Test de Dini

En matemàtiques, els tests de Dini i de Dini-Lipschitz són procediments molt precisos que poden usar-se per a provar que la série de Fourier d'una funció convergix en un punt donat. Reben el seu nom d'Ulisse Dini i Rudolf Lipschitz.

Definició

Siga $f$ una funció definida en $[0,2\pi ]$, siga $t$ un punt i $\delta$ una constant positiva. Definim el mòdul local de continuïtat en el punt $t$ com

${\omega }_f(\delta ;t)=\underset{|\epsilon |\le \delta }{\max }|f(t)-f(t+\epsilon )|$

Note's que es considera $f$ una funció periòdica. Per eixemple, si $t=0$ i $ϵ$ és negatiu, es té $f(ϵ)=f(2\pi +ϵ)$.

El mòdul global de continuïtat (o, simplement, mòdul de continuïtat) es definix com

${\omega }_f(\delta )=\underset{t}{\max }{\omega }_f(\delta ;t)$

En estes definicions es poden enunciar els resultats principals

Teorema (test de Dini): Supongam que una funció $f$ satisfà en un punt $t$ que

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }{\omega }_f(\delta ;t)\mathrm{d}\delta <\mathrm{\infty }.$

Llavors la série de Fourier de $f$ convergix en $t$ a $f(t)$.

Per eixemple, la teorema es complix en ${\omega }_f={\log }^{-2}\left(\frac{1}{\delta }\right)$ pero no en ${\log }^{-1}\left(\frac{1}{\delta }\right)$.

Teorema (test de Dini-Lipschitz): Supongam que una funció $f$ satisfà

${\omega }_f(\delta )=o{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}.$

Llavors la série de Fourier de $f$ convergix uniformemente a $f$.

En particular, qualsevol funció d'una classe de Hölder satisfà el test de Dini-Lipschitz.

Precisió

Abdós tests són lo millor que poden ser. Per al test de Dini-Lipschitz, és possible construir una funció $f$ el mòdul de la qual de continuïtat satisfà el test en $O$ en lloc de $o$, açò és,

${\omega }_f(\delta )=O{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}.$

i la série de Fourier de $f$ divergix. Per al test de Dini, l'afirmació més precisa és una miqueta més llarga. Afirma que per a qualsevol funció $\Omega$ tal que

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }\Omega (\delta )\mathrm{d}\delta =\mathrm{\infty }$

existix una funció $f$ tal que

${\omega }_f(\delta ;0)<\Omega (\delta )$

i la série de Fourier de $f$ divergix en 0.

Vore també

• Convergència de séries de Fourier
• Continuïtat de Dini
• Criteri de Dini