Tensor de densitat de fluix de impulsión

Densitat de fluix hidràulic a través d'una secció d'un caixer

El tensor de densitat de fluix de impulsión ve dau per:

${\Pi }_{ik}=p{\delta }_{ik}+\rho v_i{v}_k$

Considere's un decorregut en velocitat $\overrightarrow{v}$: la impulsión de l'unitat de volum del decorregut és igual a $\rho \overrightarrow{v}$, sent $\rho$ la densitat del decorregut. La taxa de variació és per tant:

$\frac{\partial \rho \overrightarrow{v}}{\partial t}$

En notació tensorial es té que:

$\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=\rho \frac{\partial v_i}{\partial t}+v_i\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Amprant l'equació de continuïtat: $\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k}$; i l'equació de Euler: $\frac{\partial v_i}{\partial t}=-v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x_i}$

Gràcies a estes dos equacions, es deduïx que:

$\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=-\rho v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{\partial p}{\partial x_i}-v_i\frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}-\frac{\partial \rho v_i{v}_k}{\partial x_k}$

que a la seua volta pot escriure's com $\frac{\partial p}{\partial x_i}={\delta }_{ik}\frac{\partial p}{\partial x_k}$.

Per lo tant, $\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=-\frac{\partial ({\delta }_{ik}p+\rho v_i{v}_k)}{\partial x_k}=-\frac{\partial {\Pi }_{ik}}{\partial x_k}$

Per a resaltar el significat del tensor ${\Pi }_{ik}$, es deu integrar l'equació anterior en un volum determinat:

$\frac{\partial }{\partial t}\int \rho v_{i}dV=-\int \frac{\partial {\Pi }_{ik}}{\partial x_k}dV$

Segons la teorema d'Ostrogradsky-Gauss, es pot escriure:

$\frac{\partial }{\partial t}\int \rho v_{i}dV=-\oint {\Pi }_{ik}d{S}_k$

En el primer membre apareix la variació per unitat de temps de la i-ésima component de l'impuls en el volum considerat. Lo que significa que el segon membre representa la cantitat d'este impuls que fluïx per unitat de temps a través de la superfície que delimita el volum considerat.

En escriure $d{S}_k=n_{k}dS$, es pot dir que: ${\Pi }_{ik}{n}_k=p{n}_i+\rho v_i{v}_k$, que correspon a l'expressió vectorial $p\overrightarrow{n}+\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})$. Açò permet concloure que ${\Pi }_{ik}$ és la i-ésima component de la cantitat d'impuls que creua per unitat de temps l'unitat d'àrea normal a l'eix $x_k$.