Rotació (matemàtiques)

Rotació d'un objecte en dos dimensions al voltant del punt O

En matemàtiques, la rotació és un concepte que té el seu orige en la geometria. Qualsevol rotació és un moviment definit en un determinat espai que conserva a lo manco un punt en la seua posició original. Pot descriure, per eixemple, el gir d'un cos rígit al voltant d'un punt fix. Una rotació és diferent a atres tipos de moviments (com la translació, que no té punts fixos; o la reflexió).

Per a un espai n-dimensional, la rotació es caracterisa per presentar un pla (n-1)-dimensional complet de punts fixos. Una rotació en el sentit de les agulles del rellonge es considera per conveni una magnitut negativa, i de forma anàloga, un gir en el sentit contrari a les agulles del rellonge té una magnitut positiva.

Matemàticament, una rotació és una aplicació. Totes les rotacions sobre un punt fix formen un grup baixe unes regles de composició, denominat grup de rotació (d'un espai en particular). Pero en mecànica i, més generalment, en física, este concepte s'entén en freqüència com un sistema de coordenades (important, sempre que es tracte d'una transformació d'una base ortonormal), perque per a qualsevol moviment d'un cos hi ha una transformació inversa que si s'aplica al sistema de referència dona com a resultat que el cos seguixca estant en les mateixes coordenades. Per eixemple, en dos dimensions, girar un cos en el sentit del rellonge al voltant d'un punt a on es mantenen els eixos fixos, equival a girar els eixos en sentit contrari a les agulles del rellonge al voltant del mateix punt mentres el cos es manté fix. Estos dos tipos de rotació es denominen transformacions actives i passives.

Definicions relacionades i terminologia

El "grup de rotació" és un grup de Lie de rotacions sobre un punt fix. Este punt fix (comú) es diu "centre de rotació" i generalment s'identifica en l'orige de coordenades. El grup de rotació és un estabilisador puntual en un grup més ampli de moviments (en preservació del sentit d'orientació dels eixos).

Per a una rotació particular:

• El eix de rotació és la recta formada pels seus punts fixos. Solament existix per a n > 2.

• El pla de rotació és un pla invariante sobre una rotació. A diferència de l'eix, els seus punts no són fixos en sí mateixos. L'eix (quan està present) i el pla d'una rotació són ortogonals entre sí.

La "representació" d'una rotació és un formalisme particular, ya siga algebraic o geomètric, utilisat per a parametrizar una aplicació de rotació. Este significat és d'alguna manera invers al que té en la teoria de grups.

Les rotacions en un espai afí i en un espai vectorial no sempre es distinguixen clarament. Les primeres a voltes es denominen "rotacions afins" (encara que el terme és enganyós), mentres que les segones són "rotacions de vectores" (vore l'artícul que figura a continuació per a més detalls).

Definicions i representacions

En geometria euclidiana

Vore també: Espai Euclideo i Grup especial ortogonal

Una rotació qualsevol en el pla, seguida d'una atra rotació al voltant d'un punt diferent, dona com resultat un moviment total que és una tercera rotació (com en esta image) o una translació

El moviment en un espai euclídeo és el mateix que el seu isometría: manté la distància entre dos punts sense canvis despuix de la transformació. Pero una rotació (pròpia) també té que preservar l'orientació de la seua estructura espacial. El terme "rotació impròpia" es referix a isometría que invertixen l'orientació. En el llenguage de teoria de grups, la distinció s'expressa com a isometría directes front a les indirectes en el grup euclídeo, a on les primeres inclouen a l'operador identitat. Qualsevol moviment euclidiano directe pot representar-se com una composició d'una rotació al voltant d'un punt fix i una translació.

No hi ha rotacions que no siguen trivials en una dimensió. En dos dimensions, solament es necessita un àngul per a determinar una rotació sobre l'orige de coordenades: el "àngul de rotació", que especifica un element del grup circular (també conegut com O(1)). La rotació actua per a girar un objecte en sentit horari per mig d'un àngul θ sobre l'orige de coordenades (vore "dos dimensions" per als detalls de la composició de les rotacions, per mig de la suma d'ànguls en mòdul d'1 un gir complet, lo que implica que totes les rotacions bidimensionales sobre el mateix punt formen un grup abeliano (és dir, conmutativo). Les rotacions sobre punts "diferents", en general, no commuten. Qualsevol moviment directe bidimensional és una translació o una rotació; vore isometría afí para més detalls).

Les rotacions en l'espai tridimensional diferixen de les rotacions en dos dimensions en varis aspectes importants. Les rotacions en tres dimensions generalment no són conmutativas, per lo que l'orde en que s'apliquen és important inclús quan es realisen al voltant del mateix punt. Ademés, a diferència del cas bidimensional, un moviment directe tridimensional, en posició general, no és una rotació sino un moviment helicoidal. Les rotacions sobre l'orige tenen tres graus de llibertat, coincidentes en el número de dimensions.

Rotacions de Euler de la Terra. Intrínseca (verda), precesión (blava) i nutación (roig)

Una rotació tridimensional es pot especificar de vàries maneres. Els métodos més usuals són:

• Ànguls de Euler (image a l'esquerra): qualsevol rotació sobre l'orige es pot representar com la composició de tres rotacions definides com el moviment obtingut en variar un dels ànguls de Euler mentres es deixen fixos els atres dos. Constituïxen un sistema de eixos mixts de rotació, a on el primer àngul mou la llínea de nodos al voltant de l'eix extern z, el segon gira al voltant de la llínea de nodos i el tercer és una rotació intrínseca al voltant d'un eix fix en el cos que es mou. Esta representació és convenient solament per a rotacions sobre un punt fix.

• Notació axial-angular (image a la dreta): específica l'àngul que girar i l'eix al voltant del com es realisa la rotació. Es pot visualisar fàcilment. Hi ha dos variants per a representar-ho:

  - Com un parell ordenat de senyes, format per l'àngul a girar i per un vector unitari per a l'eix de gir, o be

  - Com un vector, resultat de multiplicar el vector unitari pel valor de l'àngul, obtenint el cridat vector de rotació (encara que, estrictament parlant, siga un vector axial).

• Matrius, versores (cuaterniones) i atres conceptes algebraics: vore la secció sobre àlgebra llineal i multilineal.

Proyecció ortogonal en tres dimensions d'un teseracto sent rotado en l'espai euclideo tetradimensional

Una rotació general en quatre dimensions té solament un punt fix (el centre de rotació), i cap eix de rotació (vore rotacions en l'espai euclídeo 4-dimensional). En canvi, posseïx dos plans de rotació ortogonals, cada u dels quals està fix en el sentit de que els punts que coincidixen en cada pla permaneixen dins dels propis plans. Té dos ànguls de rotació, un per a cada pla de rotació, a través dels quals giren els punts en els plans. Si estos són ω₁ i ω₂, tots els punts que no estan en els plans giren en un àngul comprés entre ω₁ i ω₂. Les rotacions en quatre dimensions al voltant d'un punt fix tenen sis graus de llibertat. Un moviment directe en quatre dimensions en la posició general és una rotació sobre cert punt (com en totes les dimensions euclídeas parells), pero també existixen operacions de desplaçament helicoidal.

Formalisació en l'àlgebra llineal i multilineal

Artícul principal → Matriu de rotació.

Quan es consideren moviments de l'espai euclídeo que preserven l'orige de coordenades, la distinció entre punts i vectores (important en matemàtiques pures) es pot ignorar, perque existix una funció biyectiva canònica entre els punts i els vectores de posició. Lo mateixa ocorre en atres geometria distintes de l'euclídea, pero l'espai de la qual és un espai afí en una estructura suplementària (vore més avall l'eixemple sobre la relativitat).

Alternativament, la descripció vectorial de les rotacions pot entendre's com una parametrización de les rotacions geomètriques llevat la seua composició en les translacions. En atres paraules, un vector de rotació representa moltes rotacions equivalents sobre "tots" els punts de l'espai.

Un moviment que conserva l'orige és lo mateix que una aplicació llineal sobre un conjunt de vectores que conserva la mateixa estructura geomètrica, pero expressada vectorialment. Per als vectorés, esta expressió és la seua magnitut (norma vectorial, o lo que és lo mateix, el seu mòdul, la seua llongitut o senzillament, la distància entre els seus dos punts extrems). En un sistema de coordenades sobre el conjunt dels número real, dit operador s'expressa com una matriu ortogonal de dimensió n × n que multiplica vectores columna.

Com ya s'ha definit prèviament, una rotació (pròpiament dita) és diferent d'un moviment de punt fix arbitrari sobre la seua preservació de l'orientació de l'espai vectorial. Per lo tant, el determinant d'una matriu ortogonal de rotació deu ser 1. L'única una atra possibilitat per al determinant d'una matriu ortogonal és −1, i este resultat significa que la transformació és una reflexió respecte a un hiperplano, una simetria central (sobre un espai de dimensió n impar), o un atre tipo de rotació impròpia. Les matrius de totes les rotacions pròpies formen un grup ortogonal.

Dos dimensions

Archiu:Coordinate system rotation svg.svg

Deducció geomètrica del càlcul de les noves coordenades (x',i') d'un punt P(x,i) despuix de procedir a rotar els eixos de coordenades un àngul α (rotació equivalent a fer girar des de l'orige el punt (x, i) un àngul θ = −α). Es té que:  :$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \alpha +y\sin \alpha ,\\ y^{\prime }& =-x\sin \alpha +y\cos \alpha .\end{array}$

En dos dimensions, per a portar a terme una rotació usant una matriu, el punt (x, i) que es gira cap a l'esquerra, s'escriu com un vector columna i es multiplica per una matriu de rotació calculada a partir de l'àngul θ:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$.

Les coordenades del punt despuix de la rotació són x', i'}}, i les fòrmules per a x' i i' són

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\prime }& =x\sin \theta +y\cos \theta .\end{array}$

Els vectores $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ i $\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$ tenen la mateixa magnitut i estan separats per un àngul θ com s'esperava.

Els punts en el pla ℝ² també poden representar-se com número complejo: les coordenades (x, i) en el pla complex representen el número

$z=x+iy.$

D'acort en les propietats dels número complejo, es pot fer girar este vector un àngul θ multiplicant-ho pel número i^iθ. Expandint el producte de dos número complejo utilisant la fòrmula de Euler, es té:

$\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }z& =(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\ & =x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\ & =(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\ & =x^{\prime }+i{y}^{\prime },\end{array}$

i en equiparar parts reals i imaginàries, s'obté el mateix resultat que en una matriu bidimensional:

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\prime }& =x\sin \theta +y\cos \theta .\end{array}$

Com els número complejo formen un anell conmutativo, les rotacions de vectores en dos dimensions són conmutativas, a diferència de lo que succeïx en dimensions més altes. Solament tenen un grau de llibertat, ya que dites rotacions estan completament determinades per l'àngul de rotació.

Tres dimensions

Artícul principal → Formalisació de la rotació en tres dimensions.

De la mateixa manera que en dos dimensions, es pot usar una matriu per a aplicar una rotació d'un punt (x, i, z) i determinar les seues noves coordenades (x′, i′, z′). La matriu utilisada és una matriu de Plantilla:Gaps,

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$

Multiplicant la matriu per un vector que representa el punt, s'obté el resultat:

$𝐀\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)$

El conjunt de totes les matrius pròpies junt en l'operació de multiplicació de matrius forma el grup de rotació SO(3). La matriu A és un membre del grup ortogonal tridimensional SO(3), és dir, es tracta d'una matriu ortogonal en determinant 1. Açò significa que es tracta d'una matriu ortogonal, en la que les seues files (de la mateixa manera que les seues columnes) formen un conjunt de vectores unitaris ortogonals (per lo que constituïxen una base ortonormal), lo que fa que siga fàcil detectar i verificar la validea d'una matriu de rotació.

Els ànguls de Euler i els vectores axials-angulars es poden convertir fàcilment en una matriu de rotació.

Una atra possibilitat per a representar una rotació de vectores euclidianos tridimensionals són els cuaterniones, que es descriuen a continuació.

Cuaterniones

Artícul principal → Cuaterniones i rotació espacial.

Els cuaterniones unitat, també denominats versorés, són d'alguna manera la representació menys intuïtiva de les rotacions tridimensionals. Des del punt de vista teòric, no són un cas particular d'un enfocament més general. No obstant, són més compactes que les matrius i més fàcils de treballar que tots els atres métodos, per lo que a sovint s'utilisen en numeroses aplicacions pràctiques.^{cita requerida}

Un versor (també cridat "cuaternión de rotació") consta de quatre número real que complixen determinades condicions entre sí, de modo que el mòdul del cuaternión és 1. Esta restricció llimita els graus de llibertat del cuaternión a tres, segons es requerixca en cada cas. A diferència de les matrius i els número complejo, es necessiten dos multiplicacions:

${𝐱}^{\prime }={𝐪𝐱𝐪}^{-1},$

a on q és el versor, q⁻¹ és el seu invers i x és el vector tractat com un cuaternión en el seu partix escalar zero. El cuaternión pot relacionar-se en la forma del vector de rotació d'una rotació axial-angular per mig de l'aplicació exponencial sobre els cuaterniones,

$𝐪=e^{𝐯/2},$

a on v és el vector de rotació tractat com un cuaternión.

Una sola multiplicació per un versor, tant a esquerra com a dreta, és en sí mateixa una rotació, pero en quatre dimensions. Qualsevol rotació de quatre dimensions sobre l'orige es pot representar en dos multiplicacions de cuaterniones: una a esquerra i una atra a dreta, per mig de dos cuaterniones "diferents".

Notes adicionals

Més generalment, les rotacions de coordenades en qualsevol dimensió estan representades per matrius ortogonals. El conjunt de totes les matrius ortogonals en dimensions n que descriuen les rotacions pròpies (en determinant = +1), junt en l'operació de la multiplicació de matrius, forma el grup ortogonal SO(n).

Les matrius s'usen a sovint per a fer transformacions, especialment quan s'està transformant un gran número de punts, ya que són una representació directa del operador llineal. Les rotacions representades d'atres maneres a sovint es convertixen en matrius abans de ser utilisades. Es poden estendre per a representar rotacions i transformacions al mateix temps, utilisant coordenades homogénees. Les homografia estan representades per mig de matrius Plantilla:Gaps. No són matrius de rotació, pero una transformació que representa una rotació euclídea conté una matriu de rotació Plantilla:Gaps en el cantó superior esquerre.

La principal desventaja de les matrius és que són més costoses de calcular i per a realisar càlculs. També en els càlculs a on l'inestabilitat numèrica és un problema, les matrius poden ser més sensibles a esta complicació, per lo que els càlculs per a restaurar l'ortonormalidad, que són costosos per a les matrius, deuen realisar-se en més freqüència.

Més alternatives a la formalisació matricial

Com es va mostrar anteriorment, existixen tres formes d'expressar una rotació en àlgebra multilineal: una per mig d'número complejo per a dos dimensions, i atres dos utilisant versores o cuaterniones, per a tres i quatre dimensions.

En general (i no necessàriament per a vectores euclidianos), la rotació d'un espai vectorial associat en una forma quadràtica es pot expressar com un bivector. Esta formalisació s'usa en àlgebra geomètrica i, més generalment, en la representació per mig del àlgebra de Clifford dels grups de Lie.

El grup de doble recobriment de SO(n) es coneix com grup espinorial, Spin(n). Es pot descriure convenientment en térmens d'àlgebra de Clifford. Els cuaterniones unitaris coincidixen en el grup Spin(3).

En geometria no euclidianas

En geometria esfèrica, un moviment directe sobre una n-esfera (un eixemple de geometria elíptica) és lo mateix que una rotació de l'espai euclidiano (n + 1)-dimensional sobre l'orige (SO(n + 1)). Per a n impar, la majoria d'estos moviments no tenen punts fixos en l'esfera n i, estrictament parlant, no són rotacions "de l'esfera"; estos moviments a voltes es denominen "translacions de Clifford". Les rotacions sobre un punt fix en geometria elíptiques i hiperbòliques no són diferents de les euclídeas.

La geometria afí i la geometria proyectiva no tenen una noció distinta de rotació.

En la relativitat

Artícul principal → Transformació de Lorentz.

L'aplicació del concepte de rotació té un paper destacat en la teoria de la relativitat especial, ya que pot considerar-se que opera en un espai de quatre dimensions, espai-temps, comprés per tres dimensions espacials i una lligada al temps. En la relativitat especial, este espai és llineal i les rotacions de quatre dimensions, cridades transformacions de Lorentz, tenen interpretacions físiques pràctiques. l'espai-temps de Minkowski no és un espai mètric, i el terme "isometría" no és aplicable a la transformació de Lorentz.

Si una rotació es produïx solament en les tres dimensions de l'espai, és dir, en un pla immers en l'espai, llavors esta rotació és equivalent a una rotació espacial en tres dimensions. Pero una rotació en un pla comprés per una dimensió espacial i una dimensió temporal és una contracció, una transformació entre dos marcs de referència diferents, que a voltes es denomina "impuls de Lorentz". Estes transformacions demostren la naturalea pseudo-euclídea de l'espai de Minkowski. A voltes es descriuen com contracció i apareixen en freqüència en els diagrames de Minkowski que visualisen una geometria pseudo-euclidiana (1+1) en dibuixos plans. L'estudi de la relativitat s'ocupa del grup de Lorentz generat per les rotacions espacials i les rotacions hiperbòliques.

Mentres que les rotacions de SO(3), en física i astronomia, corresponen a rotacions de l'esfera celest com una 2-esfera en l'espai euclidiano tridimensional, les transformacions de Lorentz de SO(3;1)⁺ induïxen transformacions conformes de l'esfera celest. És una classe més àmplia de les transformacions d'una esfera, conegudes com transformació de Möbius.

Rotacions discretes

Artícul principal → Grup puntual.

Els grups puntuals definixen simetrias geomètriques que manté constant per lo manco un punt fix. Poden existir en un espai euclidiano de qualsevol dimensió, i cada grup puntual en la dimensió d és un subgrup del grup ortogonal O(d). Els grups puntuals poden ser considerats com un conjunt de matrius ortogonals M que transformen un punt x en un punt i, de manera que i = M.x, a on l'orige és el punt fix.

Els elements dels grups puntuals poden ser: rotacions (determinant de M = 1) rotacions impròpies, reflexions, rotacions-reflexiones, o rotoreflexiones (determinant de M = -1). Tots els grups puntuals de les rotacions de dimensió d són subgrups del grup ortogonal especial SO(d). Els grups puntuals estan lligats a la geometria i a la cristalografia.

Vore també

• Eixos d'una aeronau
• Cartes sobre SO(3)
• Rotacions i reflexions en dos dimensions
• CORDIC
• Matriu de rotació
• Rotació irracional
• Orientació (geometria)
• Fòrmula de rotació de Rodrigues
• Rotació d'eixos
• Vórtice