Grup abeliano

Archiu:AbelianGroup(2,2) - a Sqaure.png

Grup abeliano (2,2)

En matemàtiques, un grup abeliano o grup conmutativo és un grup en el qual l'operació interna satisfà la propietat conmutativa, açò és, que el resultat de l'operació és independent de l'orde dels arguments. De manera més formal, un grup $(G,\circ )$ és abeliano quan, ademés dels axioma de grup, se satisfà la següent condició

$g\circ h=h\circ g$, per a qualsevol parell d'elements $g,h\in G$.

Els grups abelianos són aixina cridats en honor al matemàtic noruec Niels Henrik Abel, qui va utilisar estos grups en l'estudi de les equacions algebraiques que poden resoldre's per radicals. Els grups que no són conmutativos es denominen no abelianos o no conmutativos.

Els grups abelianos són la base sobre la que es construïxen estructures algebraiques més complexes com els anells i cossos, els espais vectorials o els mòduls. En teoria de categories, els grups abelianos són l'objecte d'estudi de la categoria Ab.

Definició

Un grup abeliano és un conjunt $A$, junt en una operació $\cdot$ que combina dos elements qualssevol $a$ i $b$ de $A$ per a formar un atre element de $A,$ denotat $a\cdot b$. El símbol $\cdot$ és un marcador de posició general per a una operació concreta. Per a calificar com a grup abeliano, el conjunt i l'operació, $(A,\cdot )$, deuen satisfer quatre requisits coneguts com els axioma de grup abeliano (alguns autors inclouen en els axioma algunes propietats que pertanyen a la definició d'una operació: A saber, que l'operació estiga definida per a qualsevol parell ordenat d'elements de A, que el resultat siga Ben definit, i que el resultat pertanyga a A):

Asociatividad

Per a tot $a$, $b$, i $c$ en $A$, es complix l'equació $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Element d'identitat

Existix un element $e$ en $A$, tal que para tots els elements $a$ en $A$, es complix l'equació $e\cdot a=a\cdot e=a$.

Element invers

Per a cada $a$ en $A$ existix un element $b$ en $A$ tal que $a\cdot b=b\cdot a=e$, a on $e$ és l'element identitat.

Conmutatividad

Per a tot $a$, $b$ en $A$, $a\cdot b=b\cdot a$.

Un grup en el que l'operació de grup no és conmutativa es denomina "grup no abeliano" o "grup no conmutativo".

Notació

Hi ha dos notacions principals per als grups abelianos: aditiva i multiplicativa, descrites a continuació.

Notació	Operació	Element neutre	Potencies	Elements inversos	Suma directa / Producte directe
Adició	$a+b$	0	$na$	$-a$	$G\oplus H$
Multiplicació	$a*b$ o $ab$	i o 1	$a^n$	$a^{-1}$o$\frac{1}{a}$	$G\times H$

La notació multiplicativa és la notació usual en teoria de grups, mentres que la aditiva és la notació usual en l'estudi d'anells, mòduls i espais vectorials, en els que hi ha una segona operació. És corrent també usar la notació aditiva quan es treballa només en grups abelianos, com en el cas del àlgebra homológica.

Taula de multiplicació

Per a verificar que un grup finito és abeliano, es pot construir una taula (matriu) -coneguda com taula de Cayley- de manera similar a una taula de multiplicació. Si el grup és $G=\{g_1=e,g_2,\cdots ,g_n\}$ baixe la operació $\cdot$, la $(i,j)$-ésima entrada d'esta taula conté el producte $g_i\cdot g_j$.

El grup és abeliano si i només si esta taula és simètrica respecte a la diagonal principal. Açò és cert ya que el grup és abeliano si i només si $g_i\cdot g_j=g_j\cdot g_i$ para tot $i,j=1,\mathrm{...},n$, que és si l'entrada $(i,j)$ de la taula és igual a l'entrada $(j,i)$ para tot $i,j=1,\mathrm{...},n$, és dir, la taula és simètrica respecte a la diagonal principal.

Eixemples

Tot grup cíclico $G=⟨a⟩$ és abeliano, puix dos elements qualssevol $x,y\in G$ es poden expressar com a potències $x=a^m,y=a^n$ per a certs sancers m i n. En conseqüència

$xy=a^m{a}^n=a^{m+n}=a^{n+m}=a^n{a}^m=yx$.

En particular, el grup aditiu dels sancers $\mathbb{Z}$ és abeliano, de la mateixa manera que el grup de sancers mòdul n, ${\mathbb{Z}}_n$.

Els números racionals, els reals, els complexos i els cuaterniones són cada u d'ells un grup abeliano baixe l'adició. També ho són baix la multiplicació (excloent el zero de cada u d'estos conjunts) exceptuant als cuaterniones, que són un eixemple notable de cos no conmutativo. En general, tot anell és un grup abeliano sobre la seua adició. Si ademés és un anell conmutativo, els elements invertibles també formen un grup abeliano baixe la multiplicació.

Donat un grup $G$ arbitrari, és possible construir la abelianización de $G$, que és el cocient de $G$ pel seu subgrup commutador: $G/[G,G]$. Este grup és abeliano, i té la propietat de que si donat qualsevol atre subgrup normal $N$, el cocient $G/N$ és abeliano, llavors $[G,G]\subset N$.

Tot grup $G$ conté un subgrup abeliano cridat centre del grup, que està format pels elements que commuten en qualsevol un atre del grup.

Observacions històriques

Camille Jordan va donar el nom de grups abelianos presos del matemàtic noruec Niels Henrik Abel, ya que Abel havia trobat que la conmutatividad del grup d'un polinomi implica que les raïls del polinomi poden ser calculades per mig de radicals.

Propietats

• Si n és un número natural i x un element d'un grup abeliano G (en notació aditiva), es pot definir nx = x + x +... + x (n sumants), i (−n)x = −(nx), en lo que G es torna un mòdul sobre l'anell Z dels sancers. De fet, els mòduls sobre Z no són uns atres que els grups abelianos.
• Si f, g: G → H són dos homomorfismes entre grups abelianos, la seua suma (definida per (f + g)(x) = f(x) + g(x)) és també un homomorfisme; açò no es complix en general per a grups no abelianos. En esta operació, el conjunt d'homomorfismes entre G i H es torna, llavors, un grup abeliano en sí mateixa.
• Tot subgrup d'un grup abeliano és normal, i per lo tant, per a tot subgrup hi ha un grup cocient. Subgrups, grups cocients, i sumes directes de grups abelianos són també abelianos.

Classificació dels grups abelianos finitamente generats

Es diu que un grup està finitamente generat si existix un conjunt generador del grup que és finito. Tot grup finito està finitamente generat, ya que el propi grup és un conjunt generador de sí mateixa. Els grups abelianos finitos i finitamente generats estan totalment classificats per la cridada teorema d'estructura, del que existixen vàries versions. Segons esta teorema, tot grup abeliano finitamente generat és la suma directa de grups cíclicos, els quals poden ser de dos tipos:

• el grup cíclico infinit, caracterisat pels número entero baix l'adició, $\mathbb{Z}$.
• grups cíclicos finitos, caracterisat pels sancers mòdul n baixe la suma mòdul n, ${\mathbb{Z}}_n$.

Grups abelianos finitos

Resulta d'interés estudiar primer el cas de grups finitos, puix este resultat s'aplica directament al cas general. La teorema d'estructura en el cas finito afirma lo següent:

Tot grup abeliano finito $G$ és isomorfo a ${\mathbb{Z}}_{d_1}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{d_t}$, a on $d_1,\dots ,d_t$ són sancers majors que 1 que verifiquen $d_i|d_{i+1},\mathrm{\forall }i=1,\dots ,t-1$.

Els números $d_1,\dots ,d_t$ es denominen coeficients de torsió de $G$, i són invariantes del grup. En particular, l'orde de $G$ és igual al producte $d_1\dots d_t$. Es diu que un element $g$ d'un grup és un element de torsió si la seua orde és finito. Análogament, es diu que un grup en el qual tots els elements són de torsió és un grup de torsió. Naturalment, tots els grups finitos són de torsió.

Esta teorema es deduïx del següent resultat, utilisant que ${\mathbb{Z}}_m\oplus {\mathbb{Z}}_n$ és isomorfo a ${\mathbb{Z}}_{nm}$ quan n i m són coprimos:

Tot grup abeliano finito G és isomorfo a ${\mathbb{Z}}_{p_1^{k_1}}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{p_r^{k_r}}$, a on $p_1,\dots ,p_r$ són número primo (no necessàriament distints) i $k_1,\dots ,k_r\in \mathbb{N}$. Els sancers $p_1^{k_1},\dots ,p_r^{k_r}$ són únics salve per l'orde.

Els següents eixemples ilustren la forma d'aplicar la teorema d'estructura, a partir dels factors primers de l'orde del grup:

Llevat isomorfisme existixen cinc grups abelianos en 16 elements. Partint de que $16=2^4$, les possibles eleccions per als coeficients de torsió són $(16),(2\times 8),(2\times 2\times 4),(2\times 2\times 2\times 2)\text{ y }(4\times 4)$. En conseqüència, un grup abeliano de 16 elements és isomorfo a un i només un dels següents:

${\mathbb{Z}}_{16},{\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_8,{\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_4,{\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_2\oplus {\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_4\oplus {\mathbb{Z}}_4$.

• Tot grup abeliano d'orde 30 és isomorfo al grup cíclico ${\mathbb{Z}}_{30}\simeq {\mathbb{Z}}_5\oplus {\mathbb{Z}}_3\oplus {\mathbb{Z}}_2$. Açò es deu a que no hi ha forma de descompondre 30 com a producte de dos números majors d'1 tals que un siga divisor de l'atre.

Grups abelianos finitamente generats

El conjunt dels elements de torsió d'un grup arbitrari formen un subgrup que es denomina subgrup de torsió, i es denota com $\tau (G)$. Si l'únic element de torsió és l'identitat, llavors es diu que el grup està lliure de torsió. En tal cas, tot element distint de l'identitat és d'orde infinit. El següent resultat indica la manera en que es pot descompondre un grup abeliano en dos parts: una de torsió i una lliure de torsió:

Per a tot grup $G$ abeliano, el cocient $G/\tau (G)$ està lliure de torsió.

Si el grup abeliano $G$ està finitamente generat llavors el seu subgrup de torsió està també finitamente generat, i de fet és finito. Per tant pot ser classificat conforme a l'apartat anterior. Ademés $G=\tau (G)\oplus F$, a on $F$ és un grup abeliano finitamente generat i lliure de torsió. El següent resultat nos permet caracterisar este grup $F$:

Tot grup abeliano finitamente generat i lliure de torsió és un grup abeliano lliure.

Un grup abeliano finitamente generat $G$ és un grup abeliano lliure si és isomorfo al producte directe ${\mathbb{Z}}^n$, per a cert sancer positiu $n$, denominat ranc de $G$. En conseqüència

Tot grup abeliano finitamente generat $G$ és la suma directa de grups cíclicos finitos i infinits, i el número de sumants de cada classe depén únicament de $G$.

En resum, tot grup abeliano finitamente generat és isomorfo a la suma directa

$\mathbb{Z}\oplus \mathrm{...}\oplus \mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_{d_1}\oplus \mathrm{...}\oplus {\mathbb{Z}}_{d_t}$

a on el número de factors $\mathbb{Z}$ és el ranc i els números $d_1,\dots ,d_t$ són els coeficients de torsió de $G$, que verifiquen que $d_i|d_{i+1},\mathrm{\forall }i=1,\dots ,t-1$.

Vore també

• Grup (matemàtiques).
• Conmutatividad.
• Categoria de grups abelianos.
• Grup abeliano lliure.
• Anell conmutativo.

Grup Monoide Semigrupo Magma Conjunt Llei de composició Interna Asociatividad Element neutre Element simètric

Bibliografia

• (2004) Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Rotman, Joseph J. (2012). An Introduction to the Theory of Groups, Springer.
• Rotman, Joseph J. (2003). Advanced modern algebra, 1ª edició (en anglés). ISBN 0130878685.
• Cox, David. Galois Theory, Wiley-Interscience. ISBN 9781118031339.
• Fuchs, László. Infinite Abelian Groups (vol. 36-I), Academic Press.
• Fuchs, László. Infinite Abelian Groups (vol. 36-II), Academic Press.
• Griffith, Phillip A.. Infinite Abelian group theory, University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.

• Herstein, I. N.. Topics in Algebra, 2nd edició, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02371-X.
• “Automorphisms of finite abelian groups” . American Mathematical Monthly 114 (10): 917–923. doi:10.1080/00029890.2007.11920485. Bibcode: 2006math......5185H.
• Jacobson, Nathan. Basic Algebra I, 2nd edició, Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Rose, John S.. A Course on Group Theory, Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8. Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
• Szmielew, Wanda. “Elementary Properties of Abelian Groups”. Fonamenta Mathematicae 41 (2): 203–271.
• “Elementary Properties of Ordered Abelian Groups” (30 de juliol 1960). Transactions of the American Mathematical Society 96 (2): 222–236. doi:10.2307/1993461.

Enllaços externs

• Abelian Group en MathWorld.