Geometria algebraica

La geometria algebraica és una branca de la matemàtica que, com sugerix el seu nom, combina l'àlgebra abstracta, especialment l'àlgebra conmutativa, en la geometria analítica. Es pot comprendre com l'estudi dels conjunts de solucions dels sistemes de equacions algebraiques. Quan hi ha més d'una variable, apareixen les consideracions geomètriques que són importants per a entendre el fenomen. Es pot dir que la matèria en qüestió comença quan s'abandona la mera solució d'equacions, i el tema de "entendre" totes les solucions es torna tan important com el de trobar alguna solució, lo que du a les "aigües més profundes" del món de la matemàtica, tant conceptual com tècnicament.

Els objectes fonamentals d'estudi de la geometria algebraica són les varietats algebraiques, que són manifestacions geomètriques de solucions de sistemes d'equacions polinòmiques. Eixemples de les classes més estudiades de varietats algebraiques són llínees rectes, circumferèncias, paràboles, elipses, hipérbolas, curves cúbiques com les curves elíptiques, i curves cuárticas com les lemniscatas i l'óval de Cassini. En estes curves algebraiques planes, un punt del pla pertany a una curva algebraica si les seues coordenades satisfan una equació polinòmica donada. Les qüestions bàsiques es referixen a l'estudi dels punts d'especial interés com els punts singulars, els punts d'inflexió i els punts en l'infinit. Qüestions més alvançades involucren la topología de la curva i les relacions entre les curves donades per diferents equacions.

La geometria algebraica ocupa un lloc central en les matemàtiques modernes i té múltiples conexions conceptuals en camps tan diversos com l'anàlisis complex, la topología i la teoria de números. Inicialment un estudi de sistemes d'equacions polinòmiques en vàries variables, el tema de la geometria algebraica comença a partir d'a on alcança la resolució d'equacions, i es torna encara més important comprendre les propietats intrínseques de la totalitat de les solucions d'un sistema d'equacions que trobar una solució específica. Açò conduïx a algunes de les àrees més profundes de totes les matemàtiques, tant conceptualment com en térmens de tècnica.

Història

L'idea de les coordenades desenrollada per Descartes és central per a la geometria algebraica, perque un punt d'una varietat algebraica és un element les coordenades del qual són una solució de les equacions que definixen la varietat. No obstant, el concepte ha sofrit una série de notables transformacions a partir de principis de el XIX. Anteriorment, se suponia que les coordenades eren tuplas de número real, pero la situació va canviar quan primer es varen acceptar els número complejo, i despuix els elements d'un camp arbitrari. Les coordenades homogénees de la geometria proyectiva varen oferir una extensió de la noció de sistema de coordenades en una direcció diferent, i varen enriquir l'alcanç de la geometria algebraica.

En el XX, la geometria algebraica es va dividir en vàries subárea:

La corrent principal de la geometria algebraica es dedica a l'estudi dels punts complexos de les varietats algebraiques i més generalment als punts en coordenades en un cos algebraicamente tancat.
La geometria algebraica real és l'estudi dels punts reals d'una varietat algebraica.

La geometria diofántica i, més en general la geometria aritmètica, és l'estudi dels punts d'una varietat algebraica en coordenades en camps que no són algebraicamente tancats presents en la teoria algebraica de números, com el cos dels número racional, els cossos numèrics, els camps finitos, els camps de funcions, i el dels números p-ádicos.
Una gran part de la teoria de la singularitat està dedicada a les singularitats de varietats algebraiques.
La geometria algebraica computacional és un àrea que ha sorgit com l'intersecció de la geometria algebraica i del àlgebra computacional en l'auge dels ordenadors. Consistix principalment en el disseny d'algoritmes i el desenroll de software per a l'estudi de propietats de varietats algebraiques donades explícitament.

Gran part del desenroll de la corrent principal de la geometria algebraica en el XX es va produir dins d'un marc algebraic abstracte, posant cada volta més émfasis en les propietats "intrínseques" de les varietats algebraiques que no depenen de cap forma particular d'incrustar la varietat en un espai de coordenades ambiente. Açò és paralel als desenrolls en topología, geometria diferencial i geometria complexa. Un guany clau d'esta geometria algebraica abstracta és la teoria d'esquemes de Grothendieck, que permet utilisar la teoria de fas per a estudiar varietats algebraiques d'un modo molt similar al seu us en l'estudi de varietats diferenciables i de varietats complexes. Açò s'obté estenent la noció de punt: en geometria algebraica clàssica, un punt d'una varietat afí pot identificar-se, a través del teorema dels zeros de Hilbert, en un ideal màxim del anell de coordenades, mentres que els punts de l'esquema afí corresponent són tots ideals cosins d'este anell. Açò significa que un punt de tal esquema pot ser un punt usual o una subvariedad. Este enfocament també permet unificar el llenguage i les ferramentes de la geometria algebraica clàssica, que s'ocupa principalment dels punts complexos, i de la teoria algebraica de números. La prova d'Andrew Wiles del última teorema de Fermat és un eixemple de la potència d'este enfocament.

Zeros de polinomis simultàneus

En la geometria algebraica clàssica, el principal objecte d'interés són els conjunts a on s'anula certa colecció de polinomis, lo que vol dir, el conjunt de tots els punts que satisfan simultàneament una o més equacions polinòmiques. Per eixemple, una esfera de ràdio r de dos dimensions en l'espai euclídeo de tres dimensions R³ es pot definir com el conjunt de tots els punts (x, i, z) tals que

x^{2} + y^{2} + z^{2} - r^{2} = 0

Un círcul "inclinat" en R³ pot definir-se com el conjunt de tots els punts (x, i, z) que satisfan les dos equacions polinòmiques següents:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - r^{2} = 0

x + y + z = 0

Varietats afins

Comencem en primer lloc en un cos k. En geometria algebraica clàssica, este cos va ser sempre C, els número complejo, pero molts dels resultats són també certs si solament assumim que k és algebraicamente tancat. Definim $𝔸_{k}^{n}$ , cridat n-espai afí sobre k, com a kⁿ. Usarem esta notació puix no sempre es treballarà en un cos k. Abstractamente parlant, $𝔸_{k}^{n}$ és, de moment, solament una colecció de punts.

Per tant, en avant eliminarem la k en $𝔸_{k}^{n}$ i escriurem $𝔸^{n}$ .

Direm que una funció $f : 𝔸^{n} \to 𝔸^{1}$ és regular si pot escriure's per mig d'un polinomi, açò és, si existix un polinomi p sobre k [x₁,...,x_n] tal que per a cada punt (t₁,...,t_n) de $𝔸^{n}$ , f(t₁,...,t_n)=p(t₁,...,t_n). Les funcions regulars sobre el n-espai afí són d'esta manera lo mateix que els polinomis sobre k en n variables. Escriurem les funcions regulars sobre $𝔸^{n}$ com $k [𝔸^{n}]$ .

Direm que un polinomi s'anula en un punt si en evaluar-ho en ell el resultat és zero. Siga S un conjunt de polinomis en $k [𝔸^{n}]$ . El conjunt anulador de S (o locus anulador) és el conjunt V(S) de tots els punts en $𝔸^{n}$ a on cada polinomi de S s'anule. En atres paraules,

V (S) = {u \in 𝔸^{n} | \forall P \in S, P (u) = 0}

Un subconjunt de $𝔸^{n}$ que és un V(S) per a algun S es diu conjunt algebraic afí. La V es referix a l'inicial de varietat. En molts texts no existix diferència entre varietat algebraica afí i conjunt algebraic afí, no obstant és usual referir-se a V(S) com a varietat algebraica afí quan no es pot expressar com a unió de dos subconjunts algebraics afins propis (continguts en el sentit estricte). En qualsevol cas, esta última definició coincidix en la de conjunt algebraic afí irreducible. De manera que, en determinats texts, les nocions de varietat i irreducibilidad són equivalents.

Donat un conjunt V de $𝔸^{n}$ del que sapiam que és una varietat, seria desijable determinar el conjunt de polinomis que ho genera, encara que farem una definició per a un cas més general: si V és qualsevol subconjunt de $𝔸^{n}$ (no necessàriament una varietat), definim I(V) com el conjunt de tots els polinomis que el seu conjunt anulador conté a V. La I esta volta és per Ideal: si tinc dos polinomis f i g i els dos s'anulen en V, llavors f+g també s'anula en V, i si h és qualsevol polinomi, llavors hf s'anula en V, aixina que I(V) és sempre un ideal de $k [𝔸^{n}]$ .

Dos qüestions que es plantegen ara són: si tenim un subconjunt V de $𝔸^{n}$ , ¿quàn és V=V(I(V))? I, si tenim un conjunt de polinomis, S, ¿quàn és S=I(V(S))? La resposta a la primera qüestió la proveïx l'introducció de la topología de Zariski, una topología en $𝔸^{n}$ que reflectix directament l'estructura algebraica de $k [𝔸^{n}]$ . Llavors V=V(I(V)) si i solament si V és un conjunt Zariski-tancat. La resposta a la segona qüestió ve donada per la Hilbert Nullstellensatz. En una de les seues formes, diu que S=I(V(S)) és l'ideal radical de l'ideal generat per S.

Per vàries raons no sempre volem treballar en tot l'ideal corresponent a un conjunt algebraic V. El teorema de la base de Hilbert implica que els ideals en $k [𝔸^{n}]$ sempre es generen finitament.

Llavors es té que un conjunt algebraic és una irreducible (o en alguns casos simplement varietat) si i solament si els polinomis que ho definixen generen un ideal primer del anell de polinomis.

Funcions regulars

De la mateixa manera que les funcions contínues són les aplicacions naturals en els espais topològics i les funcions suaus són les aplicacions (morfismos) naturals en les varietats diferenciables, existix una classe natural de funcions sobre un conjunt algebraic, cridades regulars. Una funció regular sobre un conjunt algebraic V contingut en $𝔸^{n}$ està definida com la restricció d'una funció regular en $𝔸^{n}$ , en el sentit definit dalt.

Pot semblar antinaturalment restrictiu el requerir que una funció regular sempre s'estenga a l'espai ambiente, pero esta situació és molt similar a la que es dona en un espai topològic normal, a on el teorema d'extensió de Tietze garantisa que una funció contínua en un subconjunt tancat sempre pot estendre's a l'espai topològic ambient.

De la mateixa manera que les funcions regulars en un espai afí, les funcions regulars en V formen un anell, que denotem com a k[V]. A este anell se li crida el anell coordenado de V.

Ya que les funcions regulars en V provenen de les funcions regulars en $𝔸^{n}$ , deuria haver una relació entre els seus anells coordenados. Específicament, agarrant una funció de k[V] lo estem fent en $k [𝔸^{n}]$ , i vàrem dir que era la mateixa que una atra funció si donaven els mateixos valors quan les evaluávamos en V. Açò és lo mateix que dir que la seua diferència és zero en V. D'açò podem vore que k[V] és el cocient $k [𝔸^{n}] / I (V)$ .

La categoria de les varietats afins

Usant les funcions regulars des d'una varietat afí a $𝔸^{1}$ , podem definir les funcions regulars d'una varietat afí a una atra. Primer definirem una funció regular d'una varietat a un espai afí: siga V una varietat continguda en $𝔸^{n}$ . Elegix m funciones regulars en V, i crida-les f₁,...,f_m. Definim una funció regular f de V a $𝔸^{m}$ per mig de f(t₁,...,t_n)=(f₁,...,f_m). En atres paraules, cada f_i determina una coordenada del ranc de f.

Si V és una varietat continguda en $𝔸^{m}$ , llavors f és una funció regular de V a V' si el ranc de f està contingut en V.

Açò convertix a la colecció de totes les varietats afins en una categoria, els objectes de la qual són varietats afins i que els seus morfismos són les aplicacions regulars. La teorema següent caracterisa esta categoria:

La categoria de varietats afins és la dual de la categoria de les k-#àlgebra reduïdes i finitamente generades, i els seus homomorfismes.

Espai proyectivo

Considere's la varietat V(i=x²). Si la dibuixem en un sistema de coordenades cartesianes obtenim una paràbola. Segons x creix, veem que la pendent de la llínea que va des de l'orige fins al punt (x, x²) es fa més i més gran. Segons x decreix, la pendent de la mateixa es fa més i més menuda.

Comparem açò en la varietat V(i=x³). Esta és una equació cúbica. Segons x creix, la pendent de la llínea des de l'orige fins al punt (x, x³) es fa major, com abans. Pero, al contrari que en l'anterior, segons x decreix, la pendent de la mateixa llínea es fa major. Aixina que el comportament "a l'infinit" de V(i=x³) és diferent del de V(i=x²). No obstant, és difícil donar sentit al concepte de "a l'infinit", si nos restringim a l'espai afí.

El remei a açò és treballar en l'espai proyectivo, que té propietats anàlogues a les d'un espai de Hausdorff compacte. Entre atres coses, nos permet fer precisa la noció de "a l'infinit" per mig de l'inclusió de punts extra. El comportament d'una varietat en aquells punts extra nos dona més informació sobre ella. I es veu que V(i=x³) té una singularitat en un d'aquells punts extra, pero V(i=x²) és suau.

Els primers geómetras algebraics es varen donar conte ràpidament de que l'espai proyectivo té propietats molt millors que l'afí ordinari. Per eixemple, el Teorema de Bézout sobre el número de punts d'intersecció entre dos varietats pot ser mostrat en la seua forma més esmolada solament en l'espai proyectivo. Per esta raó, este espai té un paper fonamental en la geometria algebraica.

El punt de vista modern

L'estudi modern de la geometria algebraica redefinix els objectes bàsics del seu estudi. Les varietats queden subsumidas en el concepte d'esquema, d'Alexander Grothendieck. Est ve de l'observació de que si les k-#àlgebra reduïdes finitamente generades són objectes geomètrics, llavors potser qualsevol anell conmutativo podria ser-ho. Com es comprova aixina, est és un nou punt de vista molt fructífer, i és la base per a tota l'investigació moderna en geometria algebraica.

Notes i història

Una classe important de varietats són les varietats abelianas, que són aquelles els punts de les quals formen un grup....

Els eixemples prototípicos són les curves elíptiques, que varen anar un instrument fonamental per a la prova del última teorema de Fermat i s'usen també en criptografia de curves elíptiques.

Mentres que molta de la geometria algebraica tracta de proposicions abstractes i generals sobre varietats, també s'han desenrollat els métodos per a la computació efectiva en polinomis concrets daus. La tècnica més important és la de les bases de Gröbner, que s'ampra en tots els sistemes d'àlgebra computacional.

La geometria algebraica va ser desenrollada enormement pels geómetras italians a principis del sigle XX. Enriques va classificar les superfícies algebraiques llevat isomorfisme biracional. L'estil d'este grup de matemàtics va ser molt intuïtiu i no tenia el rigor modern.

Sobre els anys 1930 i 1940, Oscar Zariski, André Weil i uns atres es varen donar conte de que esta disciplina necessitava refundar-se per mig de l'àlgebra conmutativa. L'àlgebra conmutativa (com l'estudi dels anells conmutativos i els seus ideals) havia segut i va ser desenrollada per David Hilbert, Max Noether, Emanuel Lasker, Emmy Noether, Wolfgang Krull i uns atres. Abans d'ells no existien fonaments estàndar per a la geometria algebraica.

En els anys 1950 i 1960, Jean-Pierre Serre i Alexander Grothendieck varen refer la fundamentación fent us de la teoria de fas. Més vesprada, al voltant de 1960, es va desenrollar l'idea dels esquemes, conjuntament en el refinat aparat del àlgebra homológica. Despuix d'una década de ràpit desenroll, el camp es va estabilisar en els anys 1970, i varen sorgir aplicacions en la teoria de números i en les més clàssiques qüestions geomètriques de varietats algebraiques, singularitats i mòduls.

Bibliografia

Un llibre clàssic:

Hodge, W. V. D., and Pedoe, Daniel, Methods of Algebraic Geometry: Volume 1, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46900-7
Hodge, W. V. D., and Pedoe, Daniel, Methods of Algebraic Geometry: Volume 2, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46901-5
Hodge, W. V. D., and Pedoe, Daniel, Methods of Algebraic Geometry: Volume 3, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-46775-6

Texts moderns sense el llenguage d'esquemes:

Griffiths, Phillip, and Harris, Joe, Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience, 1994, ISBN 0-471-05059-8
Harris, Joe, Algebraic Geometry: A First Course, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-97716-3
Mumford, David, Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties, 2nd ed., Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58657-1
Reid, Mills, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35662-8
Shafarevich, Igor, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer-Verlag, 2nd ed., 1995, ISBN 0-387-54812-2

Llibres i referències per als esquemes:

Eisenbud, David, and Harris, Joe, The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98637-5
Grothendieck, Alexander, Éléments de géométrie algébrique, Publications mathématiques de l'IHÉS, vols. 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32, 1960, 1961, 1963, 1964, 1965, 1966, 1967
Grothendieck, Alexander, Éléments de géométrie algébrique, vol. 1, 2nd ed., Springer-Verlag, 1971, ISBN 3-540-05113-9
Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0-387-90244-9
Mumford, David, The Ret Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians, 2nd ed., Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-63293-X
Shafarevich, Igor, Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds, Springer-Verlag, 2nd ed., 1995, ISBN 0-387-54812-2

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Geometria algebraica.
The Stacks project
Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
Algebraic geometry entry on PlanetMath

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Geometría algebraica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.