Sense pèrdua de generalitat

Sense pèrdua de generalitat és una expressió utilisada en les demostracions matemàtiques que introduïx una suposició particular, de tal manera que el cas general puga mostrar-se que és equivalent a eixe cas particular. Quan açò succeïx, dita suposició o elecció particular és irrellevant per a la demostració, i presenta la ventaja de que permet reduir l'extensió de la demostració i, per tant, el número de casos que cal analisar.

A voltes és recomanable indicar per qué no existix pèrdua de generalitat. Per eixemple, si una funció és simètrica o periòdica pot ser més fàcil analisar-la en un interval més menut. Aixina mateix, quan vàries variables tenen un paper similar, a voltes no fa falta treballar en totes sino que n'hi ha prou en treballar en una d'elles o en unes poques.

Eixemple 1

Est és un eixemple clàssic de l'us del principi del colomer:

Hi ha tres pomes, cada una de les quals pot ser verda o roja. Demostre's que, a lo manco, hi ha dos pomes del mateix color.

Demostració: suponga's sense pèrdua de generalitat que la primera poma és roja. Si la segona poma també ho és, hem terminat; en cas contrari (la poma és verda), la tercera poma serà o roja o vert, en lo que tindrem necessàriament ya siga dos pomes roges o verts, i també haurem terminat.

Podem supondre sense pèrdua de generalitat que la primera poma és roja perque no hi ha cap diferència entre que siga roja o vert per a l'objectiu de la demostració. Si fora vert no hi hauria més que canviar els noms dels dos colors en la demostració, i els noms dels colors no importen ya que la demostració és igualment correcta si canviem "roig" per "vert" i viceversa.

Eixemple 2

Atres voltes cal treballar més per a vore cóm el cas general es deduïx del cas particular. Per eixemple, una demostració de que els tres ànguls d'un triàngul sumen un àngul pla és la següent:

Podem supondre que el triàngul és rectàngul, i es tracta llavors de vore que els seus uns atres dos ànguls (digam a i b) sumen un àngul recte. Traçant paraleles als catetos pels vèrtiços s'obté un rectàngul en el que s'observa que a+b és recte.

¿Per qué es pot supondre això? Perque el cas general d'un triàngul arbitrari podem deduir-ho usant el "case rectàngul" com seguix: Cridem "a" a l'àngul major i "b", "c" als atres dos. Tracem l'altura del triàngul per l'àngul a, que ho dividix en dos ànguls a1 i a2 (en a1+a2=a). Tenim dos triànguls rectànguls. Un d'ells té un àngul recte, un atre val b i un atre a1, de modo que b+a1=recte. L'atre té un àngul recte, un atre val c i un atre val a2, de modo que c+a2=recte. Els ànguls del triàngul inicial sumen llavors: a+b+c = (a1+a2)+b+c = (b+a1)+(c+a2) = recte+recte = pla