Anell noetheriano

En àlgebra abstracta, un anell $R$ és Noetheriano per l'esquerra si les seues ideals per l'esquerra satisfan la condició de cadena ascendent. Direm que un anell és noetheriano si és noetheriano per l'esquerra i per la dreta. En els anells conmutativos no s'utilisa esta distinció, puix noetheriano per un costat implica noetheriano per l'atre.

Els anells Noetherianos són nomenats aixina en honor a Amalie Emmy Noether.

Un dels primers resultats que pot demostrar-se és que un anell és noetheriano per l'esquerra si, i només si, tot ideal per l'esquerra de l'anell és finitamente generat. Una atra condició equivalent a les anteriors és que tot conjunt no buit d'ideals del anell té un ideal maximal. També és conegut que si $R$ és un anell noetheriano, llavors $R[X]$ és un anell noetheriano (teorema de la base de Hilbert)

Importància

El que un anell siga noetheriano implica d'alguna manera certes condicions de finitud. Aixina, per eixemple, en un anell noetheriano tot element es descompon en un producte finito d'elements irreducibles, encara que en general esta descomposició no serà única. Per a que un domini noetheriano siga domini d'factorización única deu verificar-se que tot element irreducible de l'anell siga primer.

En anells noetherianos conmutativos també implica que de l'intersecció d'una família qualsevol d'ideals (infinita o no), pot extraure's un subconjunt finito que tinga eixa mateixa intersecció. I encara més, tot ideal d'un anell noetheriano conmutativo pot expressar-se de forma única com a intersecció finita d'ideals primaris.

Un atre punt important és que si tenim una família qualsevol d'equacions polinòmiques sobre un anell noetheriano conmutativo, llavors podem prescindir de totes llevat un número finito per a obtindre un sistema que tinga la mateixa solució que el sistema inicial. També juga un paper important en el "bon comportament" de la dimensió de Krull. Estos resultats són fonamentals en geometria algebraica i d'ahí l'importància d'estos anells en esta branca de les matemàtiques.

Eixemples

a) El conjunt dels número entero $\mathbb{Z}$
b) Els dominis d'ideals principals
c) Els dominis de Dedekind.
d) Qualsevol cos i en particular $\mathbb{Q}$, $ℝ$ i $ℂ$
i) Els anells de polinomis sobre un anell noetheriano (en particular, sobre un cos)