Problema de Stefan

En matemàtiques, un Problema de Stefan és un tipo específic de problema de condició de contorn per a una equació en derivades parcials, adaptat al cas en que la frontera de canvi de fase es desplaça en el temps. Este tipo de problema és particularment important en el camp de les transicions de fase en la matèria. Deu el seu nom a Josef Stefan, el físic eslové que va descobrir el tipo genèric d'estos problemes cap a 1890, en estudiar problemes de formació de gèl. El tema havia segut considerat prèviament en 1831, per Lamé i Clapeyron.

Els problemes de Stefan són eixemples de problemes en condicions de contorn lliure para equacions parabòliques. La condició de Stefan és l'expressió en funció de la variació de temperatura de la conservació de l'energia, en el punt del canvi de fase.

Formulació matemàtica

El problema de Stefan unidimensional d'una fase

Siga un bloc de gèl semi-infinit unidimensional inicialment a la temperatura de fusió o ≡ 0 per a x ∈ [0, +∞). Un fluix de calor f(t) és proveït en la frontera esquerra del domini lo que produïx el derretimiento del bloc resultant un segment [0, s(t)] d'aigua líquida. La llongitut de la zona derretida de gèl del bloc, expressada com s(t), és una funció desconeguda del temps; la solució del problema de Stefan és trobar o i s tals que

$\begin{array}{cccccc}\frac{\partial u}{\partial t}& =\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}& & \text{en }\{(x,t):0<x<s(t),t>0\},& & \text{la ecuación del calor},\\ -\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)& =f(t),& & t>0,& & \text{la condición de Neumann en el extremo izquierdo del dominio que describe el flujo de calor aplicado},& & \\ u(s(t),t)& =0,& & t>0,& & \text{la condición de Dirichlet en la interfase líquido-hielo: fijando la temperatura de fusión/congelamiento},\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}& =-\frac{\partial u}{\partial x}(s(t),t),& & t>0,& & \text{la condición de Stefan},\\ u(x,0)& =0,& & x\ge 0,& & \text{distribución inicial de temperatura},\\ s(0)& =0,& & & & \text{longitud de la zona inicial de hielo derretido}.\end{array}$

Referències

Referències històriques

• . Un treball interessant dels començos de la teoria és una versió d'un borrador (en format PDF) que es pot consultar en [1].

Referències científiques i generals

• . Conté una extensa bibliografia, consistent en 460 treballs que tracten sobre el problema de Stefan i atres problemes de condicions de contorn lliures, actualisada a 1982.
• . Plantilla:Subscription needed Una important monografia d'un dels principals autors en este camp, descrivint la seua demostració de l'existència d'una solució clàssica per al problema de Stefan multidimensional i analisant el seu desenroll històric.
• . El treball conté la demostració d'Olga Oleinik de l'existència i unicitat d'una solució generalisada per al problema de Stefan tridimensional, basada en investigacions del seu alumne S.L. Kamenomostskaya.
• .
• . .
• . Una referència àmplia, obra d'un dels principals autors de la teoria, actualisat a 1962–1963 i en una bibliografia de 201 treballs.
• . Una impressionant bibliografia de l'autor sobre els problemes de frontera lliure i en desplaçament (M–FBP) per a l'equació de difusió de la calor (H–DE), conté unes 5900 referències a treballs provinents d'unes 884 diferent tipos de publicacions. L'objectiu enunciat és intentar proveir una àmplia cobertura de la lliteratura físic-matemàtica-ingenieril existent en occident en este camp. S'ha recolectat casi tot el material sobre el tema, publicat després del primer treball històric de Lamé–Clapeyron (1831). Les fonts inclouen revistes científiques, proceedings de simpòsiums o conferències, informes tècnics i llibres.