Subgrup

Archiu:3rd roots of unity correction.svg

Les raïls de l'unitat en el pla complex formen un subgrup del grup circular O(1).

En àlgebra, donat un grup G en una operació binaria *, es diu que un subconjunt no buide H de G és un subgrup de G si H també forma un grup baix l'operació *. O d'un atre modo, H és un subgrup de G si la restricció de * a H satisfà els axioma de grup.

Un subgrup propi d'un grup G és un subgrup H que és un subconjunt propi de G (és dir H ≠ G). El subgrup trivial de qualsevol grup és el subgrup {i} que consistix solament en l'element identitat.

El grup G a voltes es denota pel parell ordenat (G, *), generalment per a accentuar l'operació * quan G du vàries estructures algebraiques o d'un atre tipo. En lo següent, se seguix la convenció usual i s'escriu el producte a*b com simplement ab.

Definició d'un subgrup

Diem que un subconjunt $F$ d'un grup $G$ és un subgrup de $G$ quan $F$ és un grup en l'operació ( d'adició o multiplicació) de $G$ restringida als elements de $F$.

Proposició

Sean $(G,\circ )$ un grup i $H\subset G:H\ne \mathrm{\varnothing }$. El grup $(H,\circ )$ es diu Subgrup de $(G,\circ )$ si i solament si:

• l'operació binaria és tancada en H: $\mathrm{\forall }a,b\in H\Rightarrow a\circ b\in H$.
• H conté els elements inversos: $\mathrm{\forall }a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H$.

Les dos últimes condicions poden expressar-se de forma equivalent en una sola:

• $\mathrm{\forall }a,b\in H\Rightarrow a\circ b^{-1}\in H$.

En el cas de que H siga finito, és suficient que H siga tancat baix producte, ya que l'existència dels inversos se seguix automàticament en eixe cas.

L'operació binaria és sempre associativa en H posat que és associativa per a totes les ternes d'elements de G, i tots els elements de H pertanyen a G.

Propietats dels subgrups

• Tot grup G en més d'un element té a lo manco dos subgrups:
  • el subgrup trivial {i}, que conté solament a l'element identitat.
  • el mateix G, que és el subgrup màxim de G.

• Daus dos subgrups H i K d'un grup G, l'intersecció $H\cap K$ és un subgrup. En general, l'unió de subgrups no forma un subgrup, llevat que un d'ells estiga contingut en l'atre.

• Donat un subgrup H d'un grup G, es pot definir un homomorfisme natural $\phi :H\hookrightarrow G$ definit per $\phi (x)=x$. Dita funció és l'injecció canònica de H en G.

• Tot element a d'un grup G genera un subgrup cíclico <a>. Si <a> és isomorfo a Z/n Z per a algun número entero positiu n, llavors n és l'número entero positiu més chicotet per al qual aⁿ = i, i n es diu el orde de a. Si <a> és isomorfo a Z, llavors a es diu que té orde infinit.

• Si S és un subconjunt de G, llavors existix un subgrup mínim de G que conté S: és el subgrup generat per S i es denota per <S>. Un element de G està en <S> si i solament si és un producte finito d'elements de S i dels seus inversos.

• El centre d'un grup G, denotat per $Z(G)$, és el subgrup que conté a tots els elements que commuten en qualsevol element g de G. El centre és sempre un subgrup normal i abeliano. El centre d'un grup abeliano G és el propi G.

• Els subgrups de qualsevol grup donat formen un reticulado complet baixe inclusió. l'ínfim del retícul, donat per l'intersecció de conjunts, és el subgrup trivial {i}. En canvi el suprem no és l'unió de conjunts, sino el subgrup generat per l'unió, i és el mateix G.

Vore també

• Subgrup commutador.
• Teoremes de Sylow.
• p-grup.

Referències

Bibliografia

• Murphy-Hernández, Frank i García, Jaime. Notes d'Àlgebra Moderna 1.