Grup (matemàtica)

Grup (matemàtica)

Les possibles manipulacions del Gaveta de Rubik formen un grup.

En àlgebra abstracta, un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt no buit dotat d'una operació interna que combina qualsevol parell d'elements per a compondre un tercer dins del mateix conjunt, i que satisfà les propietats associativa, d'existència de l'element neutre (també cridat identitat), i d'existència d'elements inversos (en ocasions cridats simètrics).

L'aparició dels grups en diverses àrees del coneiximent (tant dins com fòra de les matemàtiques) els convertix en un principi central entorn al com es perfilen i s'establixen les matemàtiques contemporànees, en aplicació immediata en atres àrees científiques.

Definició i motivació del concepte

Primer eixemple: el grup aditiu dels sancers

Un dels grups millor coneguts és el de la suma dels número entero, denotats per $\mathbb{Z}$. El conjunt dels sancers està format pels número natural, els seus negatius i el zero. Conté per tant a tots els número real que no tenen partix decimal. Comunament es descriu com

$\mathbb{Z}=\{\mathrm{...},-3,-2,-1,0,1,2,3,\mathrm{...}\}.$

Les propietats d'esta operació aritmètica ajudaran a ilustrar el concepte de grup:

• La suma de dos número entero és a la seua volta un número entero: si cap dels números té part decimal, la seua suma tampoc la té. A esta propietat li la denomina clausura algebraica, i es diu que el conjunt dels sancers és tancat baix la suma.
• Es pot prescindir dels paréntesis per a indicar la precedència de les operacions: encara que la suma es definix per a cada dos números, no hi ha ambigüitat en l'expressió $a+b+c$, perque el resultat de les operacions $(a+b)+c$ és el mateix que el de $a+(b+c)$. Per tant, la suma d'número entero verifica la propietat associativa.
• Existix un número especial i únic, el zero, que sumat a qualsevol un atre no altera el seu valor: $a+0=a$, siga com siga $a$. Est és l'element neutre.
• Per a cada sancer $a$, el seu opost $-a$ és a la seua volta sancer i tal que $a+(-a)=0.$

Estes quatre propietats també es verifiquen per a una gran varietat d'operacions, no necessàriament numèriques, la qual cosa dona peu a definir un concepte abstracte —el de grup— en el que s'engloben totes elles. Eixa definició, basada en axiomas, permet desenrollar una teoria abstracta —la teoria de grups—, els resultats dels quals són aplicables a tots els grups independentment de la seua formalisació concreta, puix els resultats es deriven únicament de l'estructura algebraica comuna a tots ells.

En el cas de la suma de sancers, l'orde dels sumants no és important, ya que per a qualssevol $a$ i $b$, es complix que $a+b=b+a.$ Esta és la propietat conmutativa, que no obstant no s'assumix com certa en general per a tots els grups, per lo que en teoria de grups es presta especial atenció a l'orde dels operants.

Definició axiomàtica

Sean $G$ un conjunt no buit, i $⊛$ una operació binaria definida en $G$. Es diu que el parell $(G,⊛)$ és un grup si es complixen les següents condicions (cridades axioma de grup):

1. L'operació binaria $⊛$ és una operació interna, és dir, pren dos elements del conjunt $G$ per a obtindre un tercer també en $G$. En conseqüència, és una funció
   $⊛:G\times G\to G$.
2. L'operació $⊛$ verifica la propietat associativa: daus tres elements qualssevol de $g,h,k\in G$, es complix que
   $(g⊛h)⊛k=g⊛(h⊛k)$
3. $G$ conté un element distinguit cridat element neutre o identitat, denotat usualment com $e$, en la següent propietat: per a qualsevol $g\in G$
   $e⊛g=g⊛e=g.$
4. Tot element $g\in G$ té un element simètric o invers en el mateix $G$, que es denota per $g^{-1}$, en la propietat de que
   $g⊛g^{-1}=g^{-1}⊛g=e.$

A voltes, per a simplificar el discurs es diu $G$ és un grup quan desigem indicar que $(G,⊛)$ és un grup.

Un grup $G$ es denomina abeliano (o conmutativo) si ademés se satisfà la propietat conmutativa

$\mathrm{\forall }g,h\in G:g⊛h=h⊛g,$

la qual, no obstant, no és un requisit imprescindible: existixen grups no abelianos.

Estructures algebraiques associades

Plantilla:De magma a grup 4 En àlgebra abstracta s'estudien estructures algebraiques alternatives del tipo $(E,⊛)$, sent $E$ un conjunt no nul i $⊛$ una operació binaria interna, que pot ser total (definida per a tot parell d'elements) o no. La majoria d'elles es definixen pels axioma de grup que verifiquen.

La més bàsica de totes és el magma: un parell $(E,⊛)$ és un magma si l'operació binaria $⊛$ és total, i per tant satisfà el primer axioma de grup. Un magma l'operació del qual $⊛$ siga associativa es denomina semigrupo. En conseqüència, un semigrupo satisfà els dos primers axioma de grup. Si verifica també el tercer (existència del neutre) llavors és un monoide. Les definicions anteriors no són excloents: un grup satisfà tots els axioma, i per tant, tot grup és un magma, un semigrupo i un monoide.

Note's que per a poder parlar d'elements inversos cal que existixca l'element identitat. No obstant, en absència d'un element neutre es pot definir el concepte de divisió: daus a i b es diu que b és divisible per a si existixen elements x i i, únics tals que

$a⊛x=b,y⊛a=b$.

En tal cas es definix la divisió per l'esquerra com $x=a\setminus b$ i la divisió per la dreta com $y=b/a$. Un magma en divisió (entre qualsevol parella d'elements) es denomina cuasigrupo. Si ademés té un element identitat, es convertix en un bucle. Un bucle associatiu és, per tant, un grup.

En el cas de que l'operació $⊛$ no siga total, l'estructura més senzilla és el semigrupoide, que solament complix la asociatividad. Si ademés té identitat, es convertix en una categoria menuda. Finalment, una categoria chicoteta en divisibilidad es denomina grupoide. Este tipo d'estructures s'estudien en l'àmbit de la teoria de categories.

Resenya històrica i situació actual de l'investigació sobre teoria de grups

El concepte d'un grup va sorgir de l'estudi d'equacions algebraiques en una incògnita, començant en Évariste Galois durant els anys 1830. Despuix de contribucions des d'atres camps com la teoria de números i la geometria, la noció de grup es va generalisar i es va establir fermament al voltant de 1870.

La definició de grup $(G,*)$ usant: la asociatividad, l'existència d'element neutre, d'element invers i la noció d'operació binaria, va ser formulada per F. G. Frobenius, per primera volta en 1887, advertint que les teoremes que els demostrava depenien únicament dels axioma proposts i sense tindre que acodir a l'aparat dels grups de permutació, que ampraven els seus antecessors Cauchy, Jordan i Sylow.

Els grups conmutativos són els que, ademés verifiquen la propietat conmutativa, són habitualment denominats com a grups abelianos en honor al matemàtic danés Niels Henrik Abel que en la seua importantíssima aportació, va demostrar la irresolución de la quíntica per mig de radicals en 1846 a partir de Ruffini en lo que es denomina teorema d'Abel-Ruffini i per l'us reiterat de grups conmutativos en les seues investigacions. Posteriorment Évariste Galois va provar en les seues noves teories que la irresolución del grup $S_5$ implicaria la demostració fefaent de lo que Abel va descobrir sobre la irresolubilidad de l'equació de quint grau per mig de l'us de radicals.

Degut a que els primers grups estudiats en l'història varen ser els multiplicativos, la seua nomenclatura i notació es va aplegar a utilisar de forma estesa en la generalisació de les definicions axiomàtiques i abstractes en teoria de grups; encara que és necessàriament recomanable, utilisar la notació i nomenclatura pròpies de l'àlgebra abstracta.

La moderna teoria de grups (una disciplina matemàtica molt activa) estudia els grups en sí. En la finalitat d'explorar els grups, els matemàtics han ideat diverses nocions en tal de dividir grups en subsistema més menuts, més comprensibles, com subgrups, grups cocient i grups simples. Ademés de les seues propietats abstractes, els teòrics dels grups també estudien les maneres en que un grup es pot expressar en forma concreta (les seues representacions de grup), tant des d'un punt de vista teòric com d'un punt de vista computacional. Una teoria especialment rica va ser desenrollada per a grups finitos i va culminar en la classificació dels grups simples finitos completada en 1983. Aixina mateix, des de mediats de 1980, la teoria de grups geomètrics, que estudia els grups de generació finita com objectes geomètrics, s'ha convertit en un àrea particularment activa en l'àmplia teoria de grups.

L'importància crucial de la teoria de grups tant en física com en matemàtica radica que els isomorfismes de qualsevol estructura, de qualsevol teoria, formen sempre un grup i que, en els casos més importants, els grups estan classificats: es coneixen llistes que agoten tots els que hi ha. La classificació dels grups de Lie, portada a terme essencialment per Élie Cartan, és un punt culminant de la matemàtica europea, solament comparable a la construcció dels 5 poliedres regulars realisada per la matemàtica grega. De la mateixa manera que esta última és la determinació de totes les figures geomètriques simètriques possibles, la classificació de grups és la determinació de totes les possibles simetria de qualsevol estructura. Aixina, podem conéixer a priori els grups d'automorfismes de qualsevol teoria geomètrica. Ademés, d'acort en el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grup d'automorfismes reconstruïx la corresponent teoria geomètrica.

Alguna cosa semblança succeïx en física, a on s'ha descobert que el grup de simetria del lagrangiano d'un sistema determina propietats fonamentals associades a les partícules elementals de dit sistema. La classificació de grups de Lie proporciona la llista dels possibles grups existents de simetria infinitesimals, vàlits per a eventuals i futurs models científics.

Vore també

• grup cíclico.
• grup llineal.
• grup de Lie, grup uniparamétrico.

Grup Monoide Semigrupo Magma Conjunt Llei de composició Interna Asociatividad Element neutre Element simètric

Notes

Referències