Teoria de conjunts

La teoria de conjunts és la branca de la llògica matemàtica que estudia els conjunts, els quals poden descriure's informalment com a coleccions d'objectes. Encara que poden reunir-se objectes de qualsevol tipo en un conjunt, la teoria de conjunts —com a branca de les matemàtiques— s'ocupa principalment d'aquells que són rellevants per a les matemàtiques en el seu conjunt.

L'estudi modern de la teoria de conjunts va ser iniciat pels matemàtics alemans Richard Dedekind i Georg Cantor en la década de 1870. En particular, Georg Cantor és generalment considerat el fundador de la teoria de conjunts. Els sistemes no formalisats investigats durant esta etapa primerenca es coneixen baix el nom de teoria de conjunts ingènua. Despuix del descobriment de paradoxes dins de la teoria de conjunts ingènua (com la paradoxa de Russell, la paradoxa de Cantor i la paradoxa de Burali-Forti), es varen propondre diversos sistemes axiomàtics al començament del sigle XX, entre els quals la teoria de conjunts de Zermelo–Fraenkel (en o sense l'axioma d'elecció) seguix sent el més conegut i estudiat.

La teoria de conjunts s'utilisa freqüentement com a sistema fundacional per a tota la matemàtica, especialment en la forma de la teoria de conjunts de Zermelo–Fraenkel en l'axioma d'elecció. Ademés del seu paper fundacional, la teoria de conjunts proporciona el marc per a desenrollar una teoria matemàtica de l'infinit, i té diverses aplicacions en informàtica (com en la teoria de l'àlgebra relacional), filosofia, semàntica formal i dinàmica evolutiva. El seu atractiu fundacional, junt en les seues paradoxes i les seues implicacions per al concepte d'infinit i les seues múltiples aplicacions, han convertit a la teoria de conjunts en un àrea de gran interés per als llògics i filòsofs de la matemàtica. L'investigació contemporànea en teoria de conjunts comprén una àmplia gama de temes, des de l'estructura de la recta dels números reals fins a l'estudi de la consistència dels grans cardinals.

Educació matemàtica

A mida que la teoria de conjunts va guanyar popularitat com a fonament de les matemàtiques modernes, sorgí recolzament a l'idea d'introduir els conceptes bàsics de la teoria de conjunts ingènua des de les primeres etapes de l'educació matemàtica.

En Estats Units, durant la década de 1960, l'experiment de la "Nova Matemàtica" buscà ensenyar teoria de conjunts bàsica, entre atres conceptes abstractes, a estudiants de primària, pero va rebre numeroses crítiques. El currículum de matemàtiques en les escoles europees seguí esta tendència i actualment inclou la matèria en distints nivells a lo llarc de tots els cursos. Els diagrames de Venn s'utilisen àmpliament per a explicar relacions bàsiques entre conjunts a estudiants de primària (encara que John Venn els va idear originalment com a part d'un procediment per a evaluar la validea d'inferències en la llògica de térmens).

La teoria de conjunts s'utilisa per a introduir als estudiants en els operadors llògics (NO, I, O), i en la descripció semàntica o per regles (tècnicament, definició intensional) de conjunts (per eixemple, "mesos que comencen en la lletra A"), lo que pot ser útil per a deprendre programació informàtica, ya que la llògica booleana s'utilisa en diversos llenguages de programació. Aixina mateix, els conjunts i atres objectes similars com els multiconjunts i les llistes són tipos de senyes comunes en informàtica i programació.

Ademés, certs conjunts s'utilisen freqüentment en l'ensenyança matemàtica (com els conjunts ℕ de números naturals, ℤ de números sancers, ℝ de números reals, etc.). Estos s'utilisen habitualment en definir una funció matemàtica com una relació d'un conjunt (el domini) a un atre conjunt (el codomini o image).

Referències

• Kaplansky, Irving (1972), De Prima, Charles (ed.), Set Theory and Metric Spaces, Boston: Allyn and Bacon, p. 4
• Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6

Enllaços externs

• Teoria de conjunts en wikipedia

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul en.wikipedia.org/wiki/Set_theory de la Wikipedia en anglés, baix llicència Creative Commons-BY-SA.