Spline centrípeto de Catmull-Rom

Interpolació en quatre punts donats realisada en el spline de Catmull-Rom

En computació gràfica, el spline centrípeto de Catmull-Rom és una variant del interpolador cúbic de Hermite, formulada originalment per Edwin Catmull i Raphael Rom,^[1] que pot calcular-se utilisant un algoritme recursivo propost per Barry i Goldman. És un tipo de spline d'interpolació definit per quatre punts de control $𝐏_{0}, 𝐏_{1}, 𝐏_{2}, 𝐏_{3}$ (pels que passa), pero en la curva dibuixada solament de $𝐏_{1}$ a $𝐏_{2}$ .

Definició

Archiu:Cubic Catmull-Rom formulation.png

Formulació piramidal de Barry i Goldman

Archiu:Catmull-Rom Parameterized Time.png

Parametrización de nodos per a l'algoritme de Catmull-Rom

Siga $𝐏_{i} = [x_{i} y_{i}]^{T}$ un punt. Per a un segment de curva $𝐂$ definit pels punts $𝐏_{0}, 𝐏_{1}, 𝐏_{2}, 𝐏_{3}$ i la seqüència de nodos $t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}$ , el spline centrípeto de Catmull-Rom es pot generar per mig de:

𝐂 = \frac{t_{2} - t}{t_{2} - t_{1}} 𝐁_{1} + \frac{t - t_{1}}{t_{2} - t_{1}} 𝐁_{2}

a on

𝐁_{1} = \frac{t_{2} - t}{t_{2} - t_{0}} 𝐀_{1} + \frac{t - t_{0}}{t_{2} - t_{0}} 𝐀_{2}

𝐁_{2} = \frac{t_{3} - t}{t_{3} - t_{1}} 𝐀_{2} + \frac{t - t_{1}}{t_{3} - t_{1}} 𝐀_{3}

𝐀_{1} = \frac{t_{1} - t}{t_{1} - t_{0}} 𝐏_{0} + \frac{t - t_{0}}{t_{1} - t_{0}} 𝐏_{1}

𝐀_{2} = \frac{t_{2} - t}{t_{2} - t_{1}} 𝐏_{1} + \frac{t - t_{1}}{t_{2} - t_{1}} 𝐏_{2}

𝐀_{3} = \frac{t_{3} - t}{t_{3} - t_{2}} 𝐏_{2} + \frac{t - t_{2}}{t_{3} - t_{2}} 𝐏_{3}

i

t_{i + 1} = {[\sqrt{(x_{i + 1} - x_{i})^{2} + (y_{i + 1} - y_{i})^{2}}]}^{α} + t_{i}

en el que $α$ va de 0 a 1 per a la parametrización dels nodos, i $i = 0, 1, 2, 3$ en $t_{0} = 0$ . Per al spline centrípeto de Catmull-Rom, el valor de $α$ és $0.5$ . Quan $α = 0$ , la curva resultant és el spline uniforme de Catmull-Rom estàndar; i quan $α = 1$ , el resultat és el spline cordal de Catmull-Rom.

Archiu:Uniform, Centripetal and Chordal Parameterization for Catmull-Rom Spline.gif

Animació gif per a la parametrización uniforme, centrípeta i cordal del spline de Catmull-Rom, depenent del valor de α

En conectar $t = t_{1}$ a les equacions del spline $𝐀_{1}, 𝐀_{2}, 𝐀_{3}, 𝐁_{1}, 𝐁_{2},$ i $𝐂$ es mostra que el valor de la curva en $t_{1}$ és $𝐂 = 𝐏_{1}$ . De manera similar, substituir $t = t_{2}$ en les equacions spline mostra que $𝐂 = 𝐏_{2}$ en $t_{2}$ . Açò és cert independentment del valor de $α$ , ya que l'equació de $t_{i + 1}$ no és necessària per a calcular el valor de $𝐂$ en els punts $t_{1}$ i $t_{2}$ .

Archiu:3D Centripetal Catmull-Rom Spline segment.png

Segment de spline de Catmull-Rom centrípeto en 3D

L'extensió a punts 3D es conseguix simplement considerant $𝐏_{i} = [x_{i} y_{i} z_{i}]^{T}$ respecte a un punt 3D genèric $𝐏_{i}$ i

t_{i + 1} = {[\sqrt{(x_{i + 1} - x_{i})^{2} + (y_{i + 1} - y_{i})^{2} + (z_{i + 1} - z_{i})^{2}}]}^{α} + t_{i}

Ventages

El spline centrípeto de Catmull-Rom té vàries propietats matemàtiques desijables en comparació a la formulació original i atres tipos de splines de Catmull-Rom.^[2] En primer lloc, no formarà un bucle ni una autointersección dins d'un segment de curva. En segon lloc, mai genera cims dins d'un segment de curva. En tercer lloc, seguix més estrictament els punts de control.^[3]

Archiu:Catmull-Rom examples with parameters..png

En esta figura, hi ha una autointersección/bucle en un spline de Catmull-Rom uniforme (vert), mentres que per al spline de Catmull-Rom cordal (roig), la curva no seguix estrictament els punts de control

Vore també

Splines cúbics de Hermite

Referències

↑ «A class of local interpolating splines», Computer Aided Geometric Design, pp. 317–326. doi:10.1016/B978-0-12-079050-0.50020-5. ISBN 978-0-12-079050-0.
↑ “Parameterization and applications of Catmull-Rom curves” (1 de juliol 2011). Computer-Aided Design 43 (7): 747–755. doi:10.1016/j.cad.2010.08.008.
↑ Yuksel; Schaefer; Keyser, Cem; Scott; John. «On the Parameterization of Catmull-Rom Curves».

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Spline centrípeto de Catmull-Rom» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «A class of local interpolating splines», Computer Aided Geometric Design, pp. 317–326. doi:10.1016/B978-0-12-079050-0.50020-5. ISBN 978-0-12-079050-0.

[Yuksel-2] “Parameterization and applications of Catmull-Rom curves” (1 de juliol 2011). Computer-Aided Design 43 (7): 747–755. doi:10.1016/j.cad.2010.08.008.

[3] Yuksel; Schaefer; Keyser, Cem; Scott; John. «On the Parameterization of Catmull-Rom Curves».

[1]

[2]

[3]