Teorema de Chasles

La teorema de Chasles és una proposició de geodèsia física. Considerant una funció $v$ harmònica fora d'una superfície $\Sigma$ i suponent ademés que $\Sigma$ és una "superfície equipotencial", llavors en esta superfície $\Sigma$ es té que $v=v_o$, sent la cantitat $v_o$ una constant arbitrària. Per a un punt $P$ anara de $\Sigma$, la representació integral d'una funció harmònica permet escriure

$v(P)=-\frac{1}{4\pi }\underset{\Sigma }{\iint }{r}^{-1}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}n}\mathrm{d}\sigma +\frac{v_o}{4\pi }\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\mathrm{d}{r}^{-1}}{\mathrm{d}n}\mathrm{d}\sigma$,

en $r$ que indica la distància des de $P$ a qualsevol punt en $\Sigma$. Ara, d'acort en el teorema de Gauss-Bonnet per a un punt extern, la segona integral del membre dret es desvanix, per lo que resulta que

$v(P)=-\frac{1}{4\pi }\underset{\Sigma }{\iint }{r}^{-1}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}n}\mathrm{d}\sigma$.

Esta fòrmula es deu a Michel Chasles (1793-1880). Demostra que qualsevol funció harmònica pot representar-se per mig d'un potencial de capa simple en qualsevol de les seues superfícies equipotenciales $v=$ const. En el cas particular del potencial gravitatorio $V$ d'un cos sòlit situat en l'interior de $\Sigma$, la teorema de Chasles afirma que sempre és possible substituir el cos sòlit per una capa simple de la superfície de densitat uniforme per a adaptar-se a una de les seues superfícies equipotenciales externes sense canviar el potencial en l'exterior. Esta teorema pot ser comparat en el teorema d'unicitat de Stokes.