Successió de Goodstein

Plantilla:Enmarañado Una successió de Goodstein és una successió matemàtica que s'obté per l'aplicació d'un operador de bot de base ($B[b](n)$) sobre una llavor donada.

Potser, abans d'entrar a definir la pròpia successió de Goodstein, deguérem aclarir lo que s'entén per operador de bot de base.

El operador de bot de base és el resultat de la substitució, en la representació d'un número en el seu forma normal de Cantor en base b, de les ocurrències de b per b+1.

Aixina, denotarem $B[b](n)$ com el resultat d'aplicar l'operador de bot de base b $B[b]$ al número n.

Per eixemple:

En b=2:

$B[b](266)=2^{2^{2+1}}+2^{2+1}+2$

Substituint b per b+1:

$B[b+1](266)=3^{3^{3+1}}+3^{3+1}+3$

Una volta que tenim clar este punt, podem passar a la definició pròpiament dita de successió de Goodstein.

Les successions de Goodstein són successions que comencen en un número natural qualsevol de partida (que en el nostre eixemple podria ser n=266). Est seria el primer terme de la successió, que denotarem $G_0(266)=266$. El segon terme de la successió $G_1(266)$ s'obté per mig de l'operador de bot de base $B[2]$ sobre el primer terme, i restant un al resultat. És dir: en la seua forma normal de Cantor, substituïm cada dos per un tres, i al resultat li restem l'unitat. Aixina hauríem obtingut la successió de Goodstein de llavor igual a 266. És evident que, per a cada sancer de partida tindrem una successió de Goodstein diferent.

Vejam els primers térmens de la successió de Goodstein per al número 266.

Escomencem en 266. La seua forma normal de Cantor és:

$G_0(266)=2^{2^{2+1}}+2^{2+1}+2$

Per a obtindre el segon terme, apliquem l'operador de bot de base i restem un:

$G_1(266)=B[2](266)-1=3^{3^{3+1}}+3^{3+1}+3-1=3^{3^{3+1}}+3^{3+1}+2$

I continuem

$G_2(266)=B[3]G_1(266)-1=4^{4^{4+1}}+4^{4+1}+1$

$G_3(266)=B[4]G_2(266)-1=5^{5^{5+1}}+5^{5+1}$

$G_4(266)=B[5]G_3(266)-1=6^{6^{6+1}}+6^{6+1}-1=6^{6^{6+1}}+5\cdot 6^6+5\cdot 6^5+\dots +5\cdot 6+5$

$G_5(266)=B[6]G_4(266)-1=7^{7^{7+1}}+5\cdot 7^7+5\cdot 7^5+\dots +5\cdot 7+4$

...

Aparentment esta succió creix indefinidament i d'una forma molt ràpida. Puix be, la Teorema de Goodstein demostra que per a qualsevol valor de la llavor, tota successió de Goodstein termina en zero.

Eixemples de successions de Goodstein

Les primeres successions de Goodstein terminen ràpidament. Per eixemple G(3):

Forma normal	Valor
2+1	3
3+1 − 1 = 3	3
4 − 1 = 1+1+1	3
1+1+1 − 1 = 1+1	2
1+1 − 1 = 1	1
1 − 1 = 0	0

Les següents successions de Goodstein semblen créixer molt ràpit. Per eixemple, G(4) escomença de la següent forma:

Forma normal	Valor
2²	4
2·3² + 2·3 + 2	26
2·4² + 2·4 + 1	41
2·5² + 2·5	60
2·6² + 6 + 5	83
2·7² + 7 + 4	109
...
2·11² + 11	253
2·12² + 11	299
...

Els elements de G(4) continuen el seu creiximent durant un temps, pero despuix d'aproximadament 2.6 × 10^60605351 passos, els elements escomencen a disminuir, fent-se finalment zero. L'eixemple de G(4) no nos proporciona una bona idea de lo ràpit que els térmens de la successió de Goodstein creixen.

G(19) creix molt més ràpidament, escomençant del següent modo:

Forma normal	Valor
$2^{2^2}+2+1$	19
$3^{3^3}+3$	7625597484990
$4^{4^4}+3$	aproximadament 1.3 × 10154
$5^{5^5}+2$	aproximadament 1.8 × 102184
$6^{6^6}+1$	aproximadament 2.6 × 1036305
$7^{7^7}$	aproximadament 3.8 × 10695974
$7\times 8^{(7\times 8^7+7\times 8^6+7\times 8^5+7\times 8^4+7\times 8^3+7\times 8^2+7\times 8+7)}$ $+7\times 8^{(7\times 8^7+7\times 8^6+7\times 8^5+7\times 8^4+7\times 8^3+7\times 8^2+7\times 8+6)}$ $+\mathrm{...}$ $+7\times 8^{(8+2)}+7\times 8^{(8+1)}+7\times 8^8+7\times 8^7+7\times 8^6$ $+7\times 8^5+7\times 8^4+7\times 8^3+7\times 8^2+7\times 8+7$	aproximadament 6 × 1015151335
$7\times 9^{(7\times 9^7+7\times 9^6+7\times 9^5+7\times 9^4+7\times 9^3+7\times 9^2+7\times 9+7)}$ $+7\times 9^{(7\times 9^7+7\times 9^6+7\times 9^5+7\times 9^4+7\times 9^3+7\times 9^2+7\times 9+6)}$ $+\mathrm{...}$ $+7\times 9^{(9+2)}+7\times 9^{(9+1)}+7\times 9^9+7\times 9^7+7\times 9^6$ $+7\times 9^5+7\times 9^4+7\times 9^3+7\times 9^2+7\times 9+6$	aproximadament 4.3 × 10369693099
...