Càlcul infinitesimal

El càlcul infinitesimal o simplement càlcul constituïx una branca molt important de les matemàtiques. En la mateixa manera que la geometria estudia l'espai i l'àlgebra estudia les estructures abstractes, el càlcul és l'estudi del canvi i la continuïtat (més concretament, dels canvis continus, en oposició als discrets).

El càlcul infinitesimal es dividix en dos àrees: càlcul diferencial i càlcul integral. El càlcul diferencial estudia cóm computar la funció que descriu el canvi d'una atra funció de variables contínues (operació d'orde superior cridada «derivada»), mentres que el càlcul integral estudia l'operació inversa (antiderivada i integrals) i les séries infinites. En la seua formulació contemporànea, abdós camps es fonamenten en el concepte de llímit per a poder calcular canvis infinitesimalmente menuts; i es relacionen per mig del teorema fonamental del càlcul.

Des de la seua aparició en el XVII, el càlcul infinitesimal s'ha tornat imprescindible per a la ciència i l'ingenieria (vore secció de Aplicacions) i constituïx gran part de l'educació universitària moderna. Va marcar una fita en la Revolució científica; al grau de que alguns historiadors daten l'inici de l'Ilustració en la publicació de les obres de Newton.

S'usa per a resoldre molts problemes per als quals les matemàtiques de l'antiguetat varen ser insuficients; si be partix de coneiximents clàssics en àlgebra, trigonometria i geometria analítica. Trobar la tangente en un punt a una curva, fer medicions exactes de llongituts, àrees i volums curvos; determinar si una suma d'infinits sumants convergix o divergix, i trobar situacions d'equilibri i optimisació en funcions de número real són eixemples de les portes que el càlcul va vindre a obrir per a les matemàtiques. A la seua volta, el càlcul té generalisacions i aplicacions en atres àrees de la matemàtica; com equacions diferencials i sistemes dinàmics, teoria del caos, càlcul vectorial, geometria diferencial, topología, anàlisis matemàtic, provabilitat, estadística, etc.

En la matemàtica contemporànea i en els programes d'estudi per a matemàtics, el càlcul és usualment abordat com una introducció a la disciplina coneguda com anàlisis matemàtic, que generalisa i formalisa l'estudi de funcions i llímits.

Història

Edat Antiga

El periodo antic va introduir algunes de les idees del càlcul integral, pero no sembla haver desenrollat estes idees en una manera rigorosa o sistemàtica. En el càlcul d'àrees i volums, la funció bàsica del càlcul integral pot ser rastrejada en el temps fins als papirs matemàtics de Moscou que daten de l'any 1890 a. C, en els que un egipcíac va calcular satisfactòriament el volum del tronc d'una piràmide. Els babilonios poden haver descobert la regla trapezoidal mentres feyen observacions astronòmiques de Júpiter.

De l'escola dels matemàtics grecs, Eudoxo (408−355 a. C.) va usar el método exhaustiu, el qual prefiguraba el concepte de llímit, per a calcular àrees i volums, mentres que Arquímedes (287−212 a. C.) va desenrollar més allà la seua idea inventant un método heurístic, denominat exhaustación, que s'assembla al càlcul infinitesimal.

El método exhaustiu va ser més vesprada usat en China per Liu Hui en el III per a trobar l'àrea d'un círcul. En el V, Zu Chongzhi va usar lo que més vesprada seria cridat la teoria dels indivisibles pel matemàtic italià Bonaventura Cavalieri per a trobar el volum d'una esfera.

Edat Mija

AP Prop de l'any 1000 d. C., el matemàtic islàmic Alhacén va ser el primer en derivar la fòrmula per a la suma de la quarta potencia d'una progressió aritmètica, usant un método a partir del com és fàcil trobar la fòrmula per a la suma de qualsevol potència integral de major orde.

En el XI, el polímata chinenc Shen Kuo va desenrollar equacions que s'encarregaven d'integrar. En el XII, el matemàtic indi, Bhaskara II, va desenrollar una derivada primerenca representant el canvi infinitesimal, i va descriure una forma primerenca del «teorema de Rolle».

També en el XII, el matemàtic persa Sharaf al-Din al-Tusi va descobrir la derivada de la funció cúbica, un important acontenyiment en el càlcul diferencial.

En el XIV, Madhava de Sangamagrama, en conjunt en atres matemàtics i astrònoms de l'Escola de Kerala, varen descriure casos especials de les séries de Taylor, els quals estan referits en el text Yuktibhasa.

Modernitat

En l'época moderna, descobriments independents relacionats en el càlcul s'estaven portant a terme per la [[wasan|matemàtica japonesa de el XVII]], gràcies a l'aporte de matemàtics com Seki Kōwa, qui va expandir el método exhaustiu.

En Europa, el treball fundacional va ser un tractat del clerc i matemàtic italià Bonaventura Cavalieri, qui va argumentar que els volums i àrees deurien ser calculats com les sumes dels volums i àrees de primes seccions infinitesimals. Estes idees eren similars a les expostes en el treball El método de les teoremes mecàniques d'Arquímedes, el qual va estar perdut fins a principis de el XX. El treball de Cavalieri no va ser ben respectat ya que els seus métodos poden dur a resultats erròneus, i perque les cantitats infinitesimals que va introduir eren desacreditades al principi.

L'estudi formal del càlcul va combinar els infinitesimals de Cavalieri en el càlcul de diferències finitas desenrollat en Europa més o menys al mateix temps. La combinació va ser conseguida per John Wallis, Isaac Barrow i James Gregory, provant estos últims el teorema fonamental del càlcul integral prop de l'any 1675.

La regla del producte i la regla de la cadena, la noció de derivada de major orde, les series de Taylor, i les funcions analítiques varen ser introduïdes per Isaac Newton en una notació idiosincrásica que va usar per a resoldre problemes de física matemàtica. En les seues publicacions, Newton va formular les seues idees per a acomodar l'idioma matemàtic de l'época, utilisant arguments informals com el de les fluxiones, que varen generar gran coentor i escepticisme en atres filòsofs de l'época; notablement Berkeley. Va usar els métodos del càlcul per a resoldre el problema del moviment planetari, la forma de la superfície d'un decorregut rotante, i es va referir a lo achatada que és la terra pels pols, aixina com a molts atres problemes, els quals va discutir en Principia mathematica. En un atre treball, va desenrollar una série d'expansions per a les funcions, incloent les potències fraccionarias i irracionals. Va ser clar que Newton entenia els principis de les series de Taylor. No va publicar tots estos descobriments. En el seu temps els sistemes infinitesimals eren considerats com reprochables.

Estes idees varen ser sistematisades en un verdader càlcul d'infinitesimals per Gottfried Wilhelm Leibniz, qui va anar originalment acusat de plagi per Newton. És ara reconegut com a inventor independent del càlcul i un gran contribuent a est. La seua principal contribució va ser el proveir un conjunt de regles clares per a la manipulació de cantitats infinitesimals, permetent el còmput de derivades de segon orde i d'orde superior, i establint la regla del producte i regla de la cadena en la seua forma diferencial i integral. A diferència de Newton, Leibniz li va posar molta atenció al formalisme i a sovint li dedicava varis dies a determinar els símbols apropiats per als conceptes.

Usualment se li acredita a abdós Leibniz i Newton l'invenció del càlcul. Newton va ser el primer en aplicar el càlcul a la física general i Leibniz va desenrollar molt de la notació usada en càlcul fins a a lo manco principi de el XIX. Les idees principals que abdós Newton i Leibniz varen estipular varen ser les lleis de diferenciació i integració, les segones derivades, les derivades d'orde superior, i la noció d'una aproximació de séries de polinomis. Ya per l'época de Newton, la teorema fonamental de càlcul era conegut.

Quan Newton i Leibniz primer varen publicar els seus resultats, va haver gran controvèrsia sobre quin matemàtic (i per això quin país) mereixia el crèdit per l'invenció d'esta disciplina. Newton va aplegar primer als seus resultats, pero Leibniz va publicar primer. Newton va acusar a Leibniz de furtar les seues idees de les seues notes inèdites, les quals Newton havia compartit en uns quants membres de la Royal Society. Esta controvèrsia va dividir als matemàtics de parla anglesa dels matemàtics continentals per varis anys, causant un retart de les matemàtiques angleses. Un cuidadós examen dels papers d'abdós matemàtics demostra que ells varen aplegar als seus resultats independentment, en Leibniz escomençant primer en l'integració i Newton en la diferenciació. Hui, se'ls dona crèdit a abdós matemàtics per desenrollar el càlcul independentment. Va ser Leibniz, no obstant, qui li va donar el nou nom a la seua disciplina. Newton va cridar el seu càlcul el «método de les fluxiones». La simbologia usada per Newton, que s'ha denominat com notació de Newton (tal com $\dot{x}$ o x' per a la derivada primera, $\ddot{x}$ o x'' per a la derivada segona, etc.) a voltes apareix en física i situacions que no requerixen de formalisme matemàtic, mentres que la notació de Leibniz (dy/dx, etc.) és la preferida pels llibres especialisats sobre càlcul.

Des dels temps de Leibniz i Newton, molts matemàtics han contribuït al desenroll continu del càlcul. En el XIX, el càlcul va començar a ser plantejat més rigorosament per matemàtics com Cauchy, Riemann i Weierstrass. També va ser en este periodo que les idees del càlcul varen ser generalisades al espai euclidiano i al pla complex. Lebesgue va generalisar la noció de l'integral de tal manera que virtualment qualsevol funció tinga una integral, mentres que Laurent Schwartz va estendre la diferenciació casi de la mateixa manera.

El càlcul és un tema omnipresent en la majoria dels programes d'educació superior i en les universitats. Els matemàtics al voltant del món continuen contribuint al desenroll d'esta disciplina, la qual ha segut considerada com un dels guanys més grans de l'intelecte humà. El desenroll de les equacions diferencials ha jugat un gran paper de canvi qualitatiu en la ciència i la tecnologia, comparable en el control del fòc en l'época primitiva, les equacions diferencials són un bot enorme per a la ciència.

Conjunt $O_{x,\alpha }^n(h)$ d'Operadors Fraccionales

El càlcul fraccional de conjunts (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionat per primera volta en l'artícul titulat "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods", és una metodologia derivada del càlcul fraccional. El concepte principal darrere del FCS és la caracterisació dels elements del càlcul fraccional utilisant conjunts per la gran cantitat d'operadors fraccionales disponibles. Esta metodologia es va originar a partir del desenroll del método de Newton-Raphson fraccional i treballs relacionats posteriors.

Archiu:Applied mathematics and computation-fig.png

Ilustració d'algunes llínees generades pel método de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial $x_0$ pero en diferents órdens $\alpha$ de l'operador fraccional implementat. Font: Applied Mathematics and Computation

El càlcul fraccional, una branca de les matemàtiques que tracta en derivades d'orde no sancer, va sorgir casi simultàneament en el càlcul tradicional. Esta emergència va ser en part per la notació de Leibniz para derivades d'orde sancer: $\frac{d^n}{d{x}^n}$. Gràcies a esta notació, L’Hopital va poder preguntar en una carta a Leibniz sobre l'interpretació de prendre $n=\frac{1}{2}$ en una derivada. En eixe moment, Leibniz no va poder proporcionar una interpretació física o geomètrica per a esta pregunta, per lo que simplement va respondre a L’Hopital en una carta que "... és una aparent paradoxa de la qual, algun dia, es derivaran conseqüències útils".

El nom "càlcul fraccional" s'origina a partir d'una pregunta històrica, ya que esta branca de l'anàlisis matemàtic estudia derivades i integrals d'un cert orde $\alpha \in ℝ$. Actualment, el càlcul fraccional carix d'una definició unificada de lo que constituïx una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}.$

Els operadors fraccionales tenen vàries representacions, pero una de les seues propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mida que $\alpha \to n$. Considerant una funció escalar $h:{ℝ}^m\to ℝ$ i la base canònica de ${ℝ}^m$ denotada per $\{{\hat{e}}_k{\}}_{k\ge 1}$, el següent operador fraccional d'orde $\alpha$ es definix utilisant notació d'Einstein:

$o_x^{\alpha }h(x):={\hat{e}}_k{o}_k^{\alpha }h(x).$

Denotant $\underset{k}{\overset{n}{\partial }}$ com la derivada parcial d'orde $n$ sobre el component $k$-ésimo del vector $x$, es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

$O_{x,\alpha }^n(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)=\underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\},$

el complement del qual és:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)\ne \underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\text{ para al menos un }k\ge 1\}.$

Com a conseqüència, es definix el següent conjunt:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^n(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensió a Funcions Vectorials

Per a una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, el conjunt es definix com:

${}_m{O}_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\{o_x^{\alpha }:o_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\},$

a on $[h{]}_k:\Omega \subset {ℝ}^m\to ℝ$ denota el $k$-ésimo component de la funció $h$.

Vore també: Controvèrsia del càlcul

Significat i aplicacions

Mentres que algunes idees del càlcul varen ser desenrollades tempranamente en les matemàtiques gregues, chinenques, índies i islàmiques, l'us modern del càlcul va començar en Europa, durant el XVII, quan Isaac Newton i Gottfried Leibniz varen construir en base al treball d'antics matemàtics els principis bàsics d'esta disciplina. El desenroll del càlcul va ser constituït en base en els conceptes de moviment instantàneu i l'àrea baix les curves.

Les aplicacions del càlcul diferencial inclouen #còmput que involucren velocitat, acceleració, la pendent d'una recta tangente a una curva i optimisació. Les aplicacions del càlcul integral estan en #còmput que inclouen elements d'àrea, volum, centre de massa, llongitut d'arc, treball i pressió. Aplicacions més alvançades inclouen series de potències i séries de Fourier. El càlcul pot ser usat per a computar la trayectòria d'una nau acoplant-se a una estació espacial o la cantitat de neu en una calçada per a coches.

El càlcul és també usat per a obtindre un enteniment més precís de la naturalea de l'espai, el temps i del moviment. Per sigles, matemàtics i filòsofs varen lluitar en paradoxes que involucraven la divisió per zero o sumes de séries infinites de números. Estes preguntes sorgixen en l'estudi del moviment i àrea. L'antic filòsof grec Zenón va donar varis eixemples famosos de tals paradoxes. El càlcul proveïx ferramentes que poden resoldre tals paradoxes, especialment els llímits i les séries infinites.

Fonaments

En matemàtiques, els fonaments es referix al desenroll rigorós d'un tema des d'axiomas i definicions precises. L'obtindre un fonament rigorós per al càlcul va ocupar als matemàtics per la major part del sigle que va seguir a Leibniz i Newton i encara és un àrea activa en l'actualitat. Els fonaments del càlcul varen ser objecte de diverses especulacions filosòfiques i interpretacions informals, la falta de rigor i laxitud en que varen ser afrontats certs problemes de fundamentación varen contribuir a la crisis dels fonaments de les matemàtiques.

No obstant, ya durant el XIX es va escomençar a treballar en una aproximació rigorosa per als fonaments del càlcul. El més usual hui en dia és el concepte de llímit definit en la continuïtat dels número real (el concepte de llímit és essencialment un concepte topològic). Una alternativa és l'anàlisis no estàndar, en el qual el sistema de número real és aumentat en infinitesimalés i números infinits, com en la concepció original de Newton i Leibniz. Els fonaments del càlcul són inclosos en el camp del anàlisis real, el qual conté les definicions completes i proves matemàtiques de les teoremes del càlcul, aixina com també generalisacions tals com la teoria de la mida i la teoria de distribucions.

Principis

Llímits i infinitesimals

Artícul principal → Llímit matemàtic.

El càlcul és usualment desenrollat per mig de la manipulació de cantitats molt menudes. Històricament, el primer método per a conseguir això es basava en infinitesimalés. Estos són objectes que poden ser tractats com a número real pero que són, en algun sentit, «infinitament menuts». Per eixemple, un número infinitesimal podria ser major que 0, pero menor que qualsevol número en la seqüència 1, 1/2, 1/3, ... i, per lo tant, menor que qualsevol número real positiu. Des d'este punt de vista, el càlcul és una colecció de tècniques per a manipular infinitesimals. S'assumia que els símbols $dx$ i $dy$ eren infinitesimals, i que la derivada $dy/dx$ era la seua raó o proporció.

La perspectiva infinitesimal va perdre popularitat en el XIX perque era difícil conseguir una noció precisa de l'infinitesimal. A finals de el XIX, els infinitesimals varen ser reemplaçats dins de l'acadèmia per la perspectiva «epsilon, delta» dels llímits. Els llímits descriuen el comportament d'una funció en una certa entrada en térmens dels valors d'entrades propenques. Capturen el comportament a chicoteta escala utilisant l'estructura intrínseca del sistema d'número real (com un espai mètric en la propietat del llímit superior mínim). En este context, el càlcul és una colecció de tècniques per a la manipulació de certs llímits. Els infinitesimals es reemplacen per seqüències de números cada volta més menuts, i el comportament infinitament menut d'una funció es troba prenent el comportament llímit per a estes seqüències. Es creïa que els llímits oferien una base més rigorosa per al càlcul i, per este motiu, es varen convertir en l'enfocament estàndar durant el XX. No obstant, el concepte d'infinitesimal va cobrar força novament en el XX en l'introducció del anàlisis no estàndar i del «anàlisis infinitesimal suau» (de l'anglés smooth infinitesimal analysis) , els que varen proporcionar fonaments sòlits per a la manipulació d'infinitesimals.

Càlcul diferencial

Artícul principal → Càlcul diferencial.

El càlcul diferencial és l'estudi de la definició, propietats, i aplicacions de la derivada d'una funció, o lo que és lo mateix, la pendent de la tangente a lo llarc de la seua gràfica. El procés de trobar la derivada es diu derivació o diferenciació. Donada una funció i un punt en el seu domini, la derivada en eixe punt és una forma de codificar el comportament a menuda-escala de la funció prop del punt. Trobant la derivada d'una funció per a cada punt en el seu domini, és possible produir una nova funció, cridada la «funció derivada» o simplement la «derivada» de la funció original. En llenguage tècnic, la derivada és un operador llineal, el qual pren una funció i torna una segona funció, de manera que per a cada punt de la primera funció, la segona obté la pendent a la tangente en eixe punt.

El concepte de derivada és fonamentalment més alvançat que els conceptes trobats en l'àlgebra.

Per a entendre la derivada, els estudiants deuen deprendre la notació matemàtica. En notació matemàtica, un símbol comú per a la derivada d'una funció és una marca pareguda a un accent o apòstrof anomenada símbol primer. Aixina la derivada de f és f′ (pronunciat «efe primera»). En lo següent la segona funció és la derivada de la primera:

$\begin{array}{cc}f(x)& =x^2\\ f^{\prime }(x)& =2x.\end{array}$

Si l'entrada de la funció representa el temps, llavors la derivada representa el canvi con respecto de el temps. Per eixemple, si f és una funció que pren el temps com a entrada i dona la posició de la pilota en eixe moment com a eixida, llavors la derivada de f és quànt la posició està canviant en el temps, açò és, és la velocitat de la pilota.

Si la funció és llineal (açò és, la gràfica de la funció és una llínea recta), llavors la funció pot ser escrita de la forma i = mx + b, a on:

$m=\frac{\text{cambio en y}}{\text{cambio en x}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Càlcul integral

Artícul principal → Càlcul integral.

El càlcul integral és l'estudi de les definicions, propietats, i aplicacions de dos conceptes relacionats, la integral indefinida i la integral definida. El procés de trobar el valor d'una integral és cridat integració. En llenguage tècnic, el càlcul integral estudia dos operadors llineals relacionats.

La integral indefinida és la antiderivada, és dir, l'operació inversa de la derivada. La funció F és una integral indefinida de la funció f quan f és una derivada de F. (L'us de mayúscules i minúscules per a distinguir entre la funció i la seua integral indefinida és comuna en el càlcul).

La integral definida és un algoritme que transforma funcions en números, els quals donen l'àrea entre una curva d'un gràfic i l'eix-x. La definició tècnica de l'integral definida és el llímit d'una suma d'àrees de rectànguls, cridada sumixca de Riemann.

Teorema fonamental

Artícul principal → Teorema fonamental del càlcul.

La teorema fonamental del càlcul establix que la diferenciació i l'integració són operacions inverses. Més precisament, relaciona els valors de les antiderivada per a definir les integrals. Ya que és normalment més fàcil computar una antiderivada que aplicar la definició d'una integral definida, la teorema fonamental del càlcul proveïx una forma pràctica de computar integrals definides. També pot ser interpretat com una declaració precisa del fet de que la diferenciació és l'inversa de l'integració.

Si una funció f és contínua en l'interval [a, b] i si F és una funció que la seua derivada és f en l'interval (a, b), llavors

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Aixina llavors, per a cada x en l'interval (a, b), és cert que:

$\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=f(x).$

Este fet, descobert tant per Newton com Leibniz, els qui varen basar els seus resultats en el treball previ d'Isaac Barrow, va ser clau per a la massiva proliferació de resultats analítics luego que el seu treball anara conegut. La teorema fonamental proveïx un método algebraic per a calcular moltes integrals definides – sense realisar el procés de càlcul de llímits – per mig de la trobada de fòrmules apropiades per a les antiderivadas. Les equacions diferencials relacionen a una funció a les seues derivades, i són omnipresents en les ciències.

Aplicacions

El càlcul és usat en cada branca de les ciències naturals, estadística, ingenieria, economia; inclús en negocis, medicina, demografia, i més generalment en qualsevol àrea a on un problema puga ser modelació matemàticament per mig de variables contínues d'número real o complexos, i a on una solució òptima siga desijada; o a on es desigen entendre els cicles i interaccions entre les variables. En paraules de Steven Strogatz, «L'interior d'un àtom, les canviants poblacions de la vida salvage, el clima… tot això pot explicar-se per mig del llenguage del càlcul. D'alguna manera este llenguage… és simplement la millor ferramenta que jamai hajam inventat».

Física

La física des de Newton ha fet un particular us extens del càlcul.

• Tots els conceptes en la mecànica clàssica estan interrelacionados a través del càlcul. Per eixemple, la massa d'un objecte de coneguda densitat, el moment d'inèrcia dels objectes, la relació entre posició, velocitat i acceleració; aixina com l'energia total d'un objecte dins d'un camp conservativo poden ser trobats per l'us del càlcul. L'eixemple clàssic de l'us del càlcul en la física són les lleis del moviment de Newton, a on s'usa expressament el terme «taxa de canvi» el qual fa referència a la derivada: «La taxa de canvi de momentum d'un cos és igual a la força resultant actuant en el cos i està també en la mateixa direcció». Inclús l'expressió comuna de la segona llei de Newton com $Fuerza=masa\times aceleraci\acute{o}n$ involucra el càlcul diferencial, perque l'acceleració pot ser expressada com la derivada de la velocitat ($Fuerza=masa\times \frac{d^2(posici\acute{o}n)}{d{t}^2}$).
• l'electromagnetisme ha usat àmpliament notació del càlcul des de que varen aparéixer les equacions de Maxwell, i lo mateix és cert per a versions més modernes que combinen açò en mecànica quàntica o relativitat, com l'electrodinàmica quàntica.
• La teoria de la relativitat general d'Einstein.
• Una de les lleis més fonamentals de la mecànica quàntica, l'equació de Schrödinger, també està expressada en el llenguage del càlcul. Específicament es tracta d'una equació diferencial parcial que descriu l'evolució de la distribució d'una ona-partícula o sistema de partícules.

La calor i la difusió són estudiats com equacions diferencials parcials. Vore equació de la calor, i equació de difusió.

Química i ingenieria

• En ingenieria elèctrica i electrònica, el càlcul és indispensable per a entendre les propietats de qualsevol circuit elèctric que involucre capacitores o inductorés.
• La química també usa el càlcul per a determinar els ritmes de les reaccions i la decaiguda radioactivo.

Ciències biològiques

• En biologia, Alan Turing va mostrar que molts aspectes del desenrolle morfològic dels organismes poden predir-se a partir de modelar senyals genètic-químiques com a equacions diferencials de reacció-difusió.
• En evolució i genètica de poblacions, l'equació de Price s'usa per a estudiar els canvis de les característiques heretables en funció de la seua ventaja selectiva.
• En neurociencia, les equacions de Hodgkin i Huxley que expliquen cóm una neurona emet potencials d'acció, també estan expressades en el llenguage del càlcul.
• En la medicina, el càlcul pot ser usat per a trobar l'àngul de ramificació òptim de got sanguíneu per a maximizar el fluix.

També en medicina, es poden usar lleis de decaiguda per a calcular dosis farmacològiques o per a planificar #radioteràpia.

Ciències socials

• En demografia i ecosistemas, models de creiximent poblacional com el de Malthus, el de Verhulst o el de Lotka-Volterra estan descrits en térmens de càlcul.
• En epidemiologia existixen molts models de sistemes dinàmics per a predir la propagació de malalties infeccioses. Estos reben el nom de "models compartamentales", com és el model SEIR (poblacions Susceptible, Exposta, Infectada i Recuperada).

En economia, el càlcul permet per eixemple, determinar l'utilitat màxima per mig del càlcul de costs marginals i ingressos marginals. En geografia, de la geomorfología sorgix el concepte de 'geomorfometría', que es recolza en les derivades de primer orde (f'x) i segon orde (f"x) per a modelar superfícies elevades.

Matemàtiques

El càlcul també pot ser usat en conjunt en atres disciplines matemàtiques. Per eixemple, pot ser usat en l'àlgebra llineal per a trobar la millor aproximació llineal per a un conjunt de punts en un domini. També pot ser usat en la teoria de la provabilitat per a determinar la provabilitat d'una variable aleatòria contínua a partir de la seua funció de densitat de provabilitat.

El teorema de Green, el qual establix la relació entre una integral llineal entorn una simple curva tancada C i una doble integral sobre el pla de regió D delimitada per C, és aplicat en un instrument conegut com planímetro, el qual és usat per a calcular l'àrea d'una superfície plana en un dibuix. Per eixemple, pot ser usat per a calcular la cantitat d'àrea que pren una piscina quan es bosqueja el disseny d'un péntol de propietat.

En geometria analítica, l'estudi dels gràfics de funcions, el càlcul és usat per a trobar punts màxims i mínims, la tangente, aixina també com per a determinar la concavidad i els punts d'inflexió.

El càlcul també pot ser usat per a trobar solucions aproximades per a equacions, usant métodos com per eixemple el método de Newton, l'iteración de punt fix i l'aproximació llineal. Per eixemple, les naus espacials usen una variació del método de Euler per a aproximar trayectòries curves dins d'entorns de gravetat zero.

Vore també

• Derivada
• Diferencial
• Integral
• Gottfried Leibniz
• Isaac Newton
• Seki Kōwa
• Màquina diferencial

Enllaços externs

• Càlcul de funcions