Seqüència de Som

En matemàtiques, es coneix com a seqüències de Som a una seqüència de números definida per una determinada relació de recurrencia, descrita a en posterioritat.

Esta seqüència va ser descoberta pel matemàtic nortamericà del departament de Matemàtiques i Estadística de l'Universitat de Georgetown, el professor Michael Som . Per la forma de la seua recurrencia definitoria (que implica divisió), un esperaria que els térmens de la seqüència foren fraccions, pero no obstant moltes seqüències de Som tenen com a propietat, que tots els seus membres són número entero.

Equacions recurrents

Per a un número entero k major que 1, la seqüència Som- k $(a_0,a_1,a_2,\dots )$ està definida per l'equació:

$a_n{a}_{n-k}=a_{n-1}{a}_{n-k+1}+a_{n-2}{a}_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}{a}_{n-(k+1)/2}$

quan k és impar, o per l'equació anàloga:

$a_n{a}_{n-k}=a_{n-1}{a}_{n-k+1}+a_{n-2}{a}_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2}{)}^2$

quan k és parell, junt en els valors inicials:

a _i = 1 per a i &x3C; k .

Per a k = 2 o 3, estes recurrencias són molt simples i definixen la seqüència de tots uns (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). En el primer cas no trivial, k = 4, l'equació definitoria és:

$a_n{a}_{n-4}=a_{n-1}{a}_{n-3}+a_{n-2}^2$

mentres per a k = 5 l'equació és:

$a_n{a}_{n-5}=a_{n-1}{a}_{n-4}+a_{n-2}{a}_{n-3}.$

Estes equacions es poden reorganisar en forma de relació de recurrencia, en la que el valor an en el costat esquerre de la recurrencia es definix per mig d'una fòrmula en el costat dret, dividint la fòrmula per a_n − k . Per a k = 4, açò produïx la recurrencia

$a_n=\frac{a_{n-1}{a}_{n-3}+a_{n-2}^2}{a_{n-4}}$

mentres per a k = 5 dona la recurrencia

$a_n=\frac{a_{n-1}{a}_{n-4}+a_{n-2}{a}_{n-3}}{a_{n-5}}.$

Mentres que en la definició habitual de les seqüències de Som, els valors donats para a_i per a i &x3C; k es troben establits en 1, i és d'igual manera possible definir atres seqüències utilisant les mateixes recurrencias en diferents valors inicials.

Seqüència de Valors

Els valors en la seqüència Som-4 són:

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... Plantilla:OEIS .

Els valors en la seqüència Som-5 són:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... Plantilla:OEIS .

Els valors en la seqüència Som-6 són:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... Plantilla:OEIS .

Els valors en la seqüència Som-7 són:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... Plantilla:OEIS .

Els primers 17 valors de la seqüència Som-8 són:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25, 61, 187, 775, 5827, 14815 [el següent valor és fraccionario]

Vore també

• Seqüència de Göbel