Norma vectorial

En àlgebra vectorial, geometria i física, una norma en un espai vectorial és un operador que permet definir una noció de "llongitut" o "tamany" de qualsevol vector. Més concretament, donat un espai vectorial $V$ , una aplicació de $V$ en el conjunt dels número real, es diu que és una norma: Si és no negativa, s'anula únicament en el vector nul, satisfà la desigualtat triangular i és espècie homogénea.

L'eixemple per antonomàsia és la norma euclídea en $ℝ^{n}$ , definida per mig de $‖ (x_{1}, \dots, x_{n}) ‖ = \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}$ , i que s'interpreta com la distància en llínea recta al zero.

No obstant, en un mateix espai vectorial pugues haver moltes maneres de definir una norma, i cada una li conferix una estructura distinta d'espai normado. De fet, en $ℝ^{n}$ existixen atres normes distintes de la euclídea, com la norma $‖ \cdot ‖_{1}$ , també cridada del taxiste.

Tot producte escalar $⟨, ⟩ : V \times V \to ℝ$ produïx una norma definida com $‖ v ‖ = \sqrt{⟨ v, v ⟩}$ .

Qualsevol norma $‖ \cdot ‖$ en $V$ genera una distància en $V$ per mig de $d (x, y) = ‖ y - x ‖$ ; o en l'espai afí associat per mig de $d (p, q) = ‖ \vec{p q} ‖$ .

Norma euclídea

En un espai euclídeo ordinari els vectores són representables com a segments orientats entre punts de dit espai. Donat un vector d'un espai vectorial euclídeo, la norma d'un vector es definix com la distància euclídea (en llínea recta) entre dos punts A i B que delimiten dit vector. De fet, en un espai euclídeo la norma d'un vector coincidix precisament en el mòdul del vector $\vec{A B}$ .

En dos dimensions:

‖ \vec{A B} ‖ = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

sent

\vec{O A} = (a_{1}, a_{2})

i

\vec{O B} = (b_{1}, b_{2})

i O l'orige de coordenades de dit espai.

Estenent lo anterior a l'espai euclídeo de tres dimensions, és també elemental que:

‖ \vec{A B} ‖ = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}}

sent

\vec{O A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

i

\vec{O B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

En el cas general d'un espai euclídeo de n dimensions es té:

‖ \vec{A B} ‖ = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + ... + (b_{n} - a_{n})^{2}}

sent

\vec{O A} = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})

i

\vec{O B} = (b_{1}, b_{2}, ..., b_{n})

.

De lo anterior se seguix que, fixada una base ortonormal $ℬ$ en la que un vector $𝐯$ ve dau pels seus components en esta base, $𝐯_{ℬ} = (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ , llavors la norma de dit vector ve donada per:

$‖ 𝐯 ‖ = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{n}^{2}} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2}}$

Definició general

La definició general de norma es basa en generalisar a espais vectorials abstractes la noció de mòdul d'un vector d'un espai euclídeo. Recorde's que en un espai no euclídeo el concepte de camí més curt entre dos punts ya no és identificable necessàriament en el de la llínea recta; per això, s'utilisen les propietats operacionals de la norma euclídea definida més dalt per a extraure les condicions que deu complir la "llongitut d'un vector", o norma vectorial, en un espai vectorial qualsevol. Estes condicions bàsiques són:

Sempre és no negativa i independent del sentit (orientació) de la medició.
La llongitut deu ser directament proporcional al tamany (és dir, doble -o triple- de tamany significa doble -o triple- de llongitut).
La llongitut entre dos punts serà sempre menor o igual que la suma de llongituts des d'eixos mateixos dos punts a un tercer diferent d'ells (desigualtat triangular: la suma de dos costats d'un triàngul mai és menor que el tercer costat, també generalisada en la desigualtat de Cauchy-Schwarz). Es presenten dos maneres de forma, una casi directa i apunta a lo dit: llongitut de vector. L'atra usa la noció d'operador i major simbolisme de la matemàtica formal (tipo Bourbaki).

Açò motiva la següent definició:

Al número $‖ x ‖$ se li crida norma del vector $x$ .

Al parell $(V, ‖ \cdot ‖)$ se li denomina espai normado.

Observe's que la condició $‖ x ‖ \geq 0 \forall x \in V$ (no negatividad) es deriva del restant, per lo que realment es podria eliminar. En efecte, $0 = ‖ 0 ‖ = ‖ x - x ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ - x ‖ = ‖ x ‖ + ‖ x ‖ = 2 ‖ x ‖$ , d'a on $‖ x ‖ \geq 0$ .

Vore també

Referències

Bibliografia

Trèves, François (1995). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, Inc., pp. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.
Khaleelulla, S. M.. Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Springer-Verlag, pp. 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6.

Este artícul conté una traducció derivada de «Norma vectorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.