Llevat (matemàtiques)

Dalt: Dels sis vèrtiços d'un hexàgon podem considerar 20 particions que els dividixen en un subconjunt de tres elements i tres d'un element. Avall: No obstant, només hi ha 4 particions llevat rotació, i només 3 llevat rotació i reflexió.

En matemàtiques, el terme llevat o a menys de (o mòdul en contexts informals) indica que l'objecte al que es referix deu ser considerat com una classe d'equivalència. Per eixemple, direm que a i b són iguals llevat una relació d'equivalència R si a i b, encara podent no ser iguals, estan relacionats per R (pertanyen a la mateixa classe d'equivalència). Note's que en este context, la expresón «llevat» no té un sentit de excepció o de exclusió, sino pel contrari, de inclusió o equivalència.

La relació d'equivalència R normalment no es menciona explícitament, sino que s'usa una "condició o transformació que la genera": si X és un procés o propietat, el terme "llevat X" deu entendre's com "descartant una possible diferència en X".

Per eixemple, l'expressió "la factorización en factors primers d'un sancer és única llevat reordenació" vol dir que la factorización és única si no tenim en conte l'orde dels factors o, més explícitament, que qualssevol dos llistes de factors primers d'un sancer deuen estar relacionades per la relació d'equivalència R que relaciona dos llistes si són reordenació (permutació) l'una de l'atra.

Com un atre eixemple, l'expressió "la solució d'una integral indefinida és $\sin (x)$ llevat sumar una constant" significa que la solució és $\sin (x)$ pero també qualsevol atra funció que s'obtinga sumant-li a $\sin (x)$ una constant, o lo que és lo mateix, qualsevol funció f(x) relacionada en $\sin (x)$ per la relació d'equivalència $fRg$ si $g(x)=f(x)+c$, en $c$ una constant.

En contexts informals, els matemàtics solen utilisar la paraula mòdul per a propòsits similars: "la factorización en número primo d'un sancer és única mòdul permutació dels factors", "l'integral indefinida és única mòdul suma de constant", "hi ha dos grups d'orde 4 mòdul isomorfisme", etc.

Eixemples

Tetris

Archiu:Tetrominoes IJLOSTZWorlds.svg

Les peces del Tetris: I, J, L, O, S, T, Z

Considerem les huit peces del Tetris (I, J, L, O, S, T, Z), que es coneixen en matemàtiques com tetrominós. Si considerem totes les possibles rotacions d'estes (per eixemple, si considerem la I en vertical distinta de la I en horisontal) voríem que hi ha fins a 19 opcions. És dir, podríem dir que hi ha 19 tetrominós. Pero no considerem distints dos tetrominós que siguen rotació l'u de l'atre, llavors hi ha només 7. Direm que "hi ha 7 tetrominós llevat/mòdul rotació". Esta és l'informació rellevant per al Tetris, puix el joc nos permet rotar les peces. No obstant, també podríem considerar iguals dos tetrominós que diferiren per una simetria: "els tetrominós J i el L són iguals llevat/mòdul simetria", "els tetrominós S i Z són iguals llevat/mòdul simetria", "hi ha 5 tetrominós mòdul rotació i simetria".

Les huit reines

Erro al crear miniatura:

Una solució del problema de les huit reines.

En el problema de les huit reines se nos demana colocar huit reines en un tauler d'escacs sense que s'amenacen les unes a les atres. Si les reines es consideraren totes distintes (per eixemple, si estigueren pintades de distints colors), llavors tindríem 3709440 solucions distintes. No obstant, normalment considerem que les reines són intercanviables, i normalment diem que hi ha "$3709440/8!=92$ solucions llevat permutació de les reines", en lo que volem dir que dos colocació de les reines les considerem iguals encara que hajam intercanviat la posició de dos reines, sempre i quan ocupen les mateixes caselles del tauler.

Si ademés de tractar totes les reines com a iguals, també permetem rotacions i simetria del tauler, només tindrem 12 solucions "llevat permutació de les reines i rotacions i simetria del tauler".

Per a més informació sobre el problema, lligga's Problema de les huit reines.

Teorema fonamental de l'aritmètica

El teorema fonamental de l'aritmètica enuncia que ‘‘tot número natural es pot descompondre en producte de factors primers de forma única llevat reordenació/permutació dels factors’’, és dir, que dos factorización només poden diferir per l'orde en que posen els factors.

Teoria de grups

En teoria de grups podem considerar un grup G actuant sobre un conjunt X (transformant uns elements de X en uns atres, en unes certes propietats). En eixe cas, es pot dir que dos elements de X són "iguals llevat acció de G" si pertanyen a la mateixa òrbita (si podem transformar un en l'atre pel grup G).

Un atre eixemple típic és l'afirmació " hi ha dos grups d'orde 4 llevat isomorfisme". Açò significa que si considerem com a iguals dos grups que siguen isomorfos, només hi ha dos grups en quatre elements.

Topología

Un dels resultats més importants de la topología és el de classificar les superfícies compactes (intuitivamente, que no s'estenen infinitament i "no tenen vora") i conexas llevat homeomorfisme (intuitivamente, un homeomorfisme és una "deformació d'un espai en un atre sense trencar-ho ni pegar trossos que no estigueren pegats"), és dir, donar una llista de superfícies de manera que qualsevol atra siga igual llevat homeomorfisme a alguna de la llista, que es puga deformar en alguna de la llista.

El resultat és que tota superfície compacta i conexa és homeomorfa a una esfera, a la suma conexa de n bous per a algun n (una superfície en n forats, n bous "engachados") o a la suma conexa de n plans proyectivos per a algun n (n plans proyectivos "enganchats"). Si descartem les superfícies no orientables, podem descartar els plans proyectivos. Podem dir puix que, mòdul homeomorfisme, les úniques superfícies compactes, conexas i orientables són l'esfera i la suma conexa de n bous; tota superfície compacta conexa orientable es pot deformar en una esfera o en una superfície en n forats.

• 
  Esfera
• Bou
  Bou
• Suma conexa de dos bous
  Suma conexa de dos bous
• Suma conexa de tres bous
  Suma conexa de tres bous

Llista de equivalència (no exhaustiva)

• Llevat orde dels factors (vore propietat conmutativa)
• Llevat isomorfisme
• Llevat simetria
• Llevat permutació
• Llevat translació
• Llevat orientació
• Llevat afinitat
• Llevat semblança

Vore també

• Aritmètica modular
• Teoria de grups

Referències

• Nachbin, Leopoldo (1980). Introducció a l'àlgebra, Reverté SA, pp. 76. ISBN 84-291--5099-4.
• Castelet, Manuel (1996). Àlgebra llineal i geometria, Reverté. ISBN 84-291-5009-9.