Prova de Garfield de la teorema de Pitágoras

Archiu:James Abram Garfield, photo portrait seated.jpg

Garfield en 1881

La prova de Garfield de la teorema de Pitágoras és una prova original del teorema de Pitágoras inventada per James A. Garfield (19 de novembre de 1831 - 19 de setembre de 1881), vigèsim president dels Estats Units. La prova va aparéixer impresa en el New-England Journal of Education (Vol. 3, No.14, 1 d'abril de 1876). ^[1]^[2] Quan es va publicar la prova Garfield no era el president, només era el Congressiste per Ohio. Va assumir el càrrec de President el 4 de març de 1881, i va servir en eixa posició només per un breu periodo fins al 19 de setembre de 1881. ^[3] Garfield ha segut l'únic President d'Estats Units que ha aportat alguna cosa nou a les matemàtiques. La demostració no és trivial i, segons l'historiador de matemàtiques William Dunham, «la de Garfield és realment una demostració molt inteligent». La prova apareix com la 231ª prova en La proposició pitagórico, un compendio de 370 proves diferents de la teorema de Pitágoras.^[4]^[5]

La prova

Archiu:Garfield Proof.png

Diagrama per a explicar la prova de Garfield de la teorema de Pitágoras

En la figura, $A B C$ és un triàngul rectàngul en àngul recte en $C$ . Els costats del triàngul són $a, b, c$ . La teorema de Pitágoras afirma que $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Per a demostrar la teorema, Garfield va traçar una llínea a través de $B$ perpendicular a $A B$ i en esta llínea elegir un punt $D$ de tal forma que $B D = B A$ . A continuació, des de $D$ va deixar caure una perpendicular $D E$ sobre la llínea estesa $C B$ . En la figura es pot vore fàcilment que els triànguls $A B C$ i $B D E$ són congruents. Des de $A C$ i $D E$ són abdós perpendiculars a $C E$ , són paraleles i per tant el quadrilàter $A C E D$ és un trapezoide. La teorema es demostra calculant l'àrea d'este trapezi de dos formes distintes.

\begin{matrix} área del trapezoide A C E D & = altura \times media de lados paralelos \\ = C E \times \frac{1}{2} (A C + D E) = (a + b) \times \frac{1}{2} (a + b) \end{matrix}

.

\begin{matrix} área del trapezoide A C E D & = área de Δ A C B + área de Δ A B D + área de Δ B D E \\ = \frac{1}{2} (a \times b) + \frac{1}{2} (c \times c) + \frac{1}{2} (a \times b) \end{matrix}

D'ells s'obté

(a + b) \times \frac{1}{2} (a + b) = \frac{1}{2} (a \times b) + \frac{1}{2} (c \times c) + \frac{1}{2} (a \times b)

lo que simplificant dona com a resultat

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Referències

↑ New England Journal of Education.3(14)
161.ISSN 2578-4145.
↑ Sid J. Kolpas. «Mathematical Treasure: James A. Garfield's Proof of the Pythagorean Theorem». maa.org. Mathematical Association of America. Consultat el 2023-11-29. (The article appeared in the peer-reviewed online journal Convergence published by the Mathematical Association of America.)
↑ Alonso De l'Art. «A future president onze published a mathematical proof». medium.com. Consultat el 2023-11-29.
↑ William Dunham (1994). The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities, New York: John Wiley & Sons, p. 99. ISBN 0-471-53656-3.
↑ Elisha Scan Loomis (1940). The Pythagorean Proposition, 2 edició, Washington DC: National Council of Teachers of Mathematics, p. 109. ISBN 978-0-87353-036-1. (A collection of 370 different proofs of the Pythagorean theorem.)

Este artícul conté una traducció derivada de «Prueba de Garfield del teorema de Pitágoras» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] New England Journal of Education.3(14)
161.ISSN 2578-4145.

[2] Sid J. Kolpas. «Mathematical Treasure: James A. Garfield's Proof of the Pythagorean Theorem». maa.org. Mathematical Association of America. Consultat el 2023-11-29. (The article appeared in the peer-reviewed online journal Convergence published by the Mathematical Association of America.)

[3] Alonso De l'Art. «A future president onze published a mathematical proof». medium.com. Consultat el 2023-11-29.

[4] William Dunham (1994). The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities, New York: John Wiley & Sons, p. 99. ISBN 0-471-53656-3.

[5] Elisha Scan Loomis (1940). The Pythagorean Proposition, 2 edició, Washington DC: National Council of Teachers of Mathematics, p. 109. ISBN 978-0-87353-036-1. (A collection of 370 different proofs of the Pythagorean theorem.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]