Producte de Wallis

Gràfic del desenroll parcial del producte de Wallis.

En matemàtiques, es coneix com a producte de Wallis una expressió utilisada per a representar el valor de π que va ser descoberta per John Wallis en 1655 i que establix que:

Demostració

Abans que res es deu considerar que les raïls de sen(x)/x són ±nπ, a on n = 1, 2, 3.... Llavors, es pot expressar el sen com un producte infinit de factors llineals de les seues raïls:

Per a trobar la constant k, es pren el llímit en abdós costats:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(k(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots )=k$

Sabent que:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}=1$

Es fa k=1. Obtenim la fòrmula de Euler-Wallis per al sen:

$\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}=(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots$

$\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}=(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots$

Fent x=π/2, s'obté:

$\frac{1}{\pi /2}=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{6^2})\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2})$

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)$

$=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots$