Isomorfisme

Isomorfisme

En matemàtiques, un isomorfisme (del grec iso-morfo: Igual forma) és un homomorfisme (o més generalment un morfismo) que admet un invers. El concepte matemàtic de isomorfisme pretén captar l'idea de tindre la mateixa estructura. Dos estructures matemàtiques entre les que existix una relació d'isomorfisme es diuen isomorfas.

L'interés dels isomorfismes residix en el fet de que dos objectes isomorfos tenen les mateixes propietats (excloent informació adicional com l'estructura o els noms dels objectes). Aixina, les estructures isomorfas no poden distinguir-se des del punt de vista de l'estructura únicament, i poden identificar-se. En la gerga matemàtica, es diu que dos objectes són iguals llevat isomorfisme.

Un automorfisme és un isomorfisme d'una estructura a sí mateixa. Un isomorfisme entre dos estructures és un isomorfisme canònic (un mapa canònic que és un isomorfisme) si només hi ha un isomorfisme entre les dos estructures (com és el cas de les solucions d'una propietat universal), o si l'isomorfisme és molt més natural (en algun sentit) que atres isomorfismes. Per eixemple, per a tot número primo p, tots els camps en p elements són canónicamente isomorfos, en un isomorfisme únic. Els teoremes d'isomorfisme proporcionen isomorfismes canònics que no són únics.

El terme isomorfisme s'utilisa principalment para estructura algebraica. En este cas, els mapages es diuen homomorfismes, i un homomorfisme és un isomorfisme si i només si és biyectivo.

En vàries àrees de les matemàtiques, els isomorfismes han rebut noms especialisats, depenent del tipo d'estructura considerada. Per eixemple:

• Una isometría és un isomorfisme d'espais mètrics.
• Un homeomorfisme és un isomorfisme d'espai topològic.
• Un difeomorfismo és un isomorfisme d'espais equipats en una estructura diferencial, típicament una varietat diferenciable.
• Un Simplectomorfismo és un isomorfisme de varietat simpléctica.
• Una permutació és un automorfisme d'un conjunt.
• En geometria, els isomorfismes i els automorfismes es diuen a sovint transformacions, per eixemple transformació rígida, transformació afí, transformació proyectiva.

La Teoria de categories, que pot vore's com una formalisació del concepte de mapage entre estructures, proporciona un llenguage que pot utilisar-se per a unificar l'enfocament d'estos diferents aspectes de l'idea bàsica.

Definició formal

Es pot definir concisamente com un homomorfisme biyectivo tal que la seua inversa és també homomorfisme. Açò és:

Un isomorfisme entre dos conjunts ordenats $(P,\le )$ i $(Q,{\le }^{\prime })$ és una funció biyectiva $\begin{array}{c}h:P\to Q\end{array}$ tal que: Per a tot $p_1,p_2\in P$ es té que $p_1\le p_2$ si i solament si $h(p_1){\le }^{\prime }h(p_2)$.

Si existix un isomorfisme entre $(P,\le )$ i $(Q,{\le }^{\prime })$, llavors $(P,\le )$ i $(Q,{\le }^{\prime })$ es diuen isomorfos i la biyección $h$ es coneix com a isomorfisme entre $(P,\le )$ i $(Q,{\le }^{\prime })$. Ademés, $P$ i $Q$ es diuen similars entre sí.

Si $P=Q$ es diu que l'isomorfisme és un automorfisme. Es pot demostrar que donat un conjunt ben ordenat l'únic automorfisme possible és la funció identitat.

Propietats en els órdens totals

Els isomorfismes en conjunts linealment ordenats tenen una Relació d'equivalència, és dir, complixen la reflexividad, la simetria i la transitividad, açò és:

Història i concepte

En el XX s'ha precisat en matemàtiques la noció intuïtiva d'estructura, seguint la concepció d'Aristóteles de la matèria i la forma, segons la qual cada estructura és un conjunt X dotat de certes operacions (com la suma o el producte) o de certes relacions (com una ordenació) o certs subconjunts (com en el cas de la topología), etc. En este cas, el conjunt X és la matèria i les operacions, relacions, etc., en ell definides, són la forma.

El descobriment de Platón de que la forma és lo que importa s'arreplega en matemàtiques en el concepte d'isomorfisme. Una aplicació f:X→I entre dos conjunts dotats del mateix tipo d'estructura és un isomorfisme quan cada element d'I prové d'un únic element de X i f transforma les operacions, relacions, etc., que hi ha en X en les que hi ha en Y. Quan entre dos estructures hi ha un isomorfisme, abdós són indistinguibles, tenen les mateixes propietats, i qualsevol enunciat és simultàneament cert o fals. Per això en matemàtiques les estructures deuen classificar-se llevat isomorfismes.

En el XX el biòlec i filòsof de la ciència austríac, Ludwig von Bertalanffy, va recuperar este concepte com a element en la formulació de la seua Teoria general de sistemes. Per a este autor existien una série de coincidències en l'evolució dels processos que es porten a terme en diferents camps del coneiximent (la biologia, la demografia, la física, la societat, etc.) a les que va denominar isomorfisme. Resultava important per al plantejament de la nova teoria, degut a que «l'isomorfisme trobat entre diferents terrenys es funda en l'existència de principis generals de sistemes, d'una teoria general dels sistemes més o menys ben desenrollada».

Isomorfisme parcial

Està definit per:

Un isomorfisme parcial entre dos conjunts ordenats $(P,\le )$ i $(Q,{\le }^{\prime })$ és una funció biyectiva $\begin{array}{c}h:X\to Q\end{array}$ en $X\subseteq P$ tal que para tot $p_1,p_2\in X$ es té que: $p_1\le p_2$ si i solament si $h(p_1){\le }^{\prime }h(p_2)$.

Eixemples d'isomorfismes

Per eixemple, si X és el conjunt dels número real positius en el producte i I és el conjunt dels número real en la suma, la funció logarítmica ln:X→I és un isomorfisme, perque $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$ i cada número real és el logaritmo d'un únic número real positiu. Açò significa que cada enunciat sobre el producte de número real positius té (sense més que substituir cada número pel seu logaritmo) un enunciat equivalent en térmens de la suma d'número real, que sol ser més simple.

Un atre eixemple: si en l'espai I elegim una unitat de llongitut i tres eixos mútuament perpendiculars que concorren en un punt, llavors a cada punt de l'espai podem associar-los les seues tres coordenades cartesianas, obtenint aixina una aplicació f:I→R³ en el conjunt de les successions de tres número real. Quan en I considerem la distància que definix l'unitat de llongitut fixada i en R³ considerem la distància que definix la raïl quadrada de la suma dels quadrats de les diferències, f és un isomorfisme. Este descobriment fonamental de Descartes permet enunciar qualsevol problema de la geometria de l'espai en térmens de successions de tres número real, i este método d'abordar els problemes geomètrics és el núcleu de la cridada geometria analítica.^{cita requerida}

Característiques de l'isomorfisme

El descobriment d'un isomorfisme entre dos estructures significa essencialment que l'estudi de cada una pot reduir-se al de l'atra, lo que nos dona dos punts de vista diferents sobre cada qüestió i sol ser essencial en la seua adequada comprensió. També significa una analogia com una forma d'inferència llògica basada en l'assunció de que dos coses són la mateixa en alguns aspectes, aquells sobre els que està feta la comparació. En ciències socials, un isomorfisme consistix en l'aplicació d'una llei anàloga per no existir una específica o també la comparació d'un sistema biològic en un sistema social, quan es tracta de definir la paraula "sistema". Ho és igualment l'imitació o còpia d'una estructura tribal en un hàbitat en estructura urbana.

Definició en teoria de categories

En teoria de categories, donada una categoria C, un isomorfisme és un morfismo $f:a\to b$ que té un morfismo invers $g:b\to a,$ és dir, $f\circ g=1_b\wedge g\circ f=1_a.$ Per eixemple, una aplicació llineal biyectiva és un isomorfisme entre espais vectorials, i una funció contínua biyectiva que la seua inversa també és contínua és un isomorfisme entre espais topològics, comunament cridat homeomorfisme.

Dos categories C i D són isomorfas si existixen funtorés $F:C\to D\wedge G:D\to C$ que són mútuament inversos, és dir, $F\circ G=1_D$ (el funtor identitat en D) i $G\circ F=1_C$ (el funtor identitat en C).

Isomorfisme vs. morfismo biyectivo

En una «categoria concreta» (grosso modo, una categoria els objectes de la qual són conjunts (potser en estructura extra) i que els seus morfismos són funcions preservadoras d'estructura), com la categoria d'espais topològics o categories d'objectes algebraics (com la categoria de grups, la categoria d'anells i la categoria de mòduls), un isomorfisme deu ser biyectivo sobre els conjunts subjacents. En les categories algebraiques (en concret, les categories de varietats en el sentit de l'àlgebra universal), un isomorfisme és lo mateix que un homomorfisme que és biyectivo en els conjunts subjacents. No obstant, hi ha categories concretes en les que els morfismos biyectivos no són necessàriament isomorfismes (com la categoria d'espais topològics).

Els morfismos

Els isomorfismes d'una estructura en si mateixa de manera biyectiva es denominen automorfismes.

En general, en una categoria arbitrària, els isomorfismes es definixen per ser els morfismos f:X→I que admeten un morfismo invers h:I→X, invers tant per la dreta com per l'esquerra. Poden no ser els morfismos biyectivos, com ya ocorre en el cas dels espais topològics.

Eixemples

Logaritmo i exponencial

Siga $R^{+}$ el grup multiplicativo dels número real positius, i siga $ℝ$ el grup aditiu dels número real.

La funció logaritmo $\log :{ℝ}^{+}\to ℝ$ satisfà $\log (xy)=\log x+\log y$ para tot $x,y\in {ℝ}^{+},$ per lo que és un homomorfisme de grups. La funció exponencial $\exp :ℝ\to {ℝ}^{+}$ satisfà $\exp (x+y)=(\exp x)(\exp y)$ para tot $x,y\in ℝ,$ per lo que també és un homomorfisme.

Les identitats $\log \exp x=x$ i $\exp \log y=y$ mostren que $\log$ i $\exp$ són inversa l'una de l'atra. Com $\log$ és un homomorfisme que té una inversa que també és un homomorfisme, $\log$ és un isomorfisme de grups.

La funció $\log$ és un isomorfisme que traduïx la multiplicació d'número real positius en suma d'número real. Esta facilitat permet multiplicar número real utilisant una regla graduada i una taula de logaritmos, o utilisant una regla de càlcul en escala logarítmica.

Sancers del mòdul 6

Considerem el grup $({\mathbb{Z}}_6,+),$ els sancers de 0 a 5 en suma mòdul 6. Considerem també el grup $({\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3,+),$ els parells ordenats a on les coordenades x poden ser 0 o 1, i les coordenades i poden ser 0, 1 o 2, a on la suma en la coordenada x és mòdul 2 i la suma en la coordenada i és mòdul 3.

Estes estructures són isomorfas baix adició, baixe el següent esquema: $$\begin{array}{cc}(0,0)& \mapsto 0\\ (1,1)& \mapsto 1\\ (0,2)& \mapsto 2\\ (1,0)& \mapsto 3\\ (0,1)& \mapsto 4\\ (1,2)& \mapsto 5\\ \end{array}$$ o en general $(a,b)\mapsto (3a+4b)mod6.$

Per eixemple, $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ que es traduïx en l'atre sistema com $1+3=4.$.

Encara que estos dos grups "semblen" diferents en el sentit de que els conjunts contenen elements diferents, són de fet isomorfos: les seues estructures són exactament les mateixes. Més en general, el producte directe de dos grup cíclicos ${\mathbb{Z}}_m$ i ${\mathbb{Z}}_n$ és isomorfo a $({\mathbb{Z}}_{mn},+)$ si i només si m i n són coprimos, segons el teorema chinenca del restant.

Aplicacions

En àlgebra, els isomorfismes es definixen per a totes les estructures algebraiques. Algunes s'estudien més específicament; per eixemple:

• Isomorfisme llineal entre espais vectorials; s'especifiquen per mig de matrius invertibles.
• Isomorfisme de grups entre grups; la classificació de classe d'isomorfismes de grup finitos és un problema obert.
• Homomorfisme d'anells entre anells.
• Els isomorfismes de camp són lo mateix que els isomorfismes d'anell entre camps; el seu estudi, i més específicament l'estudi dels automorfismes de camp és una part important de la teoria de Galois.

Aixina com els automorfismes d'una estructura algebraica formen un grup, els isomorfismes entre dos àlgebra que compartixen una estructura comuna formen un cúmul. Deixar que un isomorfisme particular identifique les dos estructures convertix este montó en un grup.

En anàlisis matemàtic, la transformada de Laplace és un isomorfisme que transforma equacions diferencials difícils en equacions algebraiques més senzilles.

En teoria de grafos, un isomorfisme entre dos grafos G i H és un biyectivo mapa f dels vèrtiços de G als vèrtiços de H que preserva la "estructura d'aresta" en el sentit de que hi ha una aresta de vèrtiç o a vèrtiç v en G si i només si hi ha una aresta de $f(u)$ a $f(v)$ en H. Vore isomorfisme de grafos.

En anàlisis matemàtic, un isomorfisme entre dos espais de Hilbert és una biyección que preserva la suma, la multiplicació escalar i el producte interior.

En les primeres teories del atomisme llògic, Bertrand Russell i Ludwig Wittgenstein teorizaron que la relació formal entre fets i proposicions verdaderes era isomòrfica. Un eixemple d'esta llínea de pensament pot trobar-se en la Introducció a la Filosofia Matemàtica de Russell.

En cibernètica, el bon regulador o teorema de Conant-Ashby s'afirma "Tot bon regulador d'un sistema deu ser un model d'eixe sistema". Ya siga regulat o autorregulado, es requerix un isomorfisme entre el regulador i les parts procesadoras del sistema.

Bibliografia

• «When is one thing equal to some other thing?».Consultat el 16 de febrer de 2023.

Enllaços externs

Isomorfisme en el Viccionari.

• Plantilla:Springer
• Isomorphism en MathWorld.