Cuaternión

Multiplicació de cuaterniones

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Els cuaterniones (també cridats cuaternios) són una extensió dels número real, similar a la dels número complejo. Mentres que els número complejo són una extensió dels reals per l'adició de l'unitat imaginària i, tal que $i^2=-1$, els cuaterniones són una extensió generada de manera anàloga afegint les unitats imaginàries i, j i k als número real, tal que:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$,

com es mostra per mig de la taula de multiplicació de Cayley.

Els elements 1, i, j i k són els components de la base dels cuaterniones considerat com un ℝ-espai vectorial de dimensió 4.

Etimologia

Cuaternión prové del llatí quaterni (per quatre); el seu significat lliteral és "conjunt de quatre elements". El vocablo va ser propost pel seu creador, William Rowan Hamilton.

Representacions dels cuaterniones

Vectorial

El conjunt dels cuaterniones pot expressar-se com:

o equivalentemente:

Llavors un cuaternión és un número de la forma a + bi + cj + dk, a on a, b, c, i d són número real unívocamente determinats per cada cuaternión.

Análogament, un cuaternión pot expressar-se com el producte intern (component a component) de dos vectores, dels quals un és el de les components $\overrightarrow{x}=(a,b,c,d)$, i l'atre el de les "bases": $\{1,i,j,k\}$. En este cas, l'element a₁ que forma la component real s'anota a banda, i per al producte intern es consideren solament les tres bases i, j, k:

$x=(a_1,\overrightarrow{a})=(a_1,a_2,a_3,a_4)$

Esta representació té algunes ventages que poden ser vistes en algunes operacions com el producte de cuaterniones.

Matricial

Ademés hi ha, a lo manco, dos formes, isomorfismes, per a representar cuaterniones en matrius. Aixina, el cuaternión $q=a+bi+cj+dk$ es pot representar:

• Usant matrius complexes de 2x2:

A on el conjunt de totes les matrius anteriors es designa per mig de $U(2)$, el subconjunt de les quals SU(2), els cuaternios unitaris, juguen un paper important en la teoria de gauge i d'a on és fàcil vore que el determinant és igual a $a^2+b^2+c^2+d^2=\Vert q{\Vert }^2.$ Una propietat interessant d'esta representació és que tots els número complejo són matrius que només tenen components reals.

• Usant matrius reals de 4x4:

En este cas el determinant de la matriu resulta igual a $(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2=\Vert q{\Vert }^4.$

Vore també

• Construcció de Cayley-Dickson
• Número hipercomplejo
• Número complejo
• Cuaterniones i rotació en l'espai.
• Josiah Willard Gibbs.
• Octonión

Referències

Bibliografia

• Hamilton, William Rowan. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489–495. 1844.
• Hamilton, William Rowan (1853), "Lectures on Quaternions". Royal Irish Academy.
• Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, són of the deceased author.
• Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co..

• Tait, Peter Guthrie (1873), "An elementary treatise on quaternions". 2d ed., Cambridge, [Eng.] : The University Press.
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Maxwell, James Clerk (1873), "A Treatise on Electricity and Magnetism". Clarendon Press, Oxford.
• Tait, Peter Guthrie (1886), "Quaternion". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
• Joly, Charles Jasper (1905), "A manual of quaternions". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
• Macfarlane, Alexander (1906), "Vector analysis and quaternions", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN és 16000048
• 1911 encyclopedia: "Quaternions".
• Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quàntum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp. 207–220, MathSciNet.
• Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
• Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dona'm Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
• Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire] : Clarendon Press ; New York : Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
• Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p. 291–308, Dec. 1989.
• Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quàntum mechanics and quàntum fields". New York : Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
• Trifonov, Vladimir (1995), "A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem", Europhysics Letters, 32 (8) 621–626, DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001
• Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
• Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
• Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester ; New York : Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
• Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
• Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 (review).
• Kravchenko, Vladislav (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.

• Hanson, Andrew J. (2006), "Visualizing Quaternions", Elsevier: Morgan Kaufmann; Sant Francisco. ISBN 0-12-088400-3
• Trifonov, Vladimir (2007), "Natural Geometry of Nonzero Quaternions", International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251–257, DOI: 10.1007/s10773-006-9234-9
• Ernst Binz & Sonja Pods (2008) Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society, Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
• For molecules that ca be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.
• Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions and Matrius of Quaternions", Linear Algebra and its Applications, Vol. 251, pp. 21--57.