Símbol de Pochhammer

Sean z un número complejo i n un número entero, el símbol de Pochhammer està definit per

$(z{)}_n=z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1);(z{)}_0=1.$

Si z i z+n no són sancers negatius, llavors

$(z{)}_n=\frac{\Gamma (z+n)}{\Gamma (z)},$

a on $\Gamma$ és la funció gamma.

Els símbols de Pochhammer apareixen en l'expansió en séries de funcions especials.

Propietats

Algunes de les propietats dels símbols de Pochhammer són les següents:

$(1{)}_n=n!\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}n\ge 0,$

$(z{)}_{n+m}=(z{)}_n(z+n{)}_m,$

$(-z{)}_n=(-1{)}^n(z-n+1{)}_n,$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=(-1{)}^n\frac{(-z{)}_n}{n!}.$

Aplicacions

Com es va mencionar més dalt, els símbols de Pochhammer s'usen en l'expansió en séries de potència de funcions. He ací un parell d'eixemples:

1. El teorema del binomi de Newton pot expressar-se:

   $(1-t{)}^z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}_k}{k!}{t}^k|t|<1$

2. La funció hipergeométrica es pot expressar com:

   ${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{(c{)}_k}\frac{z^k}{k!}$