Productorio

El productorio o productoria, també conegut com multiplicatorio, multiplicatoria, producte o infrecuentemente pitatoria o pitatorio (per denotar-se com una lletra pi mayúscula), és una notació matemàtica que representa una multiplicació d'una cantitat arbitrària (finita o infinita).

Notació

La notació s'expressa en la lletra grega pi mayúscula Π de la següent manera:

Per a tots els valores m < n

\prod_{k = m}^{n} a_{k} = a_{m} \cdot a_{m + 1} \cdot \dots \cdot a_{n}

Si m = n tenim que:

m = n, \prod_{k = m}^{n} a_{k} = \prod_{k = m}^{m} a_{k} = a_{m}

En el cas de que m siga major que n, m > n, se li assigna el valor de l'element neutre de la multiplicació, l'u:

m > n, \prod_{k = m}^{n} a_{k} = 1

Es pot definir per inducció com seguix.

1. Es definix

\prod_{k = 1}^{1} a_{k} = a_{1}

2. Suposta definida per a un n ≥ 1 fix, es definix

\prod_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = (\prod_{k = 1}^{n} a_{k}) a_{n + 1}

Eixemple

Es pot usar el productorio per a definir atres igualtats importants. Aixina, prenent n=1 i aplicant la segona igualtat s'obté:

\prod_{k = 1}^{2} a_{k} = (\prod_{k = 1}^{1} a_{k}) (a_{2}) = a_{1} a_{2}

.

Definida per a n=2, es pot aplicar una atra volta la segona igualtat en n=2 per a després obtindre

\prod_{k = 1}^{3} a_{k} = (\prod_{k = 1}^{2} a_{k}) (a_{3}) = (a_{1} a_{2}) a_{3}

.

Aixina, usant la propietat associativa de la multiplicació, el producte $(𝑎_{1} 𝑎_{2}) 𝑎_{3}$ és el mateix que $𝑎_{1} (𝑎_{2} 𝑎_{3})$ i, per lo tant, podem prescindir de l'us de paréntesis sense perill de confusió i usar simplement

a_{1} a_{2} a_{3} = \prod_{k = 1}^{3} a_{k}

.

Es pot llavors, usar este raonament per a qualsevol $n \in ℕ$ sense que hi haja perill de confusió.

Un atre eixemple de productorio molt conegut és el que s'utilisa per a definir n! (n factorial) com seguix:

\prod_{k = 1}^{n} k = n!

Es definix $0! = 1! = 1$

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Productorio» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.