Teorema de Taylor-Proudman

En mecànica de decorreguts, la teorema de Taylor-Proudman (per G. I. Taylor i Joseph Proudman) enuncia que quan un cos sòlit és mogut llentament dins d'un decorregut que és rotado de forma constant en una gran velocitat angular $\Omega$, la velocitat del decorregut serà uniforme a lo llarc de qualsevol llínea paralela a l'eix de rotació. $\Omega$ deu ser relativament ràpida comparada en el moviment del cos per a fer que la força de Coriolis siga intensa comparada en els térmens d'acceleració.

Que açò és aixina pot vore's considerant les equacions de Navier-Stokes per a fluix constant, en viscosidad zero i una força del cos corresponent a la força de Coriolis, que són:

$\rho (𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮=𝐅-\mathrm{\nabla }p$

a on $𝐮$ és la velocitat del decorregut, $\rho$ és la densitat del decorregut, i $p$ la pressió. Si ara fem l'assunció de que el terme advectivo pot ser despreciat (raonable si el número Rossby és molt menor que l'unitat) les equacions es transformen en:

$2\rho \Omega \times 𝐮=\mathrm{\nabla }p$

a on $\Omega$ és el vector de velocitat angular. Si es pren el rotor d'esta equació, el resultat és la teorema de Taylor-Proudman:

$(𝜴\cdot \mathrm{\nabla })𝐮=\mathrm{𝟎}.$

Per a derivar açò, es necessiten les identitats vectorials

$\mathrm{\nabla }\times (A\times B)=(A\cdot \mathrm{\nabla })B-(B\cdot \mathrm{\nabla })A+B(\mathrm{\nabla }\cdot A)-A(\mathrm{\nabla }\cdot B)$

i

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }p)=0$.

Note's que $\mathrm{\nabla }\cdot 𝜴=0$ també és necessària.

La forma vectorial de la teorema de Taylor–Proudman tal volta s'entenga millor expandint-la en els seus components respecte dels eixos coordenados:

${\Omega }_x\frac{\partial 𝐮}{\partial x}=0$

${\Omega }_y\frac{\partial 𝐮}{\partial y}=0$

${\Omega }_z\frac{\partial 𝐮}{\partial z}=0$

Ara s'elegixen coordenades en les quals ${\Omega }_x={\Omega }_y=0$ i llavors les equacions es reduïxen a

$\frac{\partial 𝐮}{\partial z}=0,$

si ${\Omega }_z\ne 0$. Note's que l'implicació és que les tres components del vector de velocitat són uniformes a lo llarc de qualsevol llínea paralela a l'eix Z.