Surface Bundle

Surface bundle és un fibrado per superfície, és dir la fibra és una 2-varietat i sobre alguna base -en símbols:

$F\subset E\to B$

a on I el fibrado (o espai total), F és la fibra (espai fibra) i B la base del fibrado (espai base del fibrado), sent casos importants:

1. Fibrar sobre el círcul $S^1$ i és per lo tant un tipo de 3-varietat. Una castellanisació d'este nom pot ser F-fibrado sobre B, o ben fibrado per superfícies sobre B.
2. Fibrar sobre una atra superfície. És este cas reben el nom de surface bundle over a surface i són una classe de 4-varietatés.

No són importants els fibrados-per-superfície que tinguen una base que siga contraíble des del punt de vista homotópico, puix en este cas, el fibrado és trivial, és dir, homeomorfo a $F\times B$

Quan la base és un círcul l'espai és un surface bundle over the circle. Estos fibrados estan classificats per classes d'isotopía d'auto-homeomorfismes; $F\stackrel{[f]}{\to }F$.

Construcció

Siga F una superfície tancada. Si tenim el producte cartesiano $F\times I$, llavors anem a utilisar un homeomorfisme $\varphi :F\to F$ per a identificar les tapes $F\times \{0\}$ en $F\times \{1\}$ usant la fòrmula

$(x,0)$$\sim$$(\varphi (x),1)$

aixina el nou espai $E_{\varphi }=\frac{F\times I}{\sim }$ és el F-fibrado sobre $S^1$ determinat per $\varphi$

Si $\varphi$ és el mapa identitat de F, el fibrado és $F\times S^1$.

Quan $\varphi$ no està en la classe d'isotopía de l'identitat el fibrado $E_{\varphi }=F{\times }_{\varphi }{S}^1$ es diu twisted surface bundle.

Per a la 2-esfera hi ha dos $S^2\times S^1$ i $S^2\stackrel{\sim }{\times }{S}^1$.

Es distinguix entre fibrados que utilisen superfícies tancades (compactes i sense frontera) per a obtindre fibrados sense frontera. Ademés usant la classificació de les superfícies obtenim

• $O_g\subset E\to B$
• $N_k\subset E\to B$

sobre alguna base B de dimensió un.

Com els fibrados sobre la recta numèrica ${ℝ}^1$ (o intervals conexos) són trivials (i.i. solament obtenim $E=F\times {ℝ}^1$), per això hi ha més riquea en estudiar fibrados sobre el círcul, $S^1$.