Ben definit

En matemàtiques, el terme ben definit s'usa per a especificar que un concepte (una funció, una propietat, una relació, etc.) es definix de forma llògicament consistent usant un conjunt d'axiomas bàsics sense ambigüitat alguna. Usualment les definicions s'enuncien sense ambigüitat, i no hi ha preguntes sobre la seua bona definició. Ocasionalment, no obstant, s'enuncia una definició per una elecció arbitrària per motius d'economia; llavors un deu comprovar que la definició és independent de dita elecció.

Una de les situacions més comunes en matemàtiques és aquella que el terme "ben definit" s'usa en tractar en classes laterals en la teoria de grups. És tan important verificar que s'obtinga el mateix resultat independentment de quin representant de la classe lateral s'elegixca com lo és que s'obtinga sempre el mateix resultat quan es practiquen operacions aritmèticas (per eixemple, mai succeïx que $2+3\ne 5$).

Més generalment, donats els conjunts $X$ i $Y$ no buits, una relació d'equivalència $\sim$ en $X$, i una funció $f:X\to Y$. Supongam que $f$ respecta la relació, és dir, $f(x)=f(y)$ quan $x\sim y$, per a tot $x,y\in X$. Un pot estar interessat en saber si existix alguna funció $g:X/\sim \to Y$ , a on $X/\sim$ és el conjunt cocient de X respecte a la relació $\sim$. És dir, si $[x]$ és una classe d'equivalència en $X/\sim$, llavors un pot intentar definir $g([x])=f(x)$, per a tota $[x]\in X/\sim$. Sean $x,y\in X$. Si $x\sim y$, es conclou que $g([x])=g([y])$; de lo anterior es deduïx que $g$ està ben definida. Vist d'esta forma, un diu que $g$ està ben definida si el diagrama commuta. Açò és, que $f$ es factoriza a través de $\gamma$, a on $\gamma :X\to X/\sim$ és el mapage de proyecció canònica, tal que $f=g\gamma$. A açò ho cridem propietat universal del conjunt cocient.

El concepte de bona definició és important per a les matemàtiques i cièncias per a no tindre que dependre de l'intuïció humana, la qual és subjectiva i imprecisa. Per eixemple, podria dir-se que un objecte pot tindre la propietat de ser "roig"; no obstant, esta propietat no està definida perque hi ha una àmplia varietat de colors que alguns individus percebrien com un to de roig, quan uns atres insistirien que és taronja. Tal propietat solament estaria ben definida si regles estrictes determinaren cuales freqüèncias de llum visible l'objecte estiguera permés per a emetre o reflectir per a que siga "roig".

Un atre eixemple seria que la majoria de la gent acceptaria que 999 és casi tant com 1000. No obstant, no hi ha una frontera clara que marque a on casi tant com comença o termina (hi ha, no obstant, una noció ben definida de conjunts infinits que són casi atres).

Vore també

• Divisió per zero
• Forma indeterminada

Referències

Bibliografia

• Contemporary Abstract Algebra, Joseph A. Gallian, 6th Edition, Houghlin Mifflin, 2006, Plantilla:Isbn.
• Algebra: Chapter 0, Paolo Aluffi, Plantilla:Isbn. Page 16.
• Abstract Algebra, Dummit and Foote, 3rd edition, Plantilla:Isbn. Page 1.