Sòlit de Kepler-Poinsot

Erro al crear miniatura:

Sòlit de Kepler-Poinsot

Erro al crear miniatura:

Els sòlits de Kepler-Poinsot en els seus símbols de Schläfli.

Un sòlit de Kepler (també cridat sòlit de Kepler-Poinsot) és un poliedre regular no convexo, que les seues cares són totes polígons regulars i que té en tots els seus vèrtiços el mateix número de cares concurrents (compare's en els sòlits platònics).

Existixen solament quatre tipos, en les denominacions següents:

• Menut dodecaedre estrelat
• Gran dodecaedre estrelat
• Gran icosaedre
• Gran dodecaedre

Les cares estan solament parcialment en la superfície del sòlit, i les parts expostes estan conectades únicament en punts (si estan conectades d'algun modo). Si les parts es conten com a cares separades, el sòlit deixa de ser regular.

Característiques

Un sòlit de Kepler cobrix la seua esfera circumscrita més d'una volta (en una esfera interior i una atra exterior), en els centres de les cares com a punts direccionals en els sòlits que tenen cares en forma de pentagrama, mentres que en els atres són els vèrtiços els que complixen eixa funció. Per esta raó, no són necessàriament equivalents topològics de l'esfera com lo són els sòlits platònics, i en particular la característica de Euler V − I + F = 2 es verifica solament per al Gran dodecaedre estrelat i per al Gran icosaedre.

Açò dependrà de cóm s'observe el poliedre. Considere's, per eixemple, el menut dodecaedre estrelat. Consistix en un dodecaedre en una piràmide pentagonal en cada una de les seues 12 cares. En conseqüència, les 12 cares s'estenen a pentagrames en el pentàgon central dins del sòlit. La part externa de cada cara consistix en cinc triànguls conectats per sol cinc punts. Si es conten separadament, hi ha 60 cares (pero estes són triànguls isósceles que no són polígons regulars, en el cas dels quals seria un pentaquisdodecaedro). De modo similar, cada costat pot ser contat com tres, pero llavors els haurà de dos tipos. Igualment, en els "cinc punts" abans mencionats: en total hi haurà 20 punts que poden contar-se com a vèrtiços, per lo que hi haurà un total de 32 vèrtiços (una atra volta, de dos tipos). Ara l'equació de Euler es verifica: 60 - 90 + 32 = 2.

Tipos

Hi ha quatre sòlits de Kepler distints:

Sòlits de Kepler-Poinsot
Nom		Image	Cares		Arestes	Vèrtiços		Simetria	Descobridor
K1	Menut dodecaedre estrelat	Erro al crear miniatura: Animació	12	12 × pg	30	12	12 × 5/25	Ih	Johannes Kepler
K2	Gran dodecaedre estrelat	Erro al crear miniatura: Animació	12	12 × pg	30	20	20 × 5/23	Ih	Johannes Kepler
K3	Gran icosaedre	Animació	20	20 × et | align="center" | 30	12	12 × 35/2	Ih	Louis Poinsot
K4	Gran dodecaedre	Erro al crear miniatura: Animació	12	12 × pr	30	12	12 × 55/2	Ih	Louis Poinsot
pg = pentagramas; pr = pentàgons regulars et = triànguls equiláteros

Els dos primers són estelaciones, és dir, es poden obtindre estenent les arestes d'un atre poliedre.