Relacions de Cardano-Vieta

Siga el polinomi $P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\mathrm{...}+a_k{z}^k$ pertanyent a C[z], de grau k i coeficients en el cos ℂ dels número complejo, i siguen les seues k raïls $z_1,z_2,z_3,\mathrm{...},z_k$ (pertanyents a C ), llavors se satisfan exactament les següents k distintes igualtats :

$z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}\cdot z_k=(-1{)}^k\cdot \frac{a_0}{a_k}$

$z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}\cdot z_{k-1}+\mathrm{...}+z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}{z}_k=(-1{)}^{k-1}\cdot \frac{a_1}{a_k}$

.

.

.

$z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}\cdot z_j+\mathrm{...}+z_{k-j+1}\cdot z_{k-j+2}\cdot \mathrm{...}{z}_k=(-1{)}^j\cdot \frac{a_{k-j}}{a_k}$

.

.

.

$z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3+\mathrm{...}+z_{k-1}\cdot z_k=(-1{)}^2\cdot \frac{a_{k-2}}{a_k}=\frac{a_{k-2}}{a_k}$

$z_1+z_2+z_3+\mathrm{...}+z_k=\frac{(-1{)}^1\cdot a_{k-1}}{a_k}=-\frac{a_{k-1}}{a_k}$

Cada equació sumarà tots els possibles productes que es formaran en j raïls i ho igualarà el cocient (en el seu signe corresponent) entre el coeficient j-ésimo del polinomi i el coeficient principal del polinomi.

Estes relacions servixen sobretot per a obtindre determinats polinomis conegudes les seues raïls. cal destacar que si coneixem k raïls d'un polinomi de grau k, podrem trobar a partir d'estes relacions un únic polinomi de grau k que posseïxca estes raïls (a menys d'una constant multiplicativa).

Demostració

Factorizamos el polinomi:

$P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\mathrm{...}+a_k{z}^k=a_k(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)\cdots (z-z_k)$

I realisem el producte del membre de la dreta i comparem els coeficients de cada terme $z^j$, a on $0\le j<k$:

$a_{k-1}=(-1{)}^1\cdot a_k\cdot (z_1+z_2+z_3+\mathrm{...}+z_k)$

$a_{k-2}=(-1{)}^2\cdot a_k\cdot (z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3+\mathrm{...}+z_{k-1}\cdot z_k)$

$\dots$

$a_j=(-1{)}^{k-j}\cdot a_k\cdot (z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}\cdot z_j+\mathrm{...}+z_{k-j+1}\cdot z_{k-j+2}\cdot \mathrm{...}{z}_k)$

$\dots$

$a_1=(-1{)}^{k-1}\cdot a_k\cdot (z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}\cdot z_{k-1}+\mathrm{...}+z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}{z}_k)$

$a_0=(-1{)}^k\cdot a_k\cdot (z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdot \mathrm{...}\cdot z_k)$

D'ací ya s'obtenen de colp i repent les fòrmules de Cardano-Vieta.