Anell artiniano

En àlgebra, un anell $R$ és artiniano per l'esquerra si les seues ideals per l'esquerra satisfan la condició de cadena descendent. Direm que un anell és artiniano si és artiniano per l'esquerra i per la dreta. En els anells conmutativos no s'utilisa esta distinció, puix artiniano per un costat implica artiniano per l'atre. Si un anell és artiniano, llavors és noetheriano.

Resultats coneguts

Si R és un anell artiniano i J el seu radical de Jacobson, llavors R/J és semisimple i J és nilpotent.

Tot anell artiniano és perfecte. Açò implica toda una serie de bones propietats com que tot mòdul té una coberta proyectiva, aixina com que el llímit directe de mòduls proyectivos és proyectivo. També es verifica que tot mòdul pla és proyectivo.

Eixemples

a) Els cossos i anells de divisió.
b) Els anells conmutativos en els que cada ideal primer és maximal
c) L'anell de les matrius d'orde n sobre un cos (teorema de Artin-Wedderburn)
d) Tot anell noetheriano que el seu radical siga nilpotent.