Segona conjectura de Hardy-Littlewood

En teoria de números, la segona conjectura de Hardy-Littlewood es referix al número de número primo en intervals donats. Junt en la seua primera conjectura sobre número primo bessons, Godfrey Harold Hardy i John Edensor Littlewood varen propondre la segona conjectura de Hardy-Littlewood en 1923.

Enunciat

La conjectura establix que

$\pi (x+y)\le \pi (x)+\pi (y)$

per a número entero x, i ≥ 2, a on π(z) denota la funció contador d'número primo, donant el número d'número primo fins a i incloent a z.

Conexió en la primera conjectura de Hardy-Littlewood

L'enunciat de la segona conjectura de Hardy-Littlewood és equivalent a l'enunciat de que el número de cosins de x + 1 a x + i sempre és menor o igual que el número de cosins d'1 a i. Es va demostrar que açò és inconsistente en la primera conjectura de Hardy-Littlewood sobre les k-tuplas d'número primo, i s'espera que la primera violació de la conjectura es produïxca provablement per a valors molt grans de x. Per eixemple, un k-tupla admissible (o k-tupla d'número primo) de 447 número primo es pot trobar en un interval d'número entero i= 3159, mentres que π(3159) = 446. Si es complix la primera conjectura de Hardy-Littlewood, llavors s'espera la primera k-tupla per a x major que 1.5 × 10¹⁷⁴ pero menor que 2.2 × 10¹¹⁹⁸.