Cos d'número algebraico

En matemàtica, un cos d'número algebraico (o simplement cos numèric) F és una extensió de cossos finita (i també algebraica) dels número racional Q. Aixina que, F és un cos que conté Q i té dimensió finita quan és considerat com un espai vectorial sobre Q.

L'estudi dels cossos d'número algebraico, i, més generalment, de les extensions algebraiques dels número racional, és el tema central de la teoria d'número algebraico.

Definició

Prerrequisitos

Artícul principal → Cos (matemàtiques).

La noció de cos dels número algebraico es basa en el concepte d'un cos. Els cossos consistixen en un conjunt d'elements, junt en les quatre operacions principals, definides com adició, substracción, multiplicació i divisió per elements distints de 0. Un eixemple molt comú de cos és el cos dels número racional, comunament denotats per Q, junt en les seues operacions usuals de suma, etc.

Una atra noció necessària per a definir els cossos dels número algebraico és el d'espai vectorial. En la mida necessària, els espais vectorials poden ser considerats com a seqüències (o tuplas)

(x₁, x₂, ...)

les parts constituents del qual són elements d'un cos fixat, com pot ser el cos Q. Qualsevol parell d'estes seqüències pot ser sumada per mig de la suma de les parts constituents una a una. Ademés, qualsevol d'estes seqüències pot ser multiplicada per un element c d'un cos fixat. Estes dos operacions són conegudes com suma de vectores i multiplicació escalar satisfent un número de propietats que servixen per a definir els espais vectorials abstractament. Els espais vectorials també poden ser de «dimensió infinita», o lo que és lo mateix, que les seqüències constituents d'estos espais vectorials tenen llongitut infinita. No obstant, si l'espai vectorial consistix en un grup de seqüències finitas

(x₁, x₂, ..., x_n),

l'espai vectorial es diu que té una dimensió finita, n.

===

Definició ===

Un cos d'número algebraico (o simplement cos numèric) és per definició un grau finito d'extensió de cossos del cos dels número racional. este grau d'extensió de Q és simplement cridat com a grau.

Eixemples

El camp numèric més chicotet i bàsic és el camp $ℚ$ dels número racional. Moltes propietats dels camps numèrics generals es modelen a partir de les propietats de $ℚ$ . Al mateix temps, moltes atres propietats dels camps d'número algebraico són substancialment diferents de les propietats dels número racional - un eixemple notable és que l'anell de sancers algebraics d'un camp de números no és un domini ideal principal, en general.
Els número racional de Gauss, denotats $ℚ (i)$ (llegits com " $ℚ$ adjunt de $i$ "), formen el primer eixemple (històricament) no trivial d'un camp numèric. Els seus elements són elements de la forma $a + b i$ a on tant a com a b són número racional i i és l'unitat imaginària. Tals expressions poden sumar-se, restar-se i multiplicar-se segons les regles aritmètiques usuals i després simplificar-se usant l'identitat $i^{2} = - 1.$ Explícitament,

$\begin{matrix} (a + b i) + (c + d i) & = & (a + c) + (b + d) i \\ (a + b i) \cdot (c + d i) & = & (a c - b d) + (a d + b c) i \end{matrix}$

Els número racional gaussianos distints de zero són invertibles, lo que es deduïx de l'identitat $(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} i) = \frac{(a + b i) (a - b i)}{a^{2} + b^{2}} = 1.$ D'això es deduïx que els racionals de Gauss formen un camp numèric que és bidimensional com un espai vectorial sobre $ℚ$ .

En térmens més generals, per a qualsevol número entero $d$ , el camp quadràtic... $ℚ (\sqrt{d})$ és un camp numèric que s'obté unint la raïl quadrada de $d$ al camp dels número racional. Les operacions aritmètiques en este camp es definixen per analogia en el cas dels número racional gaussianos, $d = - 1$ .

El camp ciclotòmic $ℚ (ζ_{n}),$ a on $ζ_{n} = \exp 2 π i / n$ és un camp numèric obtingut a partir de $ℚ$ unint una $n$ ésima raïl de l'unitat primitiva $ζ_{n}$ . Este camp conté totes les raïls complexes n de l'unitat i la seua dimensió sobre $ℚ$ és igual a $φ (n)$ , a on $φ$ és la funció φ de Euler.

No-Eixemples

Els número reals, $ℝ$ , i els número complejos, $ℂ$ , són camps que tenen dimensió infinita com a espais vectorials $ℚ$ , per lo tant, no són camps numèrics. Açò es deduïx de l'incontabilidad de $ℝ$ i $ℂ$ com a conjunts, mentres que tot camp numèric és necessàriament contable.
El conjunt $ℚ^{2}$ de parells ordenatss d'número racional, en la suma i multiplicació per entrades, és un àlgebra conmutativa bidimensional sobre $ℚ$ . No obstant, no és un camp, ya que té divisor de zero: $(1, 0) \cdot (0, 1) = (1 \cdot 0, 0 \cdot 1) = (0, 0)$

Algebraicidad i anell de sancers

Generalment, en àlgebra abstracta, una extensió de camp $K / L$ és algebraic si cada element $f$ del camp major $K$ és el zero d'un polinomi en coeficients $e_{0}, \dots, e_{m}$ en $L$ :.

p (f) = e_{m} f^{m} + e_{m - 1} f^{m - 1} + \dots + e_{1} f + e_{0} = 0

Tota extensió de camp de grau finito és algebraica. (Prova: per a $x$ en $K$ , basta considerar $1, x, x^{2}, x^{3}, \dots$ - obtenim una dependència llineal, és dir, un polinomi del que $x$ és raïl). En particular, açò s'aplica als camps d'número algebraico, per lo que qualsevol element $f$ d'un camp d'número algebraico $K$ es pot escriure com un zero d'un polinomi en coeficients racionals. Per lo tant, els elements de $K$ també es denominen número algebraico. Donat un polinomi $p$ tal que $p (f) = 0$ , pot ordenar-se de manera que el coeficient principal $e_{m}$ siga un, dividint tots els coeficients per ell, si és necessari. Un polinomi en esta propietat es coneix com polinomi mónico. En general tindrà coeficients racionals.

No obstant, si els seus coeficients són tots sancers, $f$ es denomina sancer algebraic'.

Qualsevol sancer (habitual) $z \in ℤ$ és un sancer algebraic, ya que és el zero del polinomi llineal mónico:

p (t) = t - z

.

Es pot demostrar que qualsevol sancer algebraic que siga també un número racional deu ser en realitat un número entero, d'ahí el nom de "sancer algebraic". Utilisant de nou l'àlgebra abstracta, concretament la noció de mòdul finitamente generat, es pot demostrar que la suma i el producte de dos sancers algebraics qualssevol seguix sent un sancer algebraic. Es deduïx que els sancers algebraics en $K$ formen un anell denotat $𝒪_{K}$ cridat el anell dels número entero de $K$ . És un subanillo de (és dir, un anell contingut en) $K$ . Un camp no conté divisores zero i esta propietat l'hereta qualsevol subanillo, per lo que l'anell de sancers de $K$ és un domini d'integritat. El camp $K$ és el cos de fraccions del domini integral $𝒪_{K}$ .. D'esta forma es pot anar i vindre entre el camp d'número algebraico $K$ i el seu anell de sancers $𝒪_{K}$ . Els anells de sancers algebraics tenen tres propietats distintives: en primer lloc, $𝒪_{K}$ és un domini integral que és integralment tancat en el seu camp de fraccions $K$ .. En segon lloc, $𝒪_{K}$ és un anell noetheriano. Per últim, cada ideal primer no nul de $𝒪_{K}$ és maximal o, equivalentement, la dimensió de Krull d'este anell és un. Un anell conmutativo abstracte en estes tres propietats es denomina domini de Dedekind, en honor de Richard Dedekind, que va mamprendre un profunt estudi dels anells de sancers algebraics.

Factorización única

Para Domini de Dedekind general, en particular anells de sancers, existix una factorización única d'ideals en un producte d' ideals cosins. Per eixemple, l'ideal $(6)$ en l'anell $𝐙 [\sqrt{- 5}]$ de sancers quadràtics factors en ideals cosins com

(6) = (2, 1 + \sqrt{- 5}) (2, 1 - \sqrt{- 5}) (3, 1 + \sqrt{- 5}) (3, 1 - \sqrt{- 5})

.

No obstant, a diferència de $𝐙$ com a anell de sancers de $𝐐$ , l'anell de sancers d'una extensió pròpia de $𝐐$ no necessita admetre factorización única de números en un producte d'número primo o, més precisament, elements primers. Açò ocorre ya para sancers quadràtics, per eixemple en $𝒪_{𝐐 (\sqrt{- 5})} = 𝐙 [\sqrt{- 5}]$ , falla l'unicitat de la factorización:

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{- 5}) \cdot (1 - \sqrt{- 5})

.

Usant la norma es pot demostrar que estes dos factorización són en realitat no equivalents en el sentit de que els factors no només diferixen en una unitat en $𝒪_{𝐐 (\sqrt{- 5})}$ . Els dominis euclidianos són dominis d'factorización única; per eixemple $𝐙 [i]$ , l'anell de sancers de Gauss, i $𝐙 [ω]$ , l'anell de sancers de Eisenstein, a on $ω$ és una raïl cúbica de l'unitat (desigual a 1), tenen esta propietat.^[1]

Objectes analítics: funcions ζ, funcions L i fòrmula del número de classe

El fracàs de la factorización única es medix pel número de classe, comunament denotat h, la cardinalidad del cridat grup de classe ideal. Este grup és sempre finito. L'anell de sancers $𝒪_{K}$ posseïx factorización única si i només si és un anell principal o, equivalentement, si $K$ té número de classe 1. Donat un camp numèric, el número de classe és a sovint difícil de calcular. El problema del número de classe, que es remonta a Gauss, s'ocupa de l'existència de camps numèrics quadràtics imaginaris (és dir, $𝐐 \sqrt{- d}, d \geq 1$ ) en número de classe prescrit. La fòrmula del número de classe relaciona h en atres invariantes fonamentals de $K$ . Implica la funció zeta de Dedekind ζ_$K$(s), una funció en una variable complexa s, definida per

ζ_{K} (s) : = \prod_{𝔭} \frac{1}{1 - N (𝔭)^{- s}} .

El producte és sobre tots els ideals cosins de $𝒪_{K}$ ,. $N (𝔭)$ denota la norma de l'ideal primer o, equivalentement, el número (finito) d'elements en el camp de residus. $𝒪_{K} / 𝔭$ . El producte infinit convergix només para Re(s) > 1, en general la continuació analítica i l'equació funcional per a la funció zeta són necessàries per a definir la funció per a tots els s). La funció zeta de Dedekind generalisa la funció zeta de Riemann en que

ζ_$ℚ$(s) = ζ(s).

La fòrmula del número de classe establix que ζ_$K$(s) té un pol simple en s = 1 i en este punt el residu ve dau per

\frac{2^{r_{1}} \cdot (2 π)^{r_{2}} \cdot h \cdot Reg}{w \cdot \sqrt{| D |}} .

Ací r₁ i r₂ denoten clásicamente el número d'incrustaciones reals i parells d'incrustaciones complexes de $K$ , respectivament. Ademés, Reg és el regulador de $K$ , w el número de raïls de l'unitat en $K$ i D és el discriminante de $K$ .

Les funcions L de Dirichlets $L (χ, s)$ són una variant més refinada de $ζ (s)$ . Abdós tipos de funcions codifiquen el comportament aritmètic de $ℚ$ i $K$ , respectivament. Per eixemple, Teorema de Dirichlet afirma que en qualsevol progressió aritmètica

a, a + m, a + 2 m, \dots

en coprimo $a$ i $m$ , hi ha infinits número primo. Esta teorema està implícita en el fet de que la funció $L$ de Dirichlet és distinta de zero en $s = 1$ . Utilisant tècniques molt més alvançades que inclouen la teoria K algebraica i les mides de Tamagawas, la teoria moderna de números s'ocupa d'una descripció, encara que en gran mida conjetural (vejau conjectura del número de Tamagawa), de valors de funció Ls més generals.^[2]

Bases per a camps numèrics

Base integral

Una base integral per a un camp numèric $K$ de grau $n$ és un conjunt

B = {b₁, …, b_n}

de n sancers algebraics en $K$ tal que cada element de l'anell de sancers $𝒪_{K}$ de $K$ pot escriure's unívocamente com una combinació llineal Z d'elements de B; és dir, per a qualsevol x en $𝒪_{K}$ tenim

x = m₁b₁ + ⋯ + m_nb_n,

a on m_i són sancers (ordinaris). També es dona el cas de que qualsevol element de $K$ pot escriure's unívocamente com

m₁b₁ + ⋯ + m_nb_n,

a on ara els m_i són número racional. Els sancers algebraics de $K$ són llavors precisament aquells elements de $K$ a on els m_i són tots sancers.

Treballant localment i usant ferramentes com el mapa de Frobenius, sempre és possible calcular explícitament tal base, i ara és estàndar que els sistemes d'àlgebra computacional tinguen programes incorporats per a fer-ho.

Base de potència

Siga $K$ un camp numèric de grau $n$ .. Entre totes les bases possibles de $K$ (vist com un espai vectorial $ℚ$ ), existixen unes particulars conegudes com bases de potència, que són bases de la forma

B_{x} = {1, x, x^{2}, \dots, x^{n - 1}}

per a algun element Pel teorema de l'element primitiu, existix tal $x$ , cridat element primitiu. Si $x$ es pot elegir en $𝒪_{K}$ i tal que $B_{x}$ és una base de $𝒪_{K}$ com un mòdul lliure Z, llavors $B_{x}$ es diu una base integral de potència, i el camp $K$ es diu #Teorema de l'element primitivoun camp monogénico. Un eixemple d'un camp numèric que no és monogénico va ser donat per primera volta per Dedekind. El seu eixemple és el camp que s'obté en adossar una raïl del polinomi^[3] $x^{3} - x^{2} - 2 x - 8.$

Referències

↑ (1998).«A Classical Introduction to Modern Number Theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:, Ch. 1.4
↑ (1990).«The Grothendieck Festschrift, Vol. I».Birkhäuser Boston.Boston, MA:86
333–400.
↑ Narkiewicz 2004, §2.2.6

Bibliografia

Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cuerpo de números algebraicos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (1998).«A Classical Introduction to Modern Number Theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:, Ch. 1.4

[2] (1990).«The Grothendieck Festschrift, Vol. I».Birkhäuser Boston.Boston, MA:86
333–400.

[3] Narkiewicz 2004, §2.2.6

[1]

[2]

[3]