Vector

Vector

En matemàtica, un vector fix és un segment de recta orientat en l'espai euclídeo. La llongitut de dit segment es denomina mòdul del vector, que és sempre un número no negatiu. La recta que ho conté es denomina recta soport. Qualsevol de les rectes paraleles a esta, o be les seues semirrectas que apunten en el mateix sentit donat per l'orientació del vector, determinen la direcció del vector. Per a moltes aplicacions el punt inicial és irrellevant, en el cas del qual no es fa distinció entre dos vectores que tenen el mateix mòdul, direcció i sentit (és dir, dos vectores equipolentes entre si); es consideren equivalents encara que el seu punt inicial siga diferent. La classe d'equivalència de tots els vectores fixos equipolentes a un dau es denomina vector lliure o simplement vector.

En física els vectores s'ampren per a descriure les magnituts vectorials, a diferència de les magnituts escalares, que es poden expressar simplement en un número. Per eixemple, per a determinar la velocitat d'un objecte en moviment, com un automòvil, no n'hi ha prou en una cantitat en quilómetros o milles per hora (lo que marca el velocímetro, que seria el mòdul de la velocitat) sino que és necessari descriure també la direcció en la que es produïx dit moviment. Atres eixemples de magnituts vectorials són la força, el desplaçament o el camp elèctric.

Eixemple de les components $(a,b,c)$ d'un vector en 3 dimensions. El punt final del vector s'obté en desplaçar-se «$a$ voltes» per $e_a$, «$b$ voltes» per $e_b$ i «$c$ voltes» per $e_c$.

Un vector fix queda completament determinat per un punt inicial $x_0$ i un punt final $x_1$; o alternativament pel punt inicial, el mòdul i la direcció. Donat un sistema de coordenades de l'espai $n$-dimensional (un punt orige i una base de $n$ vectores), el vector corresponent (mòdul i direcció) queda unívocamente determinat per mig de $n$ números, cridats components del vector. Estos s'obtenen en restar, una per una, cada coordenada del punt final menys la corresponent del punt inicial ($x_1-x_0$). El conjunt de tots els possibles vectores en l'espai $n$-dimensional es denota com ${ℝ}^n$, i es compon de totes les $n$-tuplas de número real. Estos vectores reals es generalisen de forma natural als vectores complexos, que són $n$-tuplas de número complejo (i el conjunt dels quals es denota ${ℂ}^n$).

Dos vectores es poden sumar, sumant les components corresponents, per a obtindre un tercer. El vector resultant és l'obtingut en concatenar un a continuació de l'atre. Un vector també es pot multiplicar per un escalar (un número $a$), multiplicant cada component per dit número. El vector que s'obté d'esta operació té la mateixa direcció, pero el seu mòdul resulta multiplicat per $a$, és dir, s'escala per un factor $a$. Juntant abdós operacions s'obtenen combinacions llineals de vectores.

En àlgebra abstracta es definix el concepte més general de espai vectorial sobre un cos $𝕂$: un conjunt dotat de dos operacions que es comporten com la suma de vectores i el producte per escalares (elements de $𝕂$) dels vectores geomètrics. En este context, un vector es definix com un element d'un espai vectorial. Els espais euclídeos de dimensió finita, com el pla ${ℝ}^2$ o l'espai tridimensional ${ℝ}^3$, són casos particulars d'este tipo d'estructura matemàtica pel que fa al àlgebra (les seues dos operacions). No obstant, la generalisació d'atres característiques geomètriques dels vectores, com el mòdul o l'àngul entre vectores requerixen d'atres estructures adicionals (norma, producte escalar...) que no tots els espais vectorials posseïxen.

Conceptes fonamentals en vectores euclídeos

Esta secció explica els aspectes bàsics, la necessitat dels vectores per a representar certes magnituts físiques, els components d'un vector euclídeo o geomètric, aixina com la notació dels mateixos, etc. En una atra secció més alvance es tracten un atre tipo de vectores més generals.

Definició

Existixen dos formes de definir el concepte de vector: hi ha una definició analítica, per mig de components, i una definició geomètrica, per mig de segments orientats. Abdós definicions són equivalents, i la conexió entre abdós ve donada per la geometria analítica, que descriu punts de l'espai per mig de coordenadas.

Un vector (real) de dimensió $n$ és una $n$-tupla de número real (que es diuen components del vector). El conjunt de tots els vectores de dimensió $n$ es representa com ${ℝ}^n$ (format per mig del producte cartesiano de $n$ voltes el conjunt $ℝ$ de número real). Aixina, un vector $𝐯$ pertanyent a l'espai ${ℝ}^n$ es representa com:

En geometria. un vector fix del espai euclidiano és un segment orientat, definit per un punt inicial o orige i un punt final o extrem. En un vector fix es poden distinguir els següents elements geomètrics:

Elements geomètrics d'un vector

El punt d'aplicació és el punt inicial del segment orientat.
El mòdul és la llongitut del segment expressat per mig d'un número no negatiu. Quan el vector representa una magnitut física, dita cantitat estarà expressada en alguna unitat de mida.
La recta soport o llínea d'acció és la recta conté al segment. El conjunt de totes les rectes paraleles a esta es denomina direcció.
El sentit, indicat per l'orientació (del punt inicial cap al punt final), sent un dels dos possibles sobre la recta soport. Es representa gràficament en una flecha.

Dos vectores fixos es consideren equipolentes si tenen igual mòdul, direcció i sentit. La relació entre vectores fixos donada per «ser equipolente» és una relació d'equivalència, i la classe de tots els vectores equipolentes a un dau es denomina vector (o vector lliure). En cert modo, un vector es pot desplaçar lliurement i fixar-se a qualsevol punt de l'espai, pero sense desviar-ho, invertir-ho o escalar-ho. Açò és perque es pot prendre qualsevol els vectores fixos de la classe d'equivalència com a representant del vector lliure.

En física, a voltes cal considerar el punt d'aplicació de la magnitut vectorial considerada, o a lo manco la seua recta d'acció. En este últim cas, la magnitut es descriu per mig d'un vector deslisant: la classe de tots els vectores fixos que compartixen igual mòdul, recta d'aplicació i sentit. En cert sentit, és com si es poguera esgolar el vector a lo llarc de la recta d'acció, pero sense invertir-ho o escalar-ho.

Classificació de vectores

Segons els criteris que s'utilisen per a determinar l'igualtat o equipolencia de dos vectores, poden distinguir-se:

• Vectores fixos o lligats: tenen un determinat punt d'aplicació.
• Vectores lliures: poden estar aplicats en qualsevol punt de l'espai.
• Vectores deslisants: el seu punt d'aplicació pot esgolar a lo llarc de la seua recta d'acció.

Podem referir-nos també a:

• Vectores unitaris: vectores de mòdul un.
• el vector nul: és un vector de mòdul igual a zero.

En funció de les característiques d'un vector respecte d'un atre, dos vectores poden ser:

• Vectores paralels: si els dos vectores tenen igual direcció.
• Vectores oposts: si els dos vectores tenen igual magnitut i direcció, pero són de sentits contraris. Els vectores oposts són paralels.
• Vectores perpendiculars: si les direccions dels dos vectores formen un àngul recte, la qual cosa succeïx precisament quan el seu producte escalar és zero.

En funció de les seues respectives rectes d'acció, dos vectores poden ser:

• Vectores concurrents o angulars: les seues llínees d'acció passen per un mateix punt.
• Vectores colineales: les seues recta d'acció coincidixen. Els vectores colineales són un cas particular dels vectores paralels.
• Vectores coplanarios: vectores que les seues rectes d'acció són coplanarias (situades en un mateix pla).

Direcció vs direcció i sentit

En anglés, la paraula direction indica tant la direcció (orientation) com el sentit (sense), en lo que per a definir un vector n'hi ha prou en especificar el mòdul i la direcció (magnitude and direction).

No obstant, en llengua espanyola, un vector es distinguix per tres característiques: mòdul, direcció i sentit.

Notació

En l'espai, un segment orientat (un vector fix) es denota en dos lletres mayúscules i una flecha cap a la dreta damunt, que indiquen el seu orige i extrem respectivament. Per eixemple, un vector fix en punt inicial en $P$ i punt final en $Q$, es representa com $\overrightarrow{PQ}$. Esta notació s'utilisa freqüentment en física per a denotar els vectores que representen el desplaçament.

En general, els vectores (lliures) es representen per mig de lletres minúscules. En els texts manuscrits, per a diferenciar-los dels escalares, els vectores es representen per mig d'una flecha (o alternativament en un traç) sobre la lletra que designa el vector, com per eixemple $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\dots$ (o be $\overline{u},\overline{v},\overline{w},\dots$). En els texts impresos, és freqüent representar els vectores per mig de lletres en negreta (com $𝐮,𝐯,𝐰,\dots$).

Com a excepció, els vectores unitaris o versores, que el seu mòdul és l'unitat, es representen freqüentment en un accent circunflejo, per eixemple $\widehat{𝐢},\widehat{𝐣},\widehat{𝐤}$.

El mòdul d'un vector es representa tancant per mig de dos barres verticals la lletra que designa dit vector. Aixina, el mòdul de $\overrightarrow{v}$ es representa com $|\overrightarrow{v}|$ (en texts impresos, $|𝐯|$).

En àlgebra abstracta, es definixen espais vectorials sense una clara interpretació geomètrica (espais de matrius, de polinomis, de funcions,...). En estos casos s'ampren atres notacions, apropiades per a cada cas. En alguns d'estos espais, en els cridats espais normados, es definix la norma d'un vector (que generalisa l'idea del mòdul) que se sol representar en doble barra vertical: la norma de $𝐯$ es representa com $||𝐯||$.

Components d'un vector

Un vector en l'espai euclidiano tridimensional es pot expressar com una combinació llineal de tres vectores unitaris o versores, que són perpendiculars entre sí i constituïxen una base vectorial.

En coordenades cartesianes, els vectores unitaris es representen per $𝐢$, $𝐣$, $𝐤$, ( o o, v, w) paralels als eixos $x$, $y$, $z$ corresponents. Els components del vector en una base predeterminada poden escriure's entre paréntesis i separades en menges:

$𝐚=(a_x,a_y,a_z)$

o expressar-se com una combinació dels vectores unitaris definits en la base vectorial. Aixina, en un sistema de coordenades cartesiano, serà

$𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$

Estes representacions són equivalents entre sí, i els valors $a_x$, $a_y$, $a_z$, són els components d'un vector que, llevat que s'indique lo contrari, són número real.

Una representació convenient de les magnituts vectorials és per mig d'un vector columna o un vector fila, particularment quan estan implicades operacions matrius (tals com el canvi de base), del modo següent:

Per eixemple, els vectores unitaris s'expressarien de la següent manera:

$𝐢=[100],𝐣=[010],𝐤=[001]$

El lema de Zorn, conseqüència del axioma d'elecció, permet establir que tot espai vectorial admet una base vectorial, per lo que tot vector és representable com el producte d'uns components respecte a dita base. Donat un vector, solament existixen un número finito de components diferents de zero.

Operacions en vectores

En els vectores, sempre que pertanyguen a un mateix espai, es poden realisar diverses operacions. La principal operació entre vectores és la suma, en la que es prenen dos vectores per a obtindre un tercer. L'atra operació fonamental és el «producte per un escalar» en el que es multiplica un vector per un factor d'escala per a obtindre un atre vector. Atres operacions possibles són el producte escalar, el producte vectorial i el producte mixt, encara que les dos últimes no estan definides en totes les dimensions.

En general, les operacions es definixen sobre els vectores (lliures). Existixen regles per a obtindre gràficament els resultats d'estes operacions. Per a això, primerament es deuen elegir representants (vectores fixos equivalents a cada u dels operants), establint un punt inicial per a cada u d'ells. Quan el resultat siga un vector, est serà el vector lliure associat al vector fix aixina obtingut. També hi ha regles algebraiques per a operar en els vectores a partir dels seus components respecte de certa base, que té que ser la mateixa per a tots els operants i per al resultat.

Suma de vectores

Construcció geomètrica

La suma de dos vectores dona com resultat un tercer vector. Per a obtindre este, es trien dos vectores fixos concatenats com a representants dels dos sumants: tals que l'extrem final del primer coincidixca en l'extrem inicial del segon. El vector suma es correspon en el vector fix que té per punt inicial l'inicial del primer vector i per punt final el final del segon. Si s'invertix l'orde dels sumants, la suma no canvia, com es pot vore en completar el paralelogramo els costats del qual estan donats pels vectores que se sumen. És dir, la suma de vectores satisfà la propietat conmutativa.

Es pot generalisar esta operació a la suma d'un número $n$ de vectores. Per a obtindre la suma total, es concatenen tots ells un a continuació de l'atre. El vector resultant és el que unix el punt inicial del primer en el punt final de l'últim. Les $n-1$ sumes parcials que cal realisar poden fer-se en qualsevol orde, ya que els punts inicial i final no canvien, per lo que la suma de vectores també satisfà la propietat associativa.

Expressió algebraica de la suma per components

Conegudes les components de dos vectores, respecte de la mateixa base, per eixemple

el vector suma de v i w és el que té components, respecte de la mateixa base

És dir, la suma s'obté sumant component per component. La suma vectorial és una generalisació de la suma de número real i com tal compartix moltes de les seues propietats: la propietat conmutativa i la propietat associativa són immediates. També existix un element neutre per a la suma de vectores: el vector nul. Este vector nul té totes les seues components iguals a 0, i per tant sumar-ho a qualsevol atre vector no té cap efecte: per a tot vector v es té que v+0 = v. De la mateixa manera que per a la suma usual, tot vector té també el seu element opost: donat un vector v de components $(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ existix un vector -v en components $(-v_1,-v_2,\dots ,-v_n)$ i tal que v+(-v)=0. Totes estes propietats impliquen que els vectores d'un mateix espai formen un grup respecte de la suma.

Suma de magnituts vectorials

En física, la suma de dos vectores té sentit sol en certs contexts. Abdós vectores tenen que representar la mateixa magnitut vectorial. Per eixemple, carix de sentit sumar forças en velocitatés. Ademés, la suma té que tindre un sentit físic, com per eixemple sumar les distintes forces aplicades sobre una massa puntual per a obtindre la resultant de forces. Substituir les forces individuals pel seu vector suma, aplicat en la mateixa massa puntual, és un sistema físic equivalent.

En un sòlit rígit (en extensió) distintes forces poden actuar en punts distints. Encara aixina es poden sumar, desplazandolos, sempre i quan es mantinga la seua recta d'acció. Si existix un punt comú entre les vàries rectes, es poden esgolar els vectores fins a dit punt i sumar-los, sent la recta d'acció de la resultant la que passa per dit punt. Si no hi ha un punt comú, el sistema equivalent estarà format per una força (la suma dels vectores lliures de les forces individuals) i per un moment de força. En este cas, es deurà optar per un punt d'aplicació per a la força resultant: el sistema equivalent està format per este vector suma aplicat en tal punt de força, igual a la suma dels moments de cada una de les forces actuantes, calculats respecte del punt d'aplicació elegit.

Producte d'un vector per un escalar

Artícul principal → Multiplicació escalar.

El producte per un escalar, també cridat multiplicació escalar, és una operació entre un vector i un escalar. El resultat és un atre vector d'igual direcció (pero orientat en sentit contrari si l'escalar és negatiu) i el mòdul del qual resulta multiplicat pel valor absolut de l'escalar.

Si es coneixen les components d'un vector $𝐯=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ respecte d'una base qualsevol, el producte de v per un escalar $\lambda$ té per components, en la mateixa base

és dir, es multiplica cada component de v per $\lambda$.

El producte d'un vector per un escalar satisfà les següents propietats. Daus escalares $\lambda$, $\mu$ i vectores $𝐯$ i $𝐰$ qualssevol, es verifiquen:

• la propietat associativa

• la propietat distributiva respecte de la suma d'escalares

i respecte de la suma de vectores

• La multiplicació per l'unitat no té cap efecte:

Combinacions llineals

Artícul principal → Combinació llineal.

Utilisant les dos operacions anteriors, es pot plantejar una expressió de la forma

cridada combinació llineal dels vectores ${𝐯}_{\mathrm{𝟏}},{𝐯}_{\mathrm{𝟐}},\dots ,{𝐯}_{𝐤}$. Els escalares $a_1,a_2,\dots ,a_k$ es denominen coeficients.

Un vector es pot expressar com una combinació llineal dels vectores d'una base. Si un vector v té per components $(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ respecte de la base $\{{𝐞}_{\mathrm{𝟏}},{𝐞}_{\mathrm{𝟐}},\dots ,{𝐞}_{𝐧}\}$ llavors

De fet, els coeficients $v_1,v_2,\dots ,v_n$ són els únics escalares que fan que l'igualtat anterior siga certa, és dir, les components d'un vector respecte d'una base són úniques.

Les combinacions llineals admeten les mateixes dos operacions que els vectores (suma i multiplicació escalar) segons les regles usuals del àlgebra. Això és especialment útil quan s'expressen els vectores com a combinacions llineals dels vectores de la base. En tres dimensions és habitual utilisar la base canònica denotada com $\{𝐢,𝐣,𝐤\}$. Sean per eixemple els vectores

Llavors, es pot simplificar una combinació llineal com per eixemple

Esta forma d'operar en combinacions llineals és compatible en les expressions algebraiques donades més dalt per a la suma i la multiplicació escalar, és dir:

Producte escalar

Artícul principal → Producte escalar.

El producte escalar de dos vectores té com resultat un número (un escalar), que equival al producte dels mòduls dels vectores pel coseno de l'àngul entre ells. Quan abdós vectores són perpendicularés, l'àngul entre ells és recte i per tant el coseno s'anula, en lo que el seu producte escalar és zero. El producte escalar d'un vector conseguixc mateixa és el quadrat del seu mòdul.

Quan les components dels dos vectores estan expressades respecte d'una base ortonormal, el producte escalar es pot obtindre com el producte de la matriu fila del primer vector per la matriu columna del segon:

En canvi, quan la base no és ortonormal el producte escalar de $𝐮$ i $𝐯$ és igual al producte de tres matrius ${𝐮}^{t}A𝐯$, a on $A$ és la matriu de Gram. Les entrades d'esta matriu són els productes escalares dels vectores de la base entre sí. D'ahí que quan la base és ortonormal, la matriu de Gram és la matriu identitat.

Producte vectorial

Artícul principal → Producte vectorial.

En l'espai tridimensional, el producte vectorial de dos vectores dona com resultat un atre vector perpendicular als anteriors. El seu mòdul equival al producte dels mòduls dels vectores pel sen de l'àngul entre ells. El seu sentit s'obté per mig de la regla de la mà dreta. Quan abdós vectores són paralels, el sen s'anula, en lo que el seu producte vectorial és el vector nul. Respecte d'una base ortonormal $\{\widehat{𝐢},\widehat{𝐣},\widehat{𝐤}\}$, el producte escalar dels vectores $𝐮=(u_x,u_y,u_z)$ i $𝐯=(v_x,v_y,v_z)$ es pot obtindre expandint el determinant

És possible generalisar el producte vectorial a espais en atres dimensions, encara que són d'escàs interés. En canvi, existix una generalisació del producte vectorial cridada producte mixt, que permet calcular el volum d'un paralelepípede a partir dels tres vectores que s'obtenen de les seues arestes.

Funcions vectorials

Artícul principal → Funció vectorial.

És possible definir funcions que prenguen com a argument un vector, que tornen un vector, o abdós coses. En general, daus dos espais vectorials reals de dimensions $m$ i $n$ respectivament, es poden definir funcions $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$, que a cada vector de dimensió $m$ li assignen un vector de dimensió $n$. Quan $n$ és l'unitat, dites funcions es denominen formes. Una funció vectorial queda completament determinada per les seues $n$ funciones components $f_1,f_2,\dots ,f_n$. Cada funció $f_i$ és una forma que assigna a cada vector $𝐯$ de ${ℝ}^m$ la $i$-ésima component del seu vector image $f(𝐯)$. La branca del càlcul que estudia estes funcions és el càlcul vectorial.

Les funcions vectorials es poden amprar per a representar transformacions geomètriques, camps vectorials o parametrización. Per eixemple, la trayectòria d'un objecte en l'espai es pot descriure per mig d'una funció $f:ℝ\to {ℝ}^3$ que a cada instant $t$ li assigna una posició en l'espai $(x(t),y(t),z(t))$. Una superfície es pot descriure per mig de coordenades curvilineas $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, i en general les varietats $n$-dimensionals es descriuen per mig de cartes (o mapes) que són funcions vectorials dependents de $n$ variables.

Transformacions llineals

Artícul principal → Aplicació llineal.

Les transformacions llineals o operadors llineals són funcions que prenen un vector i tornen un atre, del mateix espai o d'un atre distint, i que preserven les combinacions llineals: daus escalares $\lambda$, $\mu$ i vectores $𝐯$ i $𝐰$ qualssevol, una funció f és una transformació llineal si es complix que:

Donades dos bases $ℬ$ i ${ℬ}^{\prime }$, per als espais de partida i d'arribada respectivament, la transformació llineal f queda determinada per una matriu $𝐓$. Les columnes d'esta matriu són les imàgens per f dels vectores de la base $ℬ$, expressats per mig de les seues components en la base ${ℬ}^{\prime }$. L'orde d'esta matriu serà $m\times n$, a on $m$ és el número de vectores de ${ℬ}^{\prime }$ i $n$ el número de vectores de $ℬ$, dimensions de l'espai d'arribada i de partida respectivament. L'image del vector v per f s'obté multiplicant la matriu $𝐓$ pel vector columna en les components de v en la base $ℬ$. Per eixemple, la matriu

representa una transformació en el pla (en la base canònica), que trencada cada vector un àngul de 90º en sentit positiu (antihorario). Atres eixemples de transformacions llineals són les reflexions, les proyeccions, les homotecias i les formes llineals.

Canvis de base

Artícul principal → Canvie de base.

Un problema habitual és, donades les components d'un vector respecte d'una base $ℬ$, obtindre els seus components respecte d'una atra base distinta ${ℬ}^{\prime }$. La funció que transforma unes components en unes atres es denomina canvi de base, i és una transformació llineal. La matriu associada a esta transformació es denomina matriu de canvi de base o matriu de pas. Aplicant la regla general de les transformacions llineals, les columnes de la matriu de canvi de base són les components en la base ${ℬ}^{\prime }$ dels vectores de $ℬ$. Esta matriu és sempre quadrada i invertible. La matriu inversa representa el canvi de base invers, és dir, de ${ℬ}^{\prime }$ a $ℬ$. Les noves components s'obtenen al multuplicar esta matriu pel vector columna en les components en la base de partida. Per eixemple en tres dimensions, si $ℬ=\{𝐱,𝐲,𝐳\}$ llavors les components d'un vector v satisfan l'igualtat matricial

Un cas particular dels canvis de base és quan abdós són bases ortonormals. Llavors la matriu de pas és una matriu ortogonal (en el cas de vectores complexos, unitària). Estes transformacions preserven el producte escalar i per tant són isometrías de l'espai (en essència, preserven distàncias i ànguls). Les matrius ortogonals tenen la propietat de que la seua inversa és igual a la seua transpuesta, per lo que és immediat obtindre el canvi de base invers.

Diferenciació de vectores

Donat un vector que és funció d'una variable independent $𝐯(t)=(v_1(t),v_2(t),\dots ,v_n(t))$, la seua derivada con respecto de la variable t és el vector que s'obté derivant cada una dels seus components per separat:

De les regles usuals per a obtindre derivades de funcions, resulta que la diferenciació és una transformació llineal, és dir: la derivada d'una combinació llineal és la combinació llineal de les derivades:

a on $a_1,a_2,\dots ,a_n$ són escalares constants i ${𝐯}_1(t),{𝐯}_2(t),\dots ,{𝐯}_n(t)$ són vectores variables.

Per eixemple, en tres dimensions i respecte de la base canònica, la funció vectorial

representa el vector posició (en funció del temps t) d'una una partícula a lo llarc d'una trayectòria helicoidal al voltant de l'eix z de ràdio unitat, com s'ilustra en la figura. La seua derivada representa la velocitat, que és tambień un vector variable en el temps. En cada instant, la seua direcció és tangente a la curva en el punt que ocupa la partícula. Si es deriva l'expressió per a $𝐫(t)$, tenint en conte que els vectores de la base són constants, es té:

En general, la derivada d'una funció vectorial $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ és una transformació llineal que es descriu per mig de la matriu jacobiana de $f$, les entrades de la qual són les derivades parcials de les components. El càlcul vectorial es dedica a l'estudi de les funcions vectorials diferenciables, aixina com de l'aplicació a estes d'atres conceptes del anàlisis matemàtic com els llímits, la continuïtat o l'integració.

Derivada covariant d'un vector

Artícul principal → Derivada covariant.

Quan en lloc d'amprar una "base fixa" en tot el domini d'un vector s'usen "bases mòvils" com quan s'ampren coordenades curvilíneas la variació total d'un vector depenent del temps depén no solament de la variació de components com en el cas de la derivada ordinària sino també de la variació de l'orientació de la base. La variació total es diu derivada covariant:

Quan s'ampra una base fixa (coordenades cartesianes) la derivada covariant coincidix en la derivada ordinària. Per eixemple quan s'estudia el moviment d'una partícula des d'un sistema de referència no inercial en rotació, les #acceleració de Coriolis i centrípeta es deuen als factors que contenen $𝝎$ i atres factors menys comuns.^{cita requerida}

Àngul entre dos vectores

L'àngul determinat per les direccions de dos vectores $𝐚$ i $𝐛$ ve dau per:

Descomposicions d'un vector

Donat un vector $𝐚$ i una direcció de referència donada per un vector unitari $𝐧$ es pot descompondre el primer vector en un component paralela i un atre component perpendicular a la direcció de referència:

En física esta descomposició s'usa en diferents contexts com descompondre l'acceleració en un component paralela a la velocitat i un atre component perpendicular a la mateixa. També el tensió mecànica en un punt sobre un pla pot descompondre's en un component normal al pla i una atra paralela.

També donat un camp vectorial $𝐮(𝐱)$ definit sobre un domini de Lipschitz, acotat, simplement conexo i de quadrat integrable $𝐮\in (L^2(\Omega ){)}^3$ admet la cridada descomposició Helmholtz com sumixca d'un camp conservativo i un camp solenoidal:

Vectores en el cas general

En matemàtiques, es definix l'estructura d'espai vectorial i a cada u dels elements o punts d'eixe espai se'ls denomina vector. En molts casos els vectores no poden ser representats per mòdul direcció i sentit. Per eixemple, en un espai vectorial complex sobre els número complejo la noció de mòdul no està automàticament defindida. Igualment en un espai vectorial de dimensió infinita, com és el cas d'espais de Hilbert no existix una representació gràfica dels vectores com a segments orientats.

Magnituts vectorials

Front a aquelles magnituts físiques, tals com la massa, la pressió, el volum, l'energia, la temperatura, etc; que queden completament definides per un número i les unitats utilisades en la seua mida, apareixen unes atres, tals com el desplaçament, la velocitat, l'acceleració, la força, el camp elèctric, etc., que no queden completament definides donant una senya numèrica, sino que duen associades una direcció. Estes últimes magnituts són cridades vectorials en contraposició a les primeres cridades escalares.

Les magnituts vectorials queden representades per un ent matemàtic que rep el nom de vector. En un espai euclidiano, de no més de tres dimensions, un vector es representa per un segment orientat. Aixina, un vector queda caracterisat pels següents elements: la seua llongitut o mòdul, sempre positiu per definició, i la seua direcció, la qual pot ser representada per mig de la suma de les seues components vectorials ortogonals, paraleles als eixos de coordenades; o per mig de coordenades polars, que determinen l'àngul que forma el vector en els eixos positius de coordenades.

Es representa com un segment orientat, en una direcció, dibuixat de forma similar a una "flecha". La seua llongitut representa el mòdul del vector, la recta indica la direcció, i la "punta de flecha" indica el seu sentit.

Requeriments físics de les magnituts vectorials

No qualsevol n-tupla de funcions o número real constituïx un vector físic. Per a que una n-tupla represente un vector físic, els valors numèrics dels components del mateix medits per diferents observadorés deuen transformar-se d'acort en certes relacions fixes.

En mecànica newtoniana generalment s'utilisen vectores genuïns, cridats a voltes vectores polars, junt en pseudovectores, cridats vectores axials que realment representen el dual de Hodge de magnituts tensoriales antisimètriques. El moment angular, el camp magnètic i totes les magnituts en la definició de les quals intervé el producte vectorial són en realitat pseudovectores o vectores axials.

En teoria de la relativitat especial, solament els vectores tetradimensionales les mides preses dels quals per diferents observadors poden ser relacionades per mig d'alguna transformació de Lorentz constituïxen magnituts vectorials. Aixina els components de dos magnituts vectorials mides per dos observadors $O$ i $\overline{O}$ deuen relacionar-se d'acort en la següent relació:

${\overline{V}}^{\beta }=\sum _{\alpha =0}^3{\Lambda }_{\alpha }^{\beta }{V}^{\alpha }$

A on ${\Lambda }_{\alpha }^{\beta }$ són els components de la matriu que dona la transformació de Lorentz. Magnituts com el moment angular, el camp elèctric o el camp magnètic de fet en teoria de la relativitat no són magnituts vectorials sino tensoriales.

Aplicacions

Els vectores són essencials en física clàssica i moderna per a descriure magnituts que tenen tant mòdul com a direcció, com la força, la velocitat i l'acceleració. En mecànica, per eixemple, s'utilisen vectores per a analisar l'efecte de múltiples forces actuant sobre un cos i determinar el seu moviment resultant, lo que permet resoldre problemes d'equilibri i dinàmica en sistemes de partícules i estructures. Ademés, en electromagnetisme, els camps elèctrics i magnètics es representen com a camps vectorials, a on cada punt de l'espai s'associa en un vector que indica la direcció i magnitut de la força que una càrrega experimentaria en eixe punt.

En ingenieria i ciències aplicades, els vectores s'usen per a analisar i dissenyar sistemes físics complexos. En ingenieria civil i mecànica, els vectores modelen forces de tensió, compressió i moments sobre estructures com a ponts o edificis, permetent als ingeniers calcular esforços, deformacions i estabilitat. En navegació i sistemes GPS, els vectores representen posicions, direccions de moviment i velocitats, ajudant a determinar rutes més curtes i calcular trayectòries precises per a vehículs, aeronaus i embarcacions.

En tecnologia i ciències de la computació, els vectores són fonamentals per a representar senyes i posicions en espais multidimensionales. En gràfics per computadora i videojocs, s'utilisen vectores per a modelar transformacions geomètriques, colisions i trayectòries d'objectes en entorns tridimensionals. En ciència de senyes i aprenentage automàtic, les senyes es representen com vectores de característiques, i operacions vectorials com el producte escalar i la normalisació s'ampren per a medir similituts, realisar classificació i optimisar algoritmes.

Bibliografia

• (2009) Elementary Functional Analysis, Springer. ISBN 978-1-4419-2753-8.
• (2003) Vector Calculus, 5ª edició, Springer. ISBN 978-0-7167-4992-9.
• Meyer, Carl D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM. ISBN 978-0-898714-54-8.
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lliçons de Física (4 volums), Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en anglés), New York: John Wiley & Sons.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W., {{{nom2}}} (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6.ª edició (en anglés), Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• (2013) Linear Algebra and Geometry, 1ª ed trad. a l'anglés (ebook) edició, Springer. ISBN 978-3-642-30994-6.
• Strang, Gilbert (2009). Introduction to Linear Algebra, 4.ª intl. edició (en anglés), Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-2-1.
• Tipler, Paul A. (2000). Física per a la ciència i la tecnologia (2 volums), Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

Enllaços externs

Archiu:Wiktionary-logo-v2.svg Vector en el Viccionari.

• Vector en MathWorld.