Cuaterniones i rotació en l'espai

Els cuaterniones unitaris proporcionen una notació matemàtica per a representar les orientacions i les rotacions d'objectes en tres dimensions. Comparats en els ànguls de Euler, són més simples de compondre i eviten el problema del bloqueig del cardán. Comparats en les matrius de rotació, són més eficients i més estables numèricament. Els cuarteniones són útils en aplicacions de gràfics per computadora, robòtica, navegació i mecànica orbital de satèlits.

Introducció

Es recorda la versió geomètrica del producte de dos cuaterniones, $q=(a,u)$ i $q^{\prime }=(a^{\prime },u^{\prime })$, a on $a$ i $a^{\prime }$ són les parts reals, $u$ i $u^{\prime }$ són les parts imaginàries, també vistes com vectores de l'espai tridimensional ${ℝ}^3$:

$q{q}^{\prime }=a{a}^{\prime }-u{u}^{\prime },a{u}^{\prime }+a^{\prime }u+u\times u^{\prime }$

A on $u{u}^{\prime }$ designa el producte escalar, i $u\times u^{\prime }$, el producte vectorial. Notarem $\overline{q}$ el cuaternión conjugat de $q$: $\overline{q}=(a,-u)$.

Per a permanéixer en l'espai tridimensional, fa falta fer desaparéixer les parts reals. Prengam $a=a^{\prime }=0$.

Llavors $q{q}^{\prime }=(0,u)(0,u^{\prime })=(-u{u}^{\prime },u\times u^{\prime })$.

Be és sabut que el producte vectorial està relacionat en la rotació en l'espai. Per lo tant, a pur de productes, deu ser possible expressar qualsevol rotació tridimensional. L'objectiu és obtindre una fòrmula pareguda a l'expressió complexa de la rotació en el pla:

$z^{\prime }=wz$, en $w=e^{i\theta }$ quan es gira al voltant de l'orige, i $z^{\prime }=w(z-c)+c$ si es trencada al voltant del punt $c$.

Descobrint la fòrmula

Prengam l'eixemple més senzill: ¿Cóm expressar analíticamente la rotació al voltant d'eix dels $x(O,i)$ en un àngul de 90 graus?

El vector $i$ deu tindre un paper. Mirem a la multiplicació per $i$ per l'esquerra: $ij=k$ (com $i\times j=k$) i $ik=-j$ (com $i\times k=-j$).

Sembla per lo tant que la funció $f:q\to iq$ és la resposta a la pregunta. En el pla $(j,k)$ eixa funció trencada de 90 graus. ¿Pero qué passa en el restant de l'espai?, $f(i)=ii=-1$ i $f(1)=i$. Per linealidad, nos donem conte que fa girar el pla $(1,i)$ de 90 graus també, i açò ¡no ho volem! El punt $i$ té que permanéixer immòvil, i la funció $f$ no té que enviar ni un punt de l'espai usual $iR+jR+kR$ en la quarta dimensió (ací, en $1R$).

Com sabem que la multiplicació no és conmutativa en $ℍ$, cos dels cuaterniones, mirem al producte per la dreta, per $i$:

$g:q\to qi$. $q(j)=ji=-k$; $q(k)=ki=j$ lo que correspon a la rotació inversa en el pla $(j,k)$. Pero $g(1)=i$ i $g(i)=-1$ dona la mateixa rotació paràsita que $f$ sobre $(i,j)$. Si prenem la funció oposta (i inversa): $h=-g:q\to -qi=q(-i)$ nos donem conte que $h$ té la mateixa acció sobre el pla $(j,k)$ que $f$ pero l'acció oposta sobre $(1,i)$. Llavors $f$ i $h$ es compensen en $(1,i)$, pero s'acumulen en $(j,k)$, i la funció composta $m=foh(=hof):q\to iq(-i)$ deixa el pla $(1,i)$ quet, pero gira el pla $(j,k)$ dos voltes de 90 graus, o siga de 180 graus:

$m(j)=ij(-i)=-iji=-ki=-j$ i $m(k)=-k$

Hem obtingut per lo tant una rotació al voltant d'eix $(O,i)$, pero en un àngul doble de lo desijat. N'hi ha prou en dividir els ànguls de $f$ i $h$ per dos per a obtindre la fòrmula.

$i=e^{i\frac{\pi }{2}}=\cos \frac{\pi }{2}+i\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}=\cos 90^{\circ }+i\mathrm{sen}90^{\circ }$

El número que correspon al mig àngul és

$e^{i\frac{\pi }{4}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=w$

i la funció que realisa la rotació demanada és $r:q\to wq\overline{w}$.

Este raciocinio es generalisa a qualsevol eix de rotació, i no solament als tres eixos (O,i) (O, j) i (O, k). Si es vol girar al voltant de l'eix (O,o) a on o és un vector unitari, cal considerar el pla (1, o) i un atre pla perpendicular (ortogonal) en $ℍ$, i amprar el número:

$\cos \frac{\theta }{2}+u\mathrm{sen}\frac{\theta }{2}$

Vore també

• Cuaternión
• Número complejo
• Mecanisme antirretorcido

Referències

• Universitat Autònoma de Pobla, Institut de Ciències, Departament de Física Matemàtica (ed.): «La representació de rotacions per mig de cuaterniones.» (en espanyol) (pdf). Miscelànea Matemàtica 29. Archivat des d'el original, el 12 de maig de 2013. Consultat el 4 de maig de 2012.