Punts de Brocard

El punt de Brocard d'un triàngul, construït en el punt d'intersecció de tres círculs.

En geometria, els punts de Brocard són punts especials dins d'un triàngul. Prenen el seu nom per Henri Brocard (1845 – 1922), un matemàtic francés.

Definició

En un triàngul ABC en costats a, b, i c, a on els vèrtiços es diuen A, B, i C en orde contrari a les manetes del rellonge, hi ha exactament un sol punt P tal que els segments de llínea AP, BP, i CP formen el mateix àngul ω, en els respectius costats c, a, i b, és dir que

$\mathrm{\angle }PAB=\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\omega .$

El punt P es diu el primer punt de Brocard o punt de Brocard positiu del triàngul ABC, i l'àngul ω es diu el àngul Brocard del triàngul. Este àngul complix la propietat

$\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma ,$

a on $\alpha ,\beta ,\gamma$ són els ànguls dels vèrtiços $\mathrm{\angle }CAB,\mathrm{\angle }ABC,\mathrm{\angle }BCA$ respectivament.

També hi ha un segon punt de Brocard o punt de Brocard negatiu, Q en el triàngul ABC, tal que els segments de llínea AQ, BQ, i CQ formen ànguls iguals en els costats b, c i a respectivament. En atres paraules, les equacions $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$ sí són vàlides. És notable que este segon punt de Brocard té el mateix àngul de Brocard que el primer punt de Brocard. En atres paraules, l'àngul $\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ és el mateix que $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC.$

Els dos punts de Brocard estan molt relacionats entre sí; de fet, la diferència entre el primer i el segon depén de l'orde en que els ànguls del triàngul ABC es prenen. Llavors, per eixemple, el primer punt Brocard del triàngul ABC és el mateix que el segon punt de Brocard del triàngul ACB

Els dos punts Brocard d'un triàngul ABC són cada u conjugats isogonales de l'atre.

Construcció

La construcció més elegant dels punts de Brocard és el següent. En l'eixemple següent es presenta el primer punt de Brocard, pero la construcció del segon punt és molt similar.

Com es mostra en el diagrama, es forma un círcul a través dels punts A i B, tangente a la llínea BC del triàngul (el centre d'este círcul és el punt a on el bisector perpendicular de AB toca la llínea que passa pel punt B i que és perpendicular a BC). Simétricament, es forma un círcul a través dels punts B i C, tangente a la llínea AC, i un círcul a través dels punts A i C, tangente a la llínea AB. Estos tres círculs tenen un punt en comú, el primer punt de Brocard del triàngul ABC. Vore també Llínees tangentes círculs

Els tres círculs construïts també són epiciclos del triàngul ABC. El segon punt de Brocard es construïx de forma similar.