Ranc d'una partició

Archiu:Rank of a partition es.svg

El ranc d'una partició, que es mostra com la seua diagrama de Young

En matemàtiques, particularment en els camps de la teoria de números i la combinatòria, el ranc d'una partició d'un sancer positiu és un cert sancer associat en la partició. De fet, a lo manco es manegen dos definicions diferents en la bibliografia més usual. La primera definició, que concernix a la major part d'este artícul, és que el ranc d'una partició, és el número obtingut restant el número de parts en la partició, de la part més gran de la partició. El concepte va ser introduït per Freeman Dyson en un artícul publicat en la revista Eureka. Va ser presentat en el context d'un estudi de certes propietats de congruència de la funció de partició descoberta pel geni matemàtic indi Srinivasa Ramanujan. S'utilisa un concepte diferent, que compartix el mateix nom, en combinatoria, a on es pren el ranc com el tamany del quadrat de Durfee de la partició.

Definició

Per una partició d'un sancer positiu n s'entén com un multiconjunto finito &x3BB; = { &x3BB;_k, &x3BB;_k−1, ..., &x3BB;₁} de sancers positius que satisfan les dos condicions següents:

• &x3BB;_k ≥ . . . ≥ &x3BB;₂ ≥ &x3BB;₁ > 0.
• &x3BB;_k + . . . + &x3BB;₂ + &x3BB;₁ = n.

Si &x3BB;_k, . . . , &x3BB;₂, &x3BB;₁ són distints, és dir, si

• &x3BB;_k > . . . > &x3BB;₂ > &x3BB;₁ > 0

llavors la partició &x3BB; es diu una partició estricta de n. Els sancers &x3BB;_k, &x3BB;_k−1, ..., &x3BB;₁ són les parts de la partició. El número de parts en la partició &x3BB; és k i la part més gran en la partició és &x3BB;_k. El ranc de la partició &x3BB; (ya siga ordinari o estricte) es definix com &x3BB;_k − k.

Els rancs de les particions de n prenen els següents valors i no uns atres:

n − 1, n − 3, n − 4, . . . , 2, 1, 0, −1, −2, . . . , −(n − 4), −(n − 3), −(n − 1).

La següent taula mostra els rancs de les distintes particions del número 5.

Rancs de les particions del sancer 5

Partició (λ)	Part major (λk)	Número de parts (k)	Ranc de la partició (λk − k )
{ 5 }	5	1	4
{ 4, 1 }	4	2	2
{ 3, 2 }	3	2	1
{ 3, 1, 1 }	3	3	0
{ 2, 2, 1 }	2	3	−1
{ 2, 1, 1, 1 }	2	4	−2
{ 1, 1, 1, 1, 1 }	1	5	−4

Notacions

Les següents notacions s'utilisen per a especificar quàntes particions tenen un ranc determinat. Siguen n, q número entero positius, i siga m qualsevol número entero.

• El número total de particions de n es denota per p(n).

• El número de particions de n en ranc m es denota per N(m, n).
• El número de particions de n en ranc congruent en m mòdul q es denota per N(m, q, n).
• El número de particions estrictes de n es denota per Q(n).
• El número de particions estrictes de n en ranc m es denota per R(m, n).
• El número de particions estrictes de n en ranc congruent en m mòdul q es denota per T(m, q, n).

Per eixemple,

p(5) = 7, N(2, 5) = 1, N(3, 5) = 0, N(2, 2, 5) = 5.

Q(5) = 3, R(2, 5) = 1, R(3, 5) = 0, T(2, 2, 5) = 2.

Alguns resultats bàsics

Siguen n, q número entero positius, i siga m qualsevol número entero.

• $N(m,n)=N(-m,n)$
• $N(m,q,n)=N(q-m,q,n)$
• $N(m,q,n)=\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}N(m+rq,n)$

Les congruència de Ramanujan i la conjectura de Dyson

Srinivasa Ramanujan, en un artícul publicat en 1919, va demostrar les següents congruència relacionades en la funció de partició p(n):

• p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p (7 n + 5) ≡ 0 (mod 7)
• p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)

En comentar sobre este resultat, Dyson va senyalar que "... encara que és possible demostrar que les particions de 5n + 4 es poden dividir en cinc subclasses igualment numeroses, no és satisfactori quedar-se sense rebre de les proves cap idea concreta de cóm deu fer-se la divisió. Es requerix una prova que no requerixca generar funcions,. . . ". Dyson va introduir l'idea del ranc d'una partició per a complir la tasca que es va propondre. Usant esta nova idea, va fer les següents conjectura:

• N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 n + 4)
• N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) =. . . = N (6, 7, 7 n + 5)

Estes conjectura varen ser provades per Atkin i Swinnerton-Dyer en 1954.

Les següents taules mostren cóm les particions dels sancers 4 (5 × n + 4 en n = 0) i 9 (5 × n + 4 en n = 1) es dividixen en cinc subclasses igualment numeroses.

Particions del sancer 4

Particions en ranc ≡ 0 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 1 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 2 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 3 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 4 (mod 5)
{ 2, 2 }	{ 3, 1 }	{ 1, 1, 1, 1 }	{ 4 }	{ 2, 1, 1 }

Particions del sancer 9

Particions en ranc ≡ 0 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 1 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 2 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 3 (mod 5)	Particions en ranc ≡ 4 (mod 5)
{ 7, 2 }	{ 8, 1 }	{ 6, 1, 1, 1 }	{ 9 }	{ 7, 1, 1 }
{ 5, 1, 1, 1, 1 }	{ 5, 2, 1, 1 }	{ 5, 3, 1}	{ 6, 2, 1 }	{ 6, 3 }
{ 4, 3, 1, 1 }	{ 4, 4, 1 }	{ 5, 2, 2 }	{ 5, 4 }	{ 4, 2, 1, 1, 1 }
{ 4, 2, 2, 1 }	{ 4, 3, 2 }	{ 3, 2, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 1, 1, 1 }	{ 3, 3, 2, 1 }
{ 3, 3, 3 }	{ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 2, 1 }	{ 4, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 2 }
{ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 2, 2, 2, 1, 1, 1 }	{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }	{ 3, 2, 2, 1, 1}	{ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }

Generant funcions

• La funció generadora de p(n) va ser descoberta per Euler i és ben coneguda.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(n)x^n=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-x^k)}$

• La funció generadora per a N(m, n) es dona a continuació:

$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}N(m,n)z^m{q}^n=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{\prod _{k=1}^n(1-z{q}^k)(1-z^{-1}{q}^k)}$

• La funció generadora per a Q(n) es dona a continuació:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}Q(n)x^n=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-x^{2k-1})}$

• La funció generadora per a Q(m,n) es dona a continuació:

$\sum _{m,n=0}^{\mathrm{\infty }}Q(m,n)z^m{q}^n=1+\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{s(s+1)/2}}{(1-zq)(1-z{q}^2)\cdots (1-z{q}^s)}$

Definició alternativa

En combinatoria, la frase ranc d'una partició, a voltes s'usa per a descriure un concepte diferent: el ranc d'una partició &x3BB; és el sancer més gran i tal que &x3BB; té a lo manco i partixes, cada una de les quals no és menor que i. De manera equivalent, esta és la llongitut de la diagonal principal en el diagrama de Young o en el diagrama de Ferrers per a &x3BB;, o la llongitut lateral del quadrat de Durfee de &x3BB;.

La taula de rancs de particions de 5 es dona a continuació.

Rancs de les particions del sancer 5

Partició	Ranc
{ 5 }	1
{ 4, 1 }	1
{ 3, 2 }	2
{ 3, 1, 1 }	1
{ 2, 2, 1 }	2
{ 2, 1, 1, 1 }	1
{ 1, 1, 1, 1, 1 }	1

Llectures relacionades

• Fòrmules asintòtiques per a la funció de partició de ranc:
• Congruència per a la funció de ranc:
• Generalisació de ranc a ranc BG:

Vore també

• Manivela d'una partició