Espai euclídeo

Un punt en l'espai euclídeo tridimensional pot ser ubicat per mig de tres coordenades.

El espai euclídeo (també cridat espai euclidiano) és un tipo d'espai geomètric a on se satisfan els axioma de Euclides de la geometria. La recta real, el pla euclídeo i l'espai tridimensional de la geometria euclidiana són casos especials d'espais euclidianos de dimensions 1, 2 i 3 respectivament. El concepte com a conjunt, $ℝ^{n}$ és el conjunt de n-tuplas ordenades d'número real, és dir:

ℝ^{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}) | x_{i} \in ℝ, i = 1, 2 \dots, n}

Daus dos elements $x, y \in ℝ$ podem dir que $x = y$ si i només si $x_{i} = y_{i}$ para tot $i \in {1, 2, \dots n}$ .

En freqüència als elements de $ℝ^{n}$ se'ls definix com vectores, i en les operacions comunes d'adició i producte d'un vector per un escalar, $ℝ^{n}$ és un espai vectorial.^[1]

Un espai euclídeo és un espai vectorial complet dotat d'un producte intern, la qual cosa ho convertix ademés en un espai afí, un espai mètric i una varietat riemanniana al mateix temps.

El terme euclídeo s'utilisa per a distinguir estos espais dels espais "curvos", de les geometria no euclidianas i de l'espai de la teoria de la relativitat d'Einstein. Per a resaltar el fet de que un espai euclídeo pot posseir n dimensions, se sol parlar de "espai euclídeo n-dimensional" (denotat $ℝ^{n}, R^{n}$ , o inclús $𝔼^{n}$ ).

Els antics geómetras grecs varen introduir l'espai euclidiano per a modelar l'espai físic. El seu treball va ser arreplegat pel matemàtic grec antic Euclides en els seus Elements,^[2] en la gran innovació de provar totes les propietats de l'espai com teoremes, partint d'unes poques propietats fonamentals, cridades postulats, que o be es consideraven evidents (per eixemple, hi ha exactament una llínea recta que passa per dos punts), o be semblaven impossibles de demostrar (postulat de les paraleles). | Despuix de l'introducció a finals de el XIX de les geometria no euclídeas, els antics postulats es varen formalisar de nou per a definir els espais euclidianos per mig de la teoria axiomàtica. S'ha demostrat que una atra definició dels espais euclidianos per mig d'espai vectorial i àlgebra llineal és equivalent a la definició axiomàtica. És esta definició la que s'usa més comunament en les matemàtiques modernes, i la que es detalla en este artícul.^[3] En totes les definicions, els espais euclidianos estan formats per punts, que es definixen només per les propietats que deuen tindre per a formar un espai euclidiano.

Essencialment només hi ha un espai euclídeo de cada dimensió; és dir, tots els espais euclídeos d'una dimensió donada són isomorfos. Per tant, en molts casos, és possible treballar en un espai euclídeo concret, que generalment és l'espai real $ℝ^{n},$ dotat del producte escalar. Un isomorfisme d'un espai euclídeo a $ℝ^{n}$ associa a cada punt una $n$ -tupla de número real que localisen eixe punt en l'espai euclídeo i es denominen les coordenades cartesianas d'eixe punt.

Definició

Història de la definició

L'espai euclidiano va ser introduït per antics matemàtics grecs com una abstracció del nostre espai físic. La seua gran innovació, que apareix en Elements d'Euclides va ser construir i provar tota la geometria partint d'unes poques propietats molt bàsiques, que s'abstrauen del món físic, i no poden demostrar-se matemàticament per falta de ferramentes més bàsiques. Estes propietats es denominen postulats o axioma en llenguage modern. Esta forma de definir l'espai euclidiano seguix utilisant-se en el nom de geometria sintètica.

En 1637, René Descartes va introduir les coordenades cartesianas i va demostrar que açò permet reduir els problemes geomètrics a càlculs algebraics en números. Esta reducció de la geometria al àlgebra va supondre un important canvi de punt de vista, ya que, fins a llavors, els número real es definien en térmens de llongituts i distàncies.

La geometria euclidiana no es va aplicar en espais de dimensió superior a tres fins a el XIX. Ludwig Schläfli va generalisar la geometria euclidiana a espais de dimensió $n$ , utilisant métodos sintètics i algebraics, i va descobrir tots els politopos regulars (anàlecs de dimensió superior dels sòlits platònics) que existixen en els espais euclidianos de qualsevol dimensió.^[4]

A pesar de l'ampli us de l'enfocament de Descartes, que va rebre el nom de geometria analítica, la definició de l'espai euclídeo va permanéixer inalterada fins a finals de el XIX. L'introducció d'espais vectorials abstractes va permetre utilisar-los per a definir els espais euclídeos en una definició purament algebraica. S'ha demostrat que esta nova definició és equivalent a la definició clàssica en térmens de axioma geomètrics. És esta definició algebraica la que ara s'utilisa més a sovint per a introduir els espais euclidianos.

Motivació de la definició moderna

Una forma de pensar en el pla euclídeo és com un conjunt de punts que satisfan certes relacions, expressables en térmens de distància i ànguls. Per eixemple, hi ha dos operacions fonamentals (denominades moviments) en el pla. Una és translació, que significa un desplaçament del pla de modo que cada punt es desplaça en la mateixa direcció i a la mateixa distància. L'atra és la rotació al voltant d'un punt fix del pla, en la que tots els punts del pla giren al voltant d'eixe punt fix en el mateix àngul. Un dels principis bàsics de la geometria euclidiana és que dos figures (normalment considerades com subconjunts) del pla deuen considerar-se equivalents (congruent) si una pot transformar-se en l'atra per mig d'una seqüència de translacions, rotacions i reflexiós (vore a continuació).

Per a que tot açò siga matemàticament precís, la teoria deu definir clarament qué és un espai euclídeo i les nocions relacionades de distància, àngul, translació i rotació. Inclús quan s'utilisa en teories físiques, l'espai euclídeo és una abstracció desvinculada de localisacions físiques reals, marcs de referència específics, instruments de mida, etcétera. Una definició purament matemàtica de l'espai euclidiano també ignora les qüestions d'unitats de llongitut i unes atres dimensions físiques: la distància en un espai "matemàtic" és un número, no alguna cosa expressat en polzades o metros.

La forma estàndar de definir matemàticament un espai euclídeo, tal com es porta a terme en el restant d'este artícul, és com un conjunt de punts sobre els que un espai vectorial real actua, el espai de translacions que està dotat d'un producte interior.^[5] L'acció de les translacions fa de l'espai un espai afí, i açò permet definir rectes, plans, subespacios, dimensió i paralelisme. El producte interior permet definir distància i ànguls.

El conjunt $ℝ^{n}$ de $n$ -tuplas d'número real dotades del producte punt és un espai euclídeo de dimensió $n$ . A l'inversa, l'elecció d'un punt cridat orige i d'una base ortonormal de l'espai de translacions equival a definir un isomorfisme entre un espai euclídeo de dimensió $n$ i $ℝ^{n}$ vist com un espai euclídeo.

D'això es deduïx que tot lo que pot dir-se d'un espai euclídeo pot dir-se també de $ℝ^{n} .$ Per això, molts autors, especialment a nivell elemental, criden a $ℝ^{n}$ el espai euclídeo estàndart de dimensió $n$ ,^[6] o simplement el espai euclídeo de dimensió $n$ .

Una raó per a introduir una definició tan abstracta dels espais euclídeos, i per a treballar en ella en lloc de $ℝ^{n}$ és que a sovint és preferible treballar d'una manera sense coordenades i sense orige (és dir, sense elegir una base preferida i un orige preferit). Una atra raó és que no hi ha orige ni base en el món físic.

Definició tècnica

Un espai vectorial euclídeo és un espai de producte interior de dimensió finita sobre els número real.^[7]

Un espai euclídeo és un espai afí sobre el real tal que l'espai vectorial associat és un espai vectorial euclídeo. Els espais euclídeos es diuen a voltes espais afins euclídeos per a distinguir-los dels espais vectorials euclídeos.^[7]

Si $I$ és un espai euclídeo, el seu espai vectorial associat (espai vectorial euclídeo) se sol denotar $\vec{E} .$ La dimensió d'un espai euclídeo és la dimensió del seu espai vectorial associat.

Els elements de $I$ es denominen punts i es denoten comunament en lletres mayúscules. Els elements de $\vec{E}$ es diuen vectors euclídeos' o vectors lliures. També es diuen translacions, encara que, pròpiament parlant, una translació és la transformació geomètrica resultant de l'acció d'un vector euclídeo sobre l'espai euclídeo.

L'acció d'una translació $v$ sobre un punt $P$ proporciona un punt que es denota $P + v$ . Esta acció satisfà

$P + (v + w) = (P + v) + w .$

Nota: El segon $+$ en el costat esquerre és una adició vectorial; tots els demés $+$ denoten una acció d'un vector sobre un punt. Esta notació no és ambigua, ya que, per a distinguir entre els dos significats de $+$ , n'hi ha prou en fixar-se en la naturalea del seu argument esquerre.

El fet de que l'acció siga lliure i transitiva significa que per a cada parell de punts $(P, Q)$ existix exactament un vector de desplaçament $v$ tal que $P + v = Q$ . Este vector $v$ es denota $Q - P$ o $\vec{P Q}$ .

Com s'ha explicat anteriorment, algunes de les propietats bàsiques dels espais euclídeos resulten de l'estructura de l'espai afí. Es descriuen en Estructura afí i les seues subsecciones. Les propietats resultants del producte interior s'expliquen en Estructura mètrica i les seues subsecciones.

Introducció

Un espai euclídeo de dimensió finita és un espai vectorial normado sobre els número real de dimensió finita, en que la norma és l'associada al producte escalar ordinari. Per a cada número entero no negatiu n, l'espai euclídeo n-dimensional es representa pel símbol $ℝ^{n}$ i és el conjunt de totes les tuplas ordenades

$(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$

en a on cada $x_{i}$ és un número real, junt en la funció distancia entre dos punts (x₁, ..., x_n) i (i₁, ..., i_n) definida per la fòrmula:

Esta funció distancia és una generalisació del teorema de Pitágoras i es denomina distància euclidiana. El fet de que s'haja definit una distància permet definir atres conceptes mètrics com el de mida de Lebesgue, la qual cosa permet a la seua volta definir la llongitut d'una curva (1-volum), les nocions d'àrea (2-volum), volum (3-volum) i quan l'espai té dimensió superior a 3 n-volum (per a n > 3).

Ademés, poden definir-se ànguls, en poder parlar de proyectar una llongitut recta sobre la direcció d'una atra llongitut recta no paralela, aixina l'àngul entre dos rectes r₁ i r₂ que els seus vectores unitaris tangentes són $𝐧_{1}$ i $𝐧_{2}$ es pot definir com:

Estructures sobre l'espai euclídeo

Els espais euclidianos i les seues propietats han servit de base per a generar gran cantitat de conceptes matemàtics relacionats en la geometria analítica, la topología, l'àlgebra i el càlcul. Encara que l'espai euclídeo sol ser introduït, per raons didàctiques, com a espai vectorial, en realitat sobre ell es poden definir moltes més estructures. L'espai euclídeo és ademés d'un espai vectorial un cas de:

Un espai de Hilbert de dimensió finita, en el producte escalar ordinari.
Un espai de Banach de dimensió finita, en norma induïda pel producte escalar interior.
Un espai mètric complet, en distància induïda per la norma anterior.
Un espai topològic, induït per la mètrica euclídea.
Una varietat de Riemann, en la mètrica euclídea.

Un espai afí a on l'espai vectorial associat és $ℝ^{n}$
Un grup de Lie, en l'operació d'adició.
Un àlgebra de Lie en el producte vectorial (solament en el cas tridimensional).

L'espai euclídeo com a espai mètric

Per definició, $ℝ^{n}$ és un espai mètric, i és per tant també un espai topològic; és l'eixemple prototípico d'una n-varietat, i és de fet una n-varietat diferenciable. Per a n ≠ 4, qualsevol n-varietat diferenciable que siga homeomorfa a $ℝ^{n}$ és també difeomorfa a ella. El fet sorprenent és que açò no és cert també per a n = 4, lo que va ser provat per Simon Donaldson en l'any 1982; els contraeixemples es diuen 4-espais exòtics (o falsos).

Ya que l'espai euclídeo $ℝ^{n}$ és en sí mateixa una varietat diferenciable, en cada punt es pot definir el seu espai tangente (que és un espai vectorial de dimensió n), i pot aprofitar-se l'estructura euclídea per a definir una mètrica sobre el fibrado tangente de l'espai euclídeo, la qual cosa li dona l'estructura de varietat de Riemann, això permet definir àrees, volums i n-volums per a subconjunts diferenciables de dit espai.

L'espai euclídeo com a espai topològic

Es pot dir molt sobre la topología de $ℝ^{n}$ . Un resultat important, la invariancia del domini de Brouwer, és el de que qualsevol subconjunt de $ℝ^{n}$ que siga homeomorfo a un subconjunt obert de $ℝ^{n}$ és en sí mateixa obert. Com a conseqüència immediata d'açò es té que $ℝ^{m}$ no és homeomorfo a $ℝ^{n}$ si $m \neq n$ , un resultat intuitivamente trivial que no obstant no és fàcil de demostrar.

L'espai euclídeo com a espai vectorial

Artícul principal → Vector (espai euclídeo).

El n-espai euclídeo es pot considerar també com un espai vectorial n-dimensional real, de fet, un espai de Hilbert, de manera natural. El producte escalar, de x = (x₁,...,x_n) i i = (i₁,...,i_n) està donat per:

Espai euclídeo de dimensió infinita

Els espais euclídeos considerats usualment tenen una dimensió topològica finita. Això fa que siguen localment compactes. No obstant, és possible concebre estructures de dimensió infinita que tinguen propietats anàlogues als espais euclídeos, per lo que l'extensió a dimensió infinita de la noció d'espai euclídeo és possible en unes poques precaucions.^[8] En primer lloc, es pot considerar el conjunt $ℝ^{ω}$ definit com:

És dir, este conjunt és el producte cartesiano d'un número infinit numerable de còpies de $ℝ$ . No obstant, el conjunt de totes eixes tuplas infinites no té l'estructura d'espai euclídeo perque no es pot dotar d'una norma euclídea adequada. Per eixemple, les tuplas:

No representen vectores que la seua sumixca de components al quadrat siga un número real finito. Per eixa raó es considera el subconjunt:

Este espai vectorial $E_{\infty}$ compartix la major part de les propietats dels espais euclídeos finitodimensionales i per tant pot considerar-se un espai euclídeo infinitodimensional. La principal característica de $E_{\infty}$ és que l'espai euclídeo infinitodimensional, a diferència de les seues versions finitodimensionales, no és un espai localment compacte.

Vore també

Referències

↑ Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. «L'espai Rn». Facultat de Ciències UNAM..
↑ Ball, 1960.
↑ Berger, 1987.
↑ Coxeter, 1973.
↑ Solomentsev, 2001.
↑ Berger, 1987, Secció 9.1.
↑ ^7,0 ^7,1 Berger, 1987, Capítul 9.
↑ Nowinski, J. L. (1981). Infinite-Dimensional Euclidean Spaces. In Applications of Functional Analysis in Engineering (pp. 45-57). Springer US.

Bibliografia

Kelley, John L. (1975). General Topology, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
Munkres, James (1999). Topology, Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio euclídeo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. «L'espai Rn». Facultat de Ciències UNAM..

[FOOTNOTEBall1960{{{c}}}-2] Ball, 1960.

[FOOTNOTEBerger1987{{{c}}}-3] Berger, 1987.

[FOOTNOTECoxeter1973{{{c}}}-4] Coxeter, 1973.

[FOOTNOTESolomentsev2001{{{c}}}-5] Solomentsev, 2001.

[FOOTNOTEBerger1987{{{c}}}Secció_9.1-6] Berger, 1987, Secció 9.1.

[FOOTNOTEBerger1987{{{c}}}Capítul_9-7] 7,0 ^7,1 Berger, 1987, Capítul 9.

[8] Nowinski, J. L. (1981). Infinite-Dimensional Euclidean Spaces. In Applications of Functional Analysis in Engineering (pp. 45-57). Springer US.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]