Grup de Lorentz

Retrat de Hendrik Antoon Lorenrz en trage i en anteojos, front a una pissarra en formules, assentat en els dits entrellaçats mirant en un lleu somriure a la cambra.

Hendrik Antoon Lorentz

En física, el grup de Lorentz $ℒ$ és el grup de totes les transformacions de Lorentz del espai de Minkowski, la composició clàssica de tots els fenomens físics no gravitacionals. És el grup d'isometría més gran possible que deixa invariante el producte minkowskiano de dos vectores. Matemàticament és un subgrup del grup llineal $GL({ℝ}^4)$ i també pot ser dotat de l'estructura de grup de Lie.

El grup de Lorentz pot ser vist com un subgrup d'un grup més general, el grup de Poincaré.

Definició

El grup de Lorentz és isomorfo al grup ortonormal generalisat $O(3,1)$, és dir, el grup de transformacions llineals que deixa invariante la mètrica de l'espai de Minkowski o grup d'isometría de l'espai de Minkowski. Matemàticament està format per qualsevol matriu que satisfaça la relació:

O en forma matricial més compacta:

El grup de Lorentz no és el conjunt més general de transformacions que deixen invariantes les equacions de la teoria general de la relativitat, ya que no inclou les translacions espai temporals. De fet, el grup de Lorentz és el subgrup maximal del grup de Poincaré tal que no inclou les translacions.

Subgrups

El grup de Lorentz està format per quatre components conexas, alguns dels subgrups més importants de dit grup són:

• El subgrup en transformacions de Lorentz que el seu determinant és igual a 1, es designa com $\text{SO}(3,1,ℝ)$.
• El subgrup de Lorentz de trasformaciones pròpies, que és un subgrup de l'anterior tal que totes les transformacions dins d'ell complixen que ${\Lambda }_{00}>0$, es designa com ${\text{SO}}^{+}(3,1,ℝ)$.
• El subgrup de rotacions en ${ℝ}^3$ isomorfo a $\text{SO}({ℝ}^3)$, que és un subgrup de l'anterior.
• El subgrup de transformacions ortocrono format per totes aquelles transformacions tals que ${\Lambda }_{00}>0$, es designa com ${\text{O}}^{+}(3,1,ℝ)$

Grup de Lorentz propi

El grup de Lorentz propi ${\text{SO}}^{+}(3,1,ℝ)$ consta de tots els elements de determinant unitat, que no incloguen cap inversió temporal o espacial. El grup de Lorentz propi és un subgrup conexo, de fet coincidix en la component conexa maximal que conté al element neutre o identitat. Dit grup és isomorfo al grup de Möbius $\text{PSL}(2,ℂ)$.

Inversió espacial

Artícul principal → Paritat (física).

L'inversió espacial és una transformació abstracta relacionada en la paritat física. Matemàticament una operació d'inversió espacial pura té la forma:

Sent algun dels números $\alpha ,\beta ,\gamma$ un número impar. Si els tres números són impars llavors es té una operació d'inversió espacial segons les tres direccions espacials denominada simetria P, important des del punt de vista de la teoria quàntica de camps.

Inversió temporal

L'inversió temporal és una transformació abstracta relacionada en una de les operacions de la simetria CPT. Matemàticament una operació d'inversió temporal pura té la forma: