Espai vectorial

Este artícul està orientat a proporcionar un tractament rigorós i abstracte del concepte d'espai vectorial. Per a una introducció més accessible al concepte, vore Vector

En àlgebra llineal, un espai vectorial (o també cridat espai llineal) és una estructura algebraica creada a partir d'un conjunt no buit, una operació interna (cridada suma, definida per als elements del conjunt) i una operació externa (cridada producte per un escalar, definida entre dit conjunt i un atre conjunt, en estructura de cos) que satisfà 8 propietats fonamentals.

Als elements d'un espai vectorial se'ls crida vectores i als elements del cos se'ls coneix com escalares.

Història

Històricament, les primeres idees que varen conduir als espais vectorials moderns es remonten a el XVII: geometria analítica, matrius i sistemes d'equacions llineals.

Els espais vectorials es deriven de la geometria afí a través de l'introducció de coordenadas en el pla o l'espai tridimensional. Al voltant de 1636, els matemàtics francesos Descartes i Fermat varen fundar les bases de la geometria analítica per mig de la vinculació de les solucions d'una equació en dos variables a la determinació d'una curva plana.^[1] Per a conseguir una solució geomètrica sense usar coordenades, Bernhard Bolzano va introduir en 1804 certes operacions sobre punts, llínees i plans, que són predecessors dels vectores.^[2] Este treball va fer us del concepte de coordenades baricéntricas d'August Ferdinand Möbius de 1827.^[3]

La primera formulació moderna i axiomàtica es deu a Giuseppe Peano, a finals de el XIX. Els següents alvanços en la teoria d'espais vectorials provenen del anàlisis funcional, principalment d'espais de funcions. Els problemes d'Anàlisis funcional requerien resoldre problemes sobre la convergència. Açò es va fer dotant als espais vectorials d'una adequada topología, permetent tindre en conte qüestions de proximitat i continuïtat. Estos espais vectorials topològics, en particular els espais de Banach i els espais de Hilbert tenen una teoria més rica i elaborada.

L'orige de la definició dels vectores és la definició de Giusto Bellavitis de bipoint, que és un segment orientat, un dels extrems del qual és l'orige i l'atre un objectiu. Els vectores es varen reconsiderar en la presentació dels número complejo d'Argand i Hamilton i la creació dels cuaterniones per este últim (Hamilton va anar ademés el que va inventar el nom de vector).^[4] Són elements de R² i R⁴; el tractament per mig de combinacions llineals es remonta a Laguerre en 1867, qui també va definir els sistemes d'equacions llineals.

En 1857, Cayley va introduir la notació matricial que permet una harmonisació i simplificació de les aplicacions llineals. Casi al mateix temps, Grassmann va estudiar el càlcul baricéntrico iniciat per Möbius. Va prevore conjunts d'objectes abstractes dotats d'operacions.^[5] En el seu treball, els conceptes d'independència llineal i dimensió, aixina com de producte escalar estan presents. En realitat el treball de Grassmann de 1844 supera el marc dels espais vectorials, ya que tenint en conte la multiplicació, també, ho va dur a lo que hui en dia es diuen àlgebras. El matemàtic italià Peano va donar la primera definició moderna d'espais vectorials i aplicacions llineals en 1888.^[6]

Un desenroll important dels espais vectorials es deu a la construcció dels espais de funcions per Henri Lebesgue. Açò més vesprada va ser formalisat per Banach en la seua tesis doctoral de 1920^[7]. i per Hilbert. En este moment, l'àlgebra i el nou camp del anàlisis funcional varen escomençar a interactuar, en particular en conceptes clau tals com els espais de funcions p-integrables i els espais de Hilbert. També en este temps, els primers estudis sobre espais vectorials d'infinites dimensions es varen realisar.

Els espais vectorials tenen aplicacions en atres branques de la matemàtica, la ciència i l'ingenieria. S'utilisen en métodos com les séries de Fourier, que s'utilisa en les rutines modernes de compressió d'imàgens i sò, o proporcionen el marc per a resoldre equacions en derivades parcials. Ademés, els espais vectorials proporcionen una forma abstracta lliure de coordenades de tractar en objectes geomètrics i físics, tals com tensorés, que a la seua volta permeten estudiar les propietats locals de varietats per mig de tècniques de linealización.

Notació

Donat un espai vectorial $V$ sobre un cos $K$ , es distinguixen els elements de $V$ i els de $K$ .

Els elements de $V$ solen denotar-se per

𝐮, 𝐯, 𝐰

i són cridats vectores.

Depenent les fonts que es consulten, també és comuna denotar-los per

\bar{u}, \bar{v}, \bar{w}

i si el text és de física llavors solen denotar-se per

\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}

Mentres que els elements de $K$ es denoten com

a, b, α, β

i són cridats escalares.

Definició

Un espai vectorial sobre un cos $K$ (com el cos dels número real o els número complejo) és un conjunt no buit, digam $V$ , dotat de dos operacions per a les quals serà tancat:

\begin{matrix} Suma & + : & V \times V & \to & V \\ (𝐮, 𝐯) & \mapsto & 𝐰 = 𝐮 + 𝐯 \end{matrix}

operació interna tal que:

Tinga la propietat conmutativa:

\forall 𝐮, 𝐯 \in V : 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮

Tinga la propietat associativa:

\forall 𝐮, 𝐯, 𝐰 \in V : 𝐮 + (𝐯 + 𝐰) = (𝐮 + 𝐯) + 𝐰

Existixca l'element neutre:

\exists 𝐞 \in V, \forall 𝐮 \in V : 𝐮 + 𝐞 = 𝐞 + 𝐮 = 𝐮

Existixca l'element simètric:

\forall 𝐮 \in V, \exists - 𝐮 \in V : 𝐮 + (- 𝐮) = 𝐞

I tinga l'operació producte per un escalar:

\begin{matrix} Producto & \cdot : & K \times V & \to & V \\ (a, 𝐮) & \mapsto & 𝐯 = a \cdot 𝐮 \end{matrix}

operació externa tal que: Tinga la propietat associativa:

\forall 𝑎, 𝑏 \in K, \forall 𝐮 \in V : 𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝐮) = (𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝐮

Existixca l'element neutre:

\exists e \in K, \forall 𝐮 \in V : e \cdot 𝐮 = 𝐮 \cdot e = 𝐮

Tinga la propietat distributiva respecte de la suma vectorial:

\forall 𝑎 \in K, \forall 𝐮, 𝐯 \in V : 𝑎 \cdot (𝐮 + 𝐯) = 𝑎 \cdot 𝐮 + 𝑎 \cdot 𝐯

Tinga la propietat distributiva respecte de la suma escalar:

\forall 𝑎, 𝑏 \in K, \forall 𝐮 \in V : (𝑎 + 𝑏) \cdot 𝐮 = 𝑎 \cdot 𝐮 + 𝑏 \cdot 𝐮

Vore també: Espai euclídeo

Vore també: Vector

Vore també: Representació gràfica de vectores

Observacions

La denominació de les dos operacions no condiciona la definició d'espai vectorial per lo que és habitual trobar traduccions d'obres en les que s'utilisa multiplicació per al producte i adició per a la suma, usant les distincions pròpies de l'aritmètica.

Per a demostrar que un conjunt $V_{}^{}$ és un espai vectorial:

Ho és si les seues dos operacions, per eixemple $⊙ (V, V)$ i $* (V, K),$ admeten una redefinició del tipo $+ (V, V) = ⊙ (V, V)$ i $\cdot (K, V) = * (V, K)$ complint les 8 condicions exigides. Si sabérem que $V_{}^{}$ és un grup conmutativo o abeliano respecte la suma ya tindríem provats els apartats 1, 2, 3 i 4. Si sabérem que el producte és una acció per l'esquerra de $V_{}^{}$ tindríem provats els apartats 5 i 6. Si no, es diu lo contrari:

𝑎 𝐯 \neq 𝐯 𝑎

.

Propietats

Si $𝑎 \cdot 𝐮 = 𝟎 \Rightarrow$ $𝑎 = 0 \lor 𝐮 = 𝟎 .$

Si $a_{}^{} = 0,$ és cert.
Si $a \neq 0,$ llavors:

\exists! a^{- 1} \in K :

a^{- 1} a = 1 \Rightarrow

u =

1 u =

(a^{- 1} a) u =

a^{- 1} (a u) =

a^{- 1} 0 = 0 \Rightarrow

u_{}^{} = 0.

Notació

- a u = - (a u)

.

Observació

- a u = (- a) u = a (- u)

Si

a u + a (- u) = a (u - u) = a 0 = 0 \Rightarrow

a (- u) = - a u

Si

a u + (- a) u = (a - a) u = 0 u = 0 \Rightarrow

(- a) u = - a u

Primer eixemple en demostració

Es vol provar que $ℝ^{2}$ és un espai vectorial sobre $ℝ$

Si $ℝ^{2}$ juga el paper de $V$ i $ℝ$ el de $K$ :

Els elements:

𝐮 \in V = ℝ^{2} = ℝ \times ℝ

són, de forma genèrica:

𝐮 = (u_{x}, u_{y})

és dir, parells d'número real. Per claritat es conserva la denominació del vector, en este cas o, en les seues coordenades, afegint el subíndex x o i per a denominar el seu component en l'eix x o i respectivament

En $V$ es definix l'operació suma:

\begin{matrix} + : & V \times V & ⟶ & V \\ (𝐮, 𝐯) & \mapsto & 𝐰 = 𝐮 + 𝐯 \end{matrix}

a on:

𝐮 = (u_{x}, u_{y})

𝐯 = (v_{x}, v_{y})

𝐰 = (w_{x}, w_{y})

i la suma de o i v seria:

𝐮 + 𝐯 = (u_{x}, u_{y}) + (v_{x}, v_{y}) = (u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}) = (w_{x}, w_{y}) = 𝐰

a on:

\begin{matrix} w_{x} = u_{x} + v_{x} \\ w_{y} = u_{y} + v_{y} \end{matrix}

açò implica que la suma de vectores és interna i ben definida.

L'operació interna suma té les propietats:

1) La propietat conmutativa, és dir:

𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮, \forall 𝐮, 𝐯 \in V

𝐮 + 𝐯 =

(u_{x}, u_{y}) + (v_{x}, v_{y}) =

(u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}) =

(v_{x} + u_{x}, v_{y} + u_{y}) =

(v_{x}, v_{y}) + (u_{x}, u_{y}) =

𝐯 + 𝐮

𝐯 + 𝐮 = 𝐯 + 𝐮

2) La propietat associativa:

(𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)

((u_{x}, u_{y}) + (v_{x}, v_{y})) + (w_{x}, w_{y}) = (u_{x}, u_{y}) + ((v_{x}, v_{y}) + (w_{x}, w_{y}))

(u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}) + (w_{x}, w_{y}) = (u_{x}, u_{y}) + (v_{x} + w_{x}, v_{y} + w_{y})

(u_{x} + v_{x} + w_{x}, u_{y} + v_{y} + w_{y}) = (u_{x} + v_{x} + w_{x}, u_{y} + v_{y} + w_{y})

3) té element neutre $𝟎$ :

𝐮 + 𝟎 = 𝐮

(u_{x}, u_{y}) + (0, 0) = (u_{x} + 0, u_{y} + 0) = (u_{x}, u_{y})

4) tinga element opost:

𝐮 = (u_{x}, u_{y})

- 𝐮 = (- u_{x}, - u_{y})

𝐮 + (- 𝐮) = (u_{x}, u_{y}) + (- u_{x}, - u_{y}) = (u_{x} - u_{x}, u_{y} - u_{y}) = (0, 0) = 𝟎

L'operació producte per un escalar:

\begin{matrix} \cdot : & K \times V & ⟶ & V \\ (𝑎, 𝐮) & \mapsto & 𝐯 = 𝑎 \cdot 𝐮 \end{matrix}

El producte de a i o serà:

𝑎 \cdot 𝐮 = a \cdot (u_{x}, u_{y}) = (a \cdot u_{x}, a \cdot u_{y}) = (v_{x}, v_{y}) = 𝐯

a on:

\begin{matrix} v_{x} = a \cdot u_{x} \\ v_{y} = a \cdot u_{y} \end{matrix}

açò implica que la multiplicació de vector per escalar és externa i aixina i tot està ben definida.

5) tinga la propietat associativa:

𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝐮) = (𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝐮, \forall 𝑎, 𝑏 \in K, \forall 𝐮 \in V

Açò és:

𝑎 \cdot (𝑏 \cdot 𝐮) = (𝑎 \cdot 𝑏) \cdot 𝐮

𝑎 \cdot (𝑏 \cdot (u_{x}, u_{y})) = (𝑎 \cdot 𝑏) \cdot (u_{x}, u_{y})

𝑎 \cdot (𝑏 \cdot u_{x}, 𝑏 \cdot u_{y}) = (𝑎 \cdot 𝑏) \cdot (u_{x}, u_{y})

(𝑎 \cdot 𝑏 \cdot u_{x}, 𝑎 \cdot 𝑏 \cdot u_{y}) = (𝑎 \cdot 𝑏 \cdot u_{x}, 𝑎 \cdot 𝑏 \cdot u_{y})

6) $1 \in R$ siga element neutre en el producte:

1 \cdot 𝐮 = 𝐮, \forall 𝐮 \in V

Que resulta:

1 \cdot 𝐮 = 𝐮

1 \cdot (u_{x}, u_{y}) = 𝐮

(1 \cdot u_{x}, 1 \cdot u_{y}) = 𝐮

(u_{x}, u_{y}) = 𝐮

Que té la propietat distributiva:

7) distributiva per l'esquerra:

𝑎 \cdot (𝐮 + 𝐯) = 𝑎 \cdot 𝐮 + 𝑎 \cdot 𝐯, \forall 𝑎 \in R, \forall 𝐮, 𝐯 \in V

En este cas tenim:

𝑎 \cdot (𝐮 + 𝐯) = 𝑎 \cdot 𝐮 + 𝑎 \cdot 𝐯

𝑎 \cdot ((u_{x}, u_{y}) + (v_{x}, v_{y})) = 𝑎 \cdot (u_{x}, u_{y}) + 𝑎 \cdot (v_{x}, v_{y})

𝑎 \cdot (u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}) = (𝑎 \cdot u_{x}, 𝑎 \cdot u_{y}) + (𝑎 \cdot v_{x}, 𝑎 \cdot v_{y})

𝑎 \cdot (u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}) = (𝑎 \cdot u_{x} + 𝑎 \cdot v_{x}, 𝑎 \cdot u_{y} + 𝑎 \cdot v_{y})

(𝑎 \cdot (u_{x} + v_{x}), 𝑎 \cdot (u_{y} + v_{y})) = (𝑎 \cdot (u_{x} + v_{x}), 𝑎 \cdot (u_{y} + v_{y}))

8) distributiva per la dreta:

(𝑎 + 𝑏) \cdot 𝐮 = 𝑎 \cdot 𝐮 + 𝑏 \cdot 𝐮, \forall 𝑎, 𝑏 \in R, \forall 𝐮 \in V

Que en este cas tenim:

(𝑎 + 𝑏) \cdot 𝐮 = 𝑎 \cdot 𝐮 + 𝑏 \cdot 𝐮

(𝑎 + 𝑏) \cdot (u_{x}, u_{y}) = 𝑎 \cdot (u_{x}, u_{y}) + 𝑏 \cdot (u_{x}, u_{y})

(𝑎 + 𝑏) \cdot (u_{x}, u_{y}) = (𝑎 \cdot u_{x}, 𝑎 \cdot u_{y}) + (𝑏 \cdot u_{x}, 𝑏 \cdot u_{y})

(𝑎 + 𝑏) \cdot (u_{x}, u_{y}) = (𝑎 \cdot u_{x} + 𝑏 \cdot u_{x}, 𝑎 \cdot u_{y} + 𝑏 \cdot u_{y})

((𝑎 + 𝑏) \cdot u_{x}, (𝑎 + 𝑏) \cdot u_{y}) = ((𝑎 + 𝑏) \cdot u_{x}, (𝑎 + 𝑏) \cdot u_{y})

Queda demostrat que és espai vectorial.

Eixemples

Espai d'un element

Existix un eixemple trivial d'espai vectorial, que és l'espai vectorial d'un únic element, ${0}$ . Ya que tot espai vectorial té a lo manco un element, l'element neutre de la suma, este espai és el més chicotet possible.

Cossos

Tot cos és un espai vectorial sobre sí mateixa. La seua suma com a espai vectorial és la seua suma com a cos, i el producte per escalares és el producte del cos. Els axioma d'espai vectorial se satisfan per les propietats de les operacions del cos: la condició de que $(λ μ) v = λ (μ v)$ es complix per la propietat associativa del producte del cos. Per eixemple, el conjunt dels número real $ℝ$ és un $ℝ$ -espai vectorial, mentres que el conjunt dels número complejo $ℂ$ és un $ℂ$ -espai vectorial.

Ademés, tot cos és un espai vectorial sobre els seus subcuerpos. Per eixemple, els número complejo $ℂ$ formen un $ℝ$ -espai vectorial, ya que els número real formen un subcuerpo dels complexos.

Espais de coordenades

Donat un cos $K$ , el conjunt de $n$ -tuplas $K^{n}$ forma un espai vectorial, a on la suma i el producte per escalares es definixen per components. Per eixemple, el pla euclídeo $ℝ^{2}$ és un espai vectorial a on la suma de dos parells $(a_{1}, a_{2})$ i $(b_{1}, b_{2})$ és $(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})$ .

Espais de matrius

Els espais de matrius de tamany $m \times n$ sobre un cos $K$ formen un espai vectorial, a on la suma i el producte per escalares es definixen per components.

Espais de polinomis

L'espai de polinomis $K [X]$ (format pels polinomis en la variable $X$ i en coeficients en un cos $K$ ) és un espai vectorial en la suma i el producte per escalares dels polinomis. Daus dos polinomis $p = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n}$ i $q = b_{0} + b_{1} X + \dots + b_{n} X^{n}$ , la seua suma serà el polinomi

p + q = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) X + \dots + (a_{n} + b_{n}) X^{n}

,

mentres que el producte d'un escalar $λ \in K$ pel polinomi $p$ serà

λ p = (λ a_{0}) + (λ a_{1}) X + \dots + (λ a_{n}) X^{n}

.

Multiplicar un polinomi per un escalar mai dona lloc a un polinomi de major grau que l'original, mentres que sumar dos polinomis tampoc resultarà en un polinomi de grau major que el major dels graus dels sumants. Per açò, les operacions suma i producte per escalares són tancades en el subconjunt de polinomis de grau menor o igual que $n$ , denotat ací per $K_{n} [X]$ . Per lo tant, el subconjunt $K_{n} [X]$ és també un espai vectorial per a qualsevol grau $n$ .

Vore també: Operacions en polinomis

Espais de funcions

Archiu:FuncionesComoE caps block 7

Suma de dos funcions

f (x) = x + x^{2}

i

g (x) = - x^{2}

. El resultat

f + g

pren en cada punt

x

el valor

f (x) + g (x)

.

Es poden definir les operacions d'espai vectorial per a moltes de les funcions d'interés en el càlcul o l'anàlisis matemàtic. Per eixemple, en les funcions de variable real que prenen valors reals: la suma $f + g$ de dos funcions $f$ i $g$ es definiria en cada punt $x \in ℝ$ a partir dels valors de $f$ i de $g$ en $x$ com

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

.

De la mateixa manera, el producte $λ f$ d'una funció $f$ per un escalar $λ \in ℝ$ es definiria com

(λ f) (x) = λ f (x)

en cada punt

x \in ℝ

.

Quan l'espai d'interés està compost per funcions que tenen una determinada propietat, es tindrà un espai vectorial si sumar dos funcions o multiplicar-les per escalares mantenen dita propietat; açò és equivalent a exigir que la suma siga una operació interna i el producte per escalares una operació externa. Per eixemple, en el cas de les funcions reals de variable real que són contínues: lloc que

sumar dos funcions contínues dona lloc a una funció contínua i
multiplicar una funció contínua per un número real dona lloc a una funció contínua,

es deduïx que les funcions contínues formen un espai vectorial sobre els número real, en ocasions denotat $C (ℝ)$ . Atres eixemples d'espais vectorials d'este tipo són les funcions derivables i, en general, les funcions derivables de classe $C^{k}$ i les infinitament derivables; també les funcions integrables donen lloc a espais vectorials.

Atres espais funcionals d'interés són els espais $L^{p}$ i els espais de Sóbolev, que són un eixemple d'espais vectorials en estructura adicional (espais normados). Són d'utilitat en teoria de la mida i l'anàlisis funcional.

Bases i dimensió d'un espai vectorial

Artícul principal → Base (àlgebra).

Cada vector $u$ és combinació llineal de forma única dels vectores $v_{1}$ i $v_{2}$ .

Una base d'un espai vectorial és un conjunt de vectores respecte dels quals es pot expressar qualsevol atre vector de l'espai de manera única. Si $V$ és un espai vectorial sobre un cos $K$ , es dirà que els vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \in V$ formaran una base de $V$ si es complixen les següents dos condicions:

Ser un sistema generador: per a qualsevol atre vector $v \in V$ , existixen uns escalares $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n} \in K$ tals que el vector $v$ es pot expressar com la combinació llineal

v = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i} = λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + \dots + λ_{n} v_{n}

.

Ser un conjunt linealment independent: cap dels vectores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ pot escriure's com a combinació llineal dels demés.

Les dos condicions juntes comporten, ademés, que l'elecció d'escalares de la combinació llineal és única: si un vector es pot expressar simultàneament com $v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n}$ i com $v = μ_{1} v_{1} + \dots + μ_{n} v_{n}$ , necessàriament els escalares deuran ser iguals dos a dos: $λ_{1} = μ_{1}, λ_{2} = μ_{2}, \dots, λ_{n} = μ_{n}$ . Als (únics) escalares $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ que determinen a un vector $v \in V$ se'ls crida coordenades de $v$ respecte de la base ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ .

Existixen espais vectorials que no admeten cap base en una cantitat finita de vectores. Per eixemple, en l'espai de tots els polinomis en una variable, una base en una cantitat finita de polinomis no podrà representar a cap polinomi de grau major que el dels polinomis de la base. Encara que un espai vectorial tinga una base infinita, els elements de l'espai deuen poder escriure's com una combinació llineal finita de vectores de la base.

Distintes bases ${v_{1}, v_{2}}$ del pla. Les coordenades del vector $u$ seran distintes en cada cas.

Un espai vectorial pot tindre més d'una base, en el cas de la qual totes les seues bases deuran estar formades pel mateix número de vectores, cridat dimensió de l'espai. Si cap de les bases de l'espai és finita, llavors es dirà que l'espai és de dimensió infinita.

Si un espai vectorial té dos bases distintes, les coordenades d'un vector seran distintes depenent de la base que es trie. La relació entre les coordenades d'un vector en una base i les seues coordenades en una atra ve donada per les matrius de canvi de base.

Tots els espais vectorials posseïxen, a lo manco, una base; per a demostrar que açò és aixina quan l'espai no admet bases finitas és necessari el lema de Zorn.

Aplicacions llineals entre espais vectorials

Artícul principal → Aplicació llineal.

Donat un cos $K$ i dos espais vectorials $V$ i $W$ sobre $K$ , una aplicació $K$ -llineal és una funció $f$ de $V$ a $W$ que verifica que

f (v_{1} + v_{2}) = f (v_{1}) + f (v_{2})

per a dos vectores qualssevol

v_{1}, v_{2} \in V

i

f (λ \cdot v) = λ \cdot f (v)

per a qualsevol escalar

λ \in K

i qualsevol vector

v \in V

.

En atres paraules, una aplicació $K$ -llineal és una funció que respecta l'estructura dels espais vectorials, duent sumixques a sumes i productes per escalares a productes per escalares. Quan el cos d'escalares quede clar pel context, estes aplicacions es denominaran aplicacions llineals.

Representació matricial

Si els espais vectorials $V$ i $W$ són de dimensió finita $m$ i $n$ respectivament, es pot fixar una base ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}}$ de $V$ i una base ${w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}}$ de $W$ . Açò permet descriure una aplicació llineal $f$ en térmens de la seua matriu coordenada: una matriu $A$ de tamany $n \times m$ tal que, per a qualsevol vector $v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{m} v_{m} \in V$ , les coordenades de la seua image $f (v) = y_{1} w_{1} + \dots + y_{n} w_{n} \in W$ deuen complir

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}] = A [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix}]

.

Núcleu i image

Artícul principal → Núcleu (matemàtica).

Donada una aplicació llineal $f : V \to W$ , la seua image, és dir, el subconjunt $Im (f)$ de l'espai $W$ format pels elements que són de la forma $f (v)$ per a algun $v \in V$ , constituïx un subespacio vectorial de $W$ . Al mateix temps, el núcleu de $f$ , denotat $Ker (f)$ , que és el conjunt format pels vectores de $V$ l'image dels quals per $f$ és zero, també és un espai vectorial, subespacio de $V$ .

Si el núcleu $Ker (f)$ és zero (és dir, igual al conjunt format únicament pel vector nul $0 \in V$ ), significa que l'aplicació llineal $f$ és inyectiva.

Les dimensions del núcleu i l'image d'una aplicació llineal $f$ estan relacionats per mig de la fòrmula

\dim Im (f) = \dim V - \dim Ker (f)

.

Isomorfismes d'espais vectorials

Artícul principal → Isomorfisme.

Un tipo especial d'aplicació llineal és l'isomorfisme. Es diu que $f : V \to W$ és un isomorfisme d'espais vectorials quan complix les següents propietats equivalents:

És inyectiva i suprayectiva (és dir, biyectiva).
Posseïx una inversa: una aplicació llineal $g : W \to V$ tal que les composicions $f \circ g : W \to W$ i $g \circ f : V \to V$ són la funció identitat en $W$ i $V$ respectivament.

Ser suprayectiva significa que el conjunt image $Im (f)$ és igual a l'espai d'arribada $W$ , mentres que ser inyectiva és equivalent a que el núcleu $Ker (f)$ siga l'espai format pel vector nul $0 \in V$ . Quan entre dos espais $V$ i $W$ existix un isomorfisme $f : V \to W$ , es diu que els espais $V$ i $W$ són isomorfos. Dos espais isomorfos tenen sempre la mateixa dimensió.

Espais d'aplicacions llineals i espai dual

Artícul principal → Espai dual.

Daus dos espais vectorials $V$ i $W$ sobre un cos $K$ , el conjunt ${Hom}_{K} (V, W)$ d'aplicacions llineals de $V$ a $W$ és un espai vectorial, a on la suma i el producte per escalares es definixen puntualment. En particular, l'espai dual $V^{*} = {Hom}_{K} (V, K)$ d'un espai $V$ és un espai vectorial.

Construcció d'espais vectorials

Ademés de lo expost en els eixemples anteriors, hi ha una série de construccions que nos proporcionen espais vectorials a partir d'uns atres. Ademés de les definicions concretes que figuren a continuació, també es caracterisen per propietats universals, que determina un objecte X especificant les aplicacions llineals de X a qualsevol atre espai vectorial.

Subespacios vectorials

Artícul principal → Subespacio vectorial.

Donats un cos $K$ i un espai vectorial $V$ sobre $K$ , un subconjunt no buit $S \subseteq V$ de $V$ es diu que és un subespacio vectorial de $V$ si:

donats dos vectores qualssevol $u, v \in S$ , la seua suma $u + v$ està continguda en $S$ , i
donat un vector qualsevol $v \in S$ i un escalar qualsevol $λ \in K$ , el producte $λ v$ està contingut en $S$ (en particular, prenent $λ = 0$ , el vector nul $0 \in V$ també és un element de $S$ ).

Estes dos propietats convertixen a $S$ en un espai vectorial sobre el cos $K$ , ya que el restant de propietats de la suma i el producte per escalares es complixen en $S$ per ser un subconjunt de $V$ .

Dos plans en l'espai que passen per l'orige junt en la seua intersecció, una recta. Són subespacios vectorials que es poden descriure per mig de sistemes homogéneus d'equacions en 3 variables.

Per eixemple, en el $ℝ$ -espai vectorial $ℝ^{2}$ , la recta $y = x$ definix un subespacio vectorial $S = {(x, x) : x \in ℝ}$ de $ℝ^{2}$ format pels punts que constituïxen dita recta:

la suma de dos elements $(x_{1}, x_{1}), (x_{2}, x_{2})$ té la forma $(x_{1} + x_{2}, x_{1} + x_{2})$ , que satisfà l'equació de la recta i, per lo tant, és un element de $S$ ;
en multiplicar $(x_{1}, x_{1})$ per un número real $λ$ , el resultat $(λ x_{1}, λ x_{1})$ torna a ser un punt de la recta.

Qualsevol recta en el pla que passe per l'orige donarà lloc a un subespacio de $ℝ^{2}$ . Pel contrari, la recta $y = x + 1$ no dona lloc a cap subespacio, ya que els punts de la recta deuen tindre la forma $(x, x + 1)$ , en $x$ un número real: en multiplicar qualsevol d'ells per zero s'obté el punt $(0, 0)$ , que no forma part de la recta.

En general, es pot obtindre un subespacio vectorial a partir de les solucions d'un sistema d'equacions llineals homogéneu: sistemes de la forma

\begin{matrix} a_{1, 1} x_{1} & + \dots & + a_{1, n} x_{n} & = 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m, 1} x_{1} & + \dots & + a_{m, n} x_{n} & = 0 \end{matrix}} \equiv [\begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & \dots & a_{m, n} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}] ⟶ A_{}^{} x = 0

Estos sistemes tenen sempre a lo manco una solució donada per $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = 0$ , el vector nul. Ademés, tant sumant dos solucions com multiplicant una solució per un escalar s'obté una nova solució. Per lo tant, el conjunt de solucions del sistema complix les condicions per a ser un subespacio vectorial.

Producte d'espais vectorials

Dau dos espais vectorials $V$ i $W$ sobre un mateix cos $K$ , el seu producte cartesiano

V \times W = {(v, w) : v \in V, w \in W}

és un nou espai vectorial, les operacions suma del qual i producte per escalares es definixen per components:

la suma de $(v_{1}, w_{1})$ i $(v_{2}, w_{2})$ és $(v_{1} + v_{2}, w_{1} + w_{2})$ i
el producte de $(v, w)$ per un escalar $λ \in K$ és $(λ v, λ w)$ .

La definició de producte es pot estendre a un número arbitrari d'espais vectorials: el producte dels espais $V_{1}, V_{2}, \dots, V_{n}$ es definiria com

V_{1} \times V_{2} \times \dots \times V_{n} = {(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}) : v_{1} \in V_{1}, v_{2} \in V_{2}, \dots, v_{n} \in V_{n}}

;

també el producte cartesiano de coleccions infinites d'espais vectorials és un espai vectorial.

Un cas particular es té en fer el producte de múltiples còpies del cos $K$ : en este cas, el producte de $n$ còpies de $K$ es denota com $K^{n}$ , representant a les $n$ -tuplas d'elements de $K$ .

Intersecció de subespacios vectorials

Dau dos subespacios vectorials $F, G \subset E$ , l'intersecció és subespacio vectorial contingut en estos i ho notarem com:

F \cap G : = {u : u \in F, u \in G}

.

Observacions. Per a l'intersecció successiva d'espais vectorials es procedix, inductivament, de dos en dos.

L'unió de subespacios vectorials no és en general un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectorials

Dau dos subespacios vectorials $S$ i $T$ d'un espai $V$ , es definix la seua suma $S + T$ com el conjunt de tots els elements de $V$ que es poden expressar com sumixca d'un element de $S$ i un atre de $T$ :

S + T : = {v_{1} + v_{2} : v_{1} \in S, v_{2} \in T}

.

La suma $S + T$ aixina definida és un nou subespacio vectorial de $V$ , en la propietat de ser el subespacio vectorial de $V$ més chicotet que conté al mateix temps a $S$ i a $T$ : concretament, $S + T$ és el subespacio generat per l'unió de $S$ i $T$ .^[8] Esta definició s'estén per a un número arbitrari de subespacios vectorials, definint-se la suma dels subespacios $U_{1}, U_{2}, \dots, U_{m}$ com

U_{1} + U_{2} + \dots + U_{m} : = {u_{1} + u_{2} + \dots + u_{m} : u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}, \dots, u_{m} \in U_{m}}

.

La dimensió de la suma de subespacios vectorials de dimensió finita es relaciona en les dimensions dels subespacios per separat segons la fòrmula de Grassmann:

\dim (S + T) = \dim (S) + \dim (T) - \dim (S \cap T)

.

Suma directa de subespacios vectorials

Un cas especial de la suma d'espais vectorials, denominat suma directa, s'obté quan els dos espais tenen la menor intersecció possible. Daus dos subespacios vectorials $S$ i $T$ d'un espai $V$ , es diu que $S + T$ és una suma directa si $S \cap T = {0}$ . Per a indicar que la suma de dos subespacios és directa s'utilisa el símbol $\oplus$ , de manera que $S \oplus T$ es referix a la suma de dos subespacios $S$ i $T$ l'intersecció de la qual és zero.

Una propietat de la suma directa és que, quan un espai $W$ es pot escriure com suma directa $W = S \oplus T$ de dos subespacios $S$ i $T$ , tot element de $W$ es pot expressar de forma única com sumixca d'un vector de $S$ i un atre vector de $T$ . Açò permet entendre una suma directa com una descomposició d'un espai en alguns dels seus subespacios. Per eixemple, quan una matriu quadrada és diagonalisable, s'obté una descomposició d'un espai vectorial com suma directa de subespacios propis. Un atre eixemple és la descomposició d'un espai en producte escalar com suma directa d'un espai i el seu complement ortogonal.

Suma directa externa d'espais vectorials

La noció de suma directa es pot estendre a espais vectorials en general, sense necessitat de partir de subespacios d'un espai major. Daus dos espais vectorials $V$ i $W$ , la seua suma directa $V \oplus W$ és igual al seu producte cartesiano $V \times W$ ;^[9] inductivament, la suma directa de $n$ espais $V_{1}, V_{2}, \dots, V_{n}$ és l'espai

V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{n} = V_{1} \times V_{2} \times \dots \times V_{n}

.

La diferència entre la suma directa externa i el producte cartesiano solament existix en operar sobre una colecció infinita d'espais vectorials. En este cas, la seua suma directa serà el subconjunt del producte cartesiano format per aquelles tuplas infinites a on solament un número finito de coordenades són no nules. Per eixemple, per a una colecció ${V_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ , la seua suma directa és:

⨁_{i = 1}^{\infty} V_{i} = {(v_{1}, v_{2}, \dots) \in \prod_{i = 1}^{\infty} V_{i} : existen i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} tales que v_{i} = 0 si i \neq i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}

.

A este tipo de suma directa també se li crida també sumixca directa externa.^[10]

Cocient d'espais vectorials

Artícul principal → Espai cocient (àlgebra llineal).

Donat un espai vectorial $V$ sobre un cos $K$ i un subespacio vectorial $S$ de $V$ , es definix una relació d'equivalència en $V$ segons la qual dos vectores $u, v \in V$ estaran relacionats si la seua diferència $u - v$ és un element de $S$ . El conjunt de tots els vectores relacionats en un vector $v \in V$ dau, denominat classe d'equivalència de $v$ i denotat per $[v]$ , verifica que ^[11]

[v] = v + S = {v + u : u \in S}

.

l'espai cocient de $V$ mòdul $S$ , denotat $V / S$ , és el conjunt de totes les classes d'equivalència per a esta relació:^[11]^[12]

V / S = {v + S : v \in V}

.

El conjunt $V / S$ és un espai vectorial sobre $K$ en les operacions següents: daus dos vectores $u, v \in V$ , la suma de les seues classes d'equivalència es definix com $[u] + [v] = [u + v]$ , i donat un vector $u \in V$ i un escalar $λ \in K$ , es definix el producte per escalares com $λ [u] = [λ u]$ .

L'espai cocient $V / S$ no és, tal com està construït, un subespacio de $V$ . No obstant, sí és isomorfo a subespacios de $V$ complementaris a $S$ , és dir, subespacios $T$ tals que $V = S \oplus T$ .^[13]^[14] Per això, $V$ és isomorfo a la suma directa d'espais $S \oplus V / S$ , convertint aixina al cocient en una elecció «natural» de complement de $S$ .^[12] Este mateix raonament comporta que la dimensió de l'espai cocient verifique^[14]

\dim V = \dim S + \dim V / S

;

quan $V$ i $S$ són de dimensió finita, açò es pot reescriure com

\dim V / S = \dim V - \dim S

.

Producte tensorial

Artícul principal → Producte tensorial.

Daus dos espais vectorials $U$ i $V$ sobre un mateix cos $K$ , es definix l'espai vectorial $F_{U \times V}$ generat per tots els elements del producte $U \times V$ . Sobre l'espai $F_{U \times V}$ es definix un espai cocient a partir del subespacio generat pels elements expressables d'una de les dos formes següents:

$λ (u_{1}, v) + μ (u_{2}, v) - (λ u_{1} + μ u_{2}, v)$ o
$λ (u, v_{1}) + μ (u, v_{2}) - (u, λ v_{1} + μ v_{2})$ ,

a on $u, u_{1}, u_{2}$ són vectores de $U$ , $v, v_{1}, v_{2}$ són vectores de $V$ i $λ, μ$ són escalares en $K$ .

L'espai cocient resultant es denomina el producte tensorial de $U$ i $V$ , denotat per $U \otimes V$ .^[15]. La classe d'equivalència dels elements de la forma $(u, v) \in F_{U \times V}$ es denota $u \otimes v$ .

Relació en atres estructures matemàtiques

Des del punt de vista de l'àlgebra llineal, els espais vectorials es comprenen completament en la mida en que qualsevol espai vectorial es caracterisa, llevat isomorfismes, per la seua dimensió. No obstant, els espais vectorials ad hoc no oferixen un marc per a fer front a la qüestió fonamental per a l'anàlisis de si una successió de funcions convergix a una atra funció. Aixina mateix, l'àlgebra llineal no està adaptada per es per a fer front a séries infinites, ya que la suma solament permet un número finito de térmens per a sumar. Les necessitats del anàlisis funcional requerixen considerar noves estructures.

Espais vectorials topològics, normados i de Hilbert

Artícul principal → Espai vectorial normado.

Els espais vectorials topològics són un tipo particular d'espai vectorial. Assumint que $K$ denota el cos dels número real o el dels número complejo, per a que un espai vectorial $V$ sobre el cos $K$ es considere un espai vectorial topològic, l'espai $V$ deu estar equipat en una topología que convertixca a $V$ en un espai topològic i que complixca que

per a qualsevol vector $v \in V$ , el conjunt ${v}$ siga tancat,
la suma en l'espai $V$ , entesa com una funció $+ : V \times V \to V$ , siga contínua i
el producte per escalares, entés com una funció $\cdot : K \times V \to V$ , siga continu.

Dins del grup dels espais vectorials topològics es troben els espais normados. Un espai normado és un espai vectorial $V$ dotat d'una norma: una funció que assigna a cada vector $v \in V$ un número real $‖ v ‖$ i que verifica certes propietats:

la norma de qualsevol vector deu ser major que zero, llevat en el cas del vector nul, la norma del qual és zero,
per a tot vector $v \in V$ i tot escalar $λ \in K$ , la norma del producte complix $‖ λ v ‖ = | λ | ‖ v ‖$ , a on $| λ |$ denota el valor absolut de $λ$ i
la desigualtat triangular: daus dos vectores qualssevol $u, v \in V$ , la norma de la seua suma complix $‖ u + v ‖ \leq ‖ u ‖ + ‖ v ‖$ .

Alguns eixemples d'espais normados són els espais euclídeos $ℝ^{n}$ , a on la norma d'un vector és el seu mòdul.

En tot espai normado, la norma dona lloc a una funció distancia entre vectores, que assigna a cada parell de vectores $u, v \in V$ la norma de la seua diferència $‖ u - v ‖$ . En esta funció distancia, l'espai $V$ es convertix en un espai mètric. Si un espai normado és complet com a espai mètric, l'espai normado es denomina espai de Banach.

Un espai vectorial real també pot anar equipat en un producte escalar: una funció que assigna a cada parell de vectores $u, v \in V$ un número real $u \cdot v$ . Tot espai en producte escalar és també un espai normado, degut a que a partir d'un producte escalar es pot definir una norma donada per

‖ v ‖ = \sqrt{v \cdot v}

para tot

v \in V

.

De manera anàloga, un espai vectorial complex també pot dur associat un producte intern, que generalisa al producte escalar dels número real i que també dona lloc a una norma.

Els espais vectorials dotats d'un producte intern es denominen espais prehilbertianos. Si, ademés, un espai prehilbertiano en la norma induïda pel producte intern és un espai de Banach, l'espai es denomina espai de Hilbert. Els espais de Banach i de Hilbert són part del camp d'estudi del anàlisis funcional, en aplicacions en l'àmbit de l'optimisació convexa. En la física, els postulats de la mecànica quàntica es basen en espais de Hilbert sobre els número complejo.

Mòduls i àlgebra

Artícul principal → Mòdul (matemàtica).

Els mòduls generalisen la noció d'espai vectorial al cas en el que els escalares no pertanyguen a un cos, sino a un anell (en identitat). Una diferència notable entre els espais vectorials i els mòduls és que tot espai vectorial posseïx una base, mentres que entre els mòduls únicament els mòduls lliures tenen una base. Els mòduls sobre anells conmutativos són l'objecte d'estudi del àlgebra conmutativa.

Les àlgebra sobre un cos $K$ són aquells espais vectorials sobre $K$ en els que també existix un producte entre dos vectores que és bilineal (és dir, distributivo con respecto de la suma a abdós costats). Els espais de polinomis en una variable $K [X]$ són un eixemple d'àlgebra en la que el producte és el producte usual de polinomis.

En teoria de categories

En térmens de la teoria de categories, els espais vectorials sobre un cos $K$ definixen una categoria, denotada en ocasions ${𝖵 𝖾 𝖼 𝗍}_{K}$ . En esta categoria, els espais vectorials són els objectes, mentres que les aplicacions $K$ -llineals són els morfismos de la categoria.

Vore també

[[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.

Plantilla:Wikibooks

Referències

↑ Bourbaki, 1969, ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78–91.
↑ Bolzano, 1804.
↑ Möbius, 1827.
↑ Hamilton, 1853.
↑ Grassmann, 1844.
↑ Peano, 1888, ch. IX.
↑ Banach, 1922.
↑ Hoffman y Kunze, 1971, p. 37.
↑ Halmos, 1987, §18.
↑ Roman, 2005, p. 38.
↑ ^11,0 ^11,1 Roman, 2005, p. 75.
↑ ^12,0 ^12,1 Halmos, 1987, §21.
↑ Halmos, 1987, §22.
↑ ^14,0 ^14,1 Roman, 2005, p. 80.
↑ Roman, 2005, pp. 345-346.

Referències històriques

Banach, Stefan (1922). Sur els opérations dans els ensembles abstraits et leur application aux équations integra'ls (On operations in abstract sets and their application to integral equations) (en francés), Fonamenta Mathematicae.
Bolzano, Bernard (1804). Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (en alemà).
Bourbaki, Nicolas (1969). Éléments d'histoire dones mathématiques (Elements of history of mathematics) (en francés), Pariu: Hermann.
Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (en alemà).
Hamilton (1853). Lectures on Quaternions (en anglés), Royal Irish Academy.

Möbius, August Ferdinand (1827). Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (en alemà).
Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Peano, Giuseppe (1888). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre vaig donar H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (en italià), Turin.

Bibliografia

(1988) «IV espais vectorials», Àlgebra llineal i geometria (en català), Publ. UAB.
(1987) Finite-Dimensional Vector Spaces, 2ª edició (en anglés), Springer. ISBN 0-387-90093-4.
Hoffman, Kenneth (1971). Linear Algebra, 2ª edició (en anglés), Prentice-Hall, Inc.. ISBN 0135367972.
Lang, S. (1976). Àlgebra Llineal, Fondo Educatiu Interamericano.
Queysanne, M., Àlgebra Bàsica, Vicens-Vives. 1973.
Roman (2005). Advanced Linear Algebra, 2ª edició (en anglés), Springer. ISBN 0-387-24766-1.
Rudin, w., Anàlisis Funcional (Definició axiomàtica d'espais vectorials topològics introductivamente), Reverté.

Enllaços externs

Juga en vectores
Espai vectorial en MathWorld.
A lecture about fonamental concepts related to vector spaces (given at MIT)
A graphical simulator for the concepts of span, linear dependency, base and dimension

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio vectorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[FOOTNOTEBourbaki1969{{{c}}}ch._"Álgabre_linéaire_et_álgebre_multilinéaire",_pp._78–91-1] Bourbaki, 1969, ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78–91.

[FOOTNOTEBolzano1804{{{c}}}-2] Bolzano, 1804.

[FOOTNOTEMöbius1827{{{c}}}-3] Möbius, 1827.

[FOOTNOTEHamilton1853{{{c}}}-4] Hamilton, 1853.

[FOOTNOTEGrassmann1844{{{c}}}-5] Grassmann, 1844.

[FOOTNOTEPeano1888{{{c}}}ch._IX-6] Peano, 1888, ch. IX.

[FOOTNOTEBanach1922{{{c}}}-7] Banach, 1922.

[FOOTNOTEHoffmanKunze1971{{{c}}}37-8] Hoffman y Kunze, 1971, p. 37.

[FOOTNOTEHalmos1987{{{c}}}§18-9] Halmos, 1987, §18.

[FOOTNOTERoman2005{{{c}}}38-10] Roman, 2005, p. 38.

[FOOTNOTERoman2005{{{c}}}75-11] 11,0 ^11,1 Roman, 2005, p. 75.

[FOOTNOTEHalmos1987{{{c}}}§21-12] 12,0 ^12,1 Halmos, 1987, §21.

[FOOTNOTEHalmos1987{{{c}}}§22-13] Halmos, 1987, §22.

[FOOTNOTERoman2005{{{c}}}80-14] 14,0 ^14,1 Roman, 2005, p. 80.

[FOOTNOTERoman2005{{{c}}}345-346-15] Roman, 2005, pp. 345-346.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]