Forma indeterminada

En matemàtica, es diu forma indeterminada a una expressió algebraica que involucra llímits del tipo:

• $0÷0$
• $\mathrm{\infty }÷\mathrm{\infty }$
• $0\times \mathrm{\infty }$
• $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$
• $0^0$
• $1^{\mathrm{\infty }}$
• ${\mathrm{\infty }}^0$
• $\sqrt[0]{1}$
• $\sqrt[\mathrm{\infty }]{0}$
• $\sqrt[\mathrm{\infty }]{\mathrm{\infty }}$
• ${\log }_0(0)$
• ${\log }_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\infty })$
• ${\log }_1(1)$
• ${\log }_{\mathrm{\infty }}(0)$
• ${\log }_0(\mathrm{\infty })$

Estes expressions es troben en freqüència dins del context del llímit de funcions i, menys generalment, del càlcul infinitesimal i l'anàlisis real.

Interpretació

El fet de que dos funcions f i g s'acosten abdós a zero quan x tendix a algun punt d'acumulació c no és informació suficient para evaluar el llímit

Dit llímit pot convergir a qualsevol valor, pot convergir a infinit o pot no existir, depenent de les funciones f i g.

Cocient indeterminat

La forma 0/0

Un eixemple molt freqüent és la forma indeterminada del tipo 0/0. Quan x s'acosta a 0, les raones x/x³, x/x, i x²/x es van a $\mathrm{\infty }$, 1, i 0 respectivament. En cada cas, no obstant, si els llímits del numerador i del denominador s'evaluen en l'operació de divisió, el resultat és 0/0. De manera que, informalment, 0/0 pot ser 0, $\mathrm{\infty }$ o inclús 1 i, de fet, és possible construir atres eixemples similars que convergixquen a qualsevol valor particular. Per això és que l'expressió 0/0 es diu que és indeterminada. Eixemples:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=\frac{0}{0}$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x}=\frac{0}{0}$

La forma ∞/∞

Esta forma indeterminada es dona en cocients en els quals, tant el numerador com el denominador, tenen per llímit $\mathrm{\infty }$. En estos casos, no es pot aplicar cap regla operatoria, per lo que es diu que s'està front a una forma indeterminada del tipo $\mathrm{\infty }$/$\mathrm{\infty }$. Per a resoldre esta indeterminación poden aplicar-se métodos tals com factorización, derivació, el teorema del emparedado, entre uns atres.

Eixemples:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{\ln (x)}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

Vore també

• Ben definit
• Divisió per zero
• Recta real estesa
• Regla de l'Hôpital
• Infinit

Bibliografia

• Stewart (1999). Càlcul:Trascendentes primerenques, Thompson Learning. ISBN 970-686-127-0.
• Apostol, Tom (2006). Cálculus, Reverte. ISBN 968-6708-10-3.