac{[h ν_{0} (n + 1 / 2)]^{2}}{4 D_{e}}$

a on n és el número quàntic vibracional i $ν_{0}$ té unitats de freqüència. Esta última està relacionada matemàticament a la massa de la partícula ( $m$ ) i a les constants de Morse per mig de l'expressió:

$ν_{0} = \frac{a}{2 π} \sqrt{\frac{2 D_{e}}{m}}$

Espaciamiento de nivells energètics

Mentres que el espaciamiento d'energia entre nivells vibracionales en l'oscilador harmònic quàntic és constant (en un valor de $h ν_{0}$ ), l'energia entre nivells adjacents en l'oscilador de Morse disminuïx conforme aumenta $ν$ . Per lo tant, este espaciamiento entre nivells de Morse pot descriure's en l'expressió:

$E_{n + 1} - E_{n} = \frac{h ν_{0} - (n + 1) (h ν_{0})^{2}}{2 D_{e}}$

Esta tendència coincidix en la anarmonicidad de molècules reals. No obstant, esta equació falla per valors dalt de $n_{m}$ a on $E (n_{m} + 1) - E (n_{m})$ posseïx valors negatius o zero. Específicament:

$n_{m} = \frac{2 D_{e} - h ν_{0}}{h ν_{0}}$

Esta falla es deu al número finito de nivells enllaçats en el potencial de Morse, a on existix un nivell màxim $n_{m}$ que encara permaneix enllaçat i per a energies superiors, l'enllaç es trenca i tots els nivells d'energia possibles són permesos puix l'equació per a $E_{n}$ cuantizada ya no és vàlida.

Per baix d'eixe nivell màxim $n_{m}$ , $E_{n}$ és una bona aproximació per al valor vibracional verdader en molècules diatómicas que no rotan. De fet, l'espectre molecular real generalment s'ajusta a la forma:

$\frac{E_{n}}{h c} = ω_{e} (n + 1 / 2) - ω_{e} χ_{e} (n + 1 / 2)^{2}$

en el que les constants $ω_{e}$ i $ω_{e} χ_{e}$ poden relacionar-se directament en els paràmetros del potencial.

Com pot observar-se si es realisa l'anàlisis dimensional, l'última equació utilisa notació espectroscópica (per raons històriques) en les que $ω_{e}$ representa el número segons l'equació $E = h c ω$ , en lloc d'utilisar freqüència angular, segons l'equació $E = ℏ ω$

Referències

↑ Physical Review.34(1)
57–64.doi:10.1103/PhysRev.34.57.Consultat el 2021-09-03.
↑ Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, {{{nom3}}} (2001-06). Supersymmetry in Quàntum Mechanics (en en), WORLD SCIENTIFIC. doi:10.1142/4687. ISBN 978-981-02-4605-1.
↑ The Journal of Chemical Physics.88(7)
4535–4547.ISSN 0021-9606.doi:10.1063/1.453761.Consultat el 2021-09-03.
↑ Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics.38(7)
815–825.ISSN 0953-4075.doi:10.1088/0953-4075/38/7/004.Consultat el 2021-09-08.

Este artícul conté una traducció derivada de «Potencial de Morse» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Physical Review.34(1)
57–64.doi:10.1103/PhysRev.34.57.Consultat el 2021-09-03.

[2] Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, {{{nom3}}} (2001-06). Supersymmetry in Quàntum Mechanics (en en), WORLD SCIENTIFIC. doi:10.1142/4687. ISBN 978-981-02-4605-1.

[3] The Journal of Chemical Physics.88(7)
4535–4547.ISSN 0021-9606.doi:10.1063/1.453761.Consultat el 2021-09-03.

[4] Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics.38(7)
815–825.ISSN 0953-4075.doi:10.1088/0953-4075/38/7/004.Consultat el 2021-09-08.

[1]

[2]

[3]

[4]