Piràmide (geometria)

Archiu:Square pyramid.png

Piràmide (geometria)

En geometria, una piràmide (del llatí pyrăels meus, -ĭdis, i este del grec pyramís, -ídos; pròpiament 'pastiç de farina de blat de forma piramidal', derivat de πυρός pyrós 'farina de blat') és un poliedre, constituït per un polígon simple (cridat base) i les cares laterals de la qual són triànguls que es junten en un vèrtiç comú, també cridat àpiç o cim. Els triànguls es denominen caras lateralés. El costat comú a dos cares laterals es diu aresta, de la mateixa manera que qualsevol costat de la base. El número total de les arestes és el doble del número de costats de la base. Estrictament, el poliedre té $n+1$ vèrtiços poliedrales, a on $n$ és el número de vèrtiços de la base. Totes les piràmides són poliedres autoduales.

Les piràmides són una classe de prismatoide, i per mig de la seua duplicació simètrica per reflexió en el pla de la base permeten generar bipirámides.

Definició

Es diu piràmide a un cos geomètric que és l'unió de tots els segments que unixen tots els punts d'un polígon S en un punt P exterior al pla del polígon.

Es considera que el polígon és una part del pla i és un conjunt bidimensional. Quan no s'especifica la seua configuració, generalment s'assumix que s'està parlant d'una piràmide quadrada "regular", com les conegudes piràmides d'Egipte.

Elements

D'acort en les denominacions de la primera image de l'artícul:

• [B] Base: és el polígon els punts del qual són els extrems dels segments que s'unixen en el punt exterior.
• [C] Centroide de la base: centre del polígon que forma la base.
• [v_i] Vèrtiços de la base: punts que definixen la base.
• [A] Vèrtiç de la piràmide: també denominat àpiç o cim, és el punt exterior al pla de la base, formada a la seua volta pels seus propis vèrtiços.
• [h] Altura: és el segment perpendicular al pla de la base traçat des del vèrtiç de la piràmide. També ho és la seua mida. En les piràmides rectes regulars, l'altura passa pel centroide de la base.
• [P] #Apotema de la piràmide: és un segment tendit perpendicularmente des del vèrtiç de la piràmide a un costat de la base.
• [p] #Apotema de la base: és un segment tendit perpendicularmente des del centroide de la base a un dels seus costats.
• Aresta lateral: és el segment que unix cada vèrtiç de la base en l'àpiç de la piràmide.
• Cara lateral: en unir cada costat de la base pels seus extrems en el vèrtiç de la piràmide es determina una regió triangular, cridada cara lateral.

Tipos de piràmides

Segons la posició del cim sobre la base

Una piràmide recta és un tipo de piràmide en el que la proyecció ortogonal de la cim sobre la base coincidix en el centroide.

Una piràmide oblicua és una piràmide que no és recta. Si la base d'una piràmide oblicua és un polígon regular, és possible que no totes les seues cares laterals són triànguls isósceles. És dir, alguna de les seues cares laterals no és un triàngul isósceles.

Una piràmide aguda té la proyecció del cim per dins de la base.

Una piràmide en àngul recte (o rectangular) té la proyecció del cim sobre un costat o vèrtiç de la base.

Una piràmide obtusa té la proyecció del cim per fòra de la base.

Esta classificació pren com a referència una cara de la piràmide, designada com la seua base, i el tipo pot canviar si es canvia la cara de referència de la mateixa piràmide.

Segons la forma de les seues cares

Una piràmide de base regular és una piràmide la base de la qual és un polígon regular.

Una piràmide regular és una piràmide recta i de base regular. Les seues cares laterals són totes triànguls isósceles idèntics l'altura dels quals correspon al #apotema de la piràmide. Solament existixen tres piràmides d'este tipo en les cares triànguls equiláteros: el tetraedre (piràmide triangular), la piràmide quadrada i la piràmide pentagonal.

Una piràmide convexa té com a base un polígon convexo.

Una piràmide cóncava té com a base un polígon cóncau.

Piràmides rectes de base regular

Una piràmide recta de base regular té les seues cares laterals formades per triànguls isósceles, en simetria C_nv o [1,n], d'orde 2n. Se li assigna un símbol de Schläfli estés ( ) ∨ {n}, que representa un punt, ( ), unit (desplaçat ortogonalmente) a un polígon regular, {n}. L'operació d'unió crea una nova aresta entre tots els parells de vèrtiços (en un de cada una dels dos figures, punt i polígon) units entre sí.

La piràmide triangular o trigonal que les seues totes les seues cares són triànguls equiláteros és un tetraedre regular, un dels sòlits platònics. Un cas de simetria inferior de la piràmide triangular és C_3v, que implica que té una base en forma de triàngul equilátero i 3 costats que són triànguls isósceles idèntics. Les piràmides quadrades i pentagonals també poden estar compostes per polígons regulars convexos, en el cas dels quals són sòlits de Johnson.

Si totes les arestes d'una piràmide quadrada (o qualsevol poliedre convexo) són tangentes a una esfera de modo que la mija aritmètica de les coordenades dels punts de tangència coincidix en el centre de l'esfera, llavors es diu que la piràmide és canònica, i forma la mitat d'un octaedre regular.

Les piràmides de base hexagonal o superior deuen estar compostes per triànguls isósceles. Una piràmide hexagonal en triànguls equiláteros seria una figura completament plana, i en una heptagonal o superior la #apotema dels triànguls no té la llongitut necessària per a poder unir-se al vèrtiç.

Piràmides
Digonal	Triangular	Quadrada	Pentagonal	Hexagonal	Heptagonal	Octogonal	Eneagonal	Decagonal...
Impròpia	Regular	Equilátera		Isósceles

Piràmides estrelades rectes

Les piràmides rectes en bases en forma de polígon estrelat regular es denominen piràmides estrelades. Per eixemple, la piràmide pentagrámica té per base una estrela pentagonal i 5 costats triangulars que es creuen entre sí.

Piràmides rectes de base irregular

Piràmides rectes

Piràmide rectangular; piràmide ròmbica i una piràmide recta general en vèrtiç sobre el centroide d'un polígon base

Una piràmide recta es pot descriure per mig de la notació com ( )∨P, a on ( ) representa l'àpiç, ∨ és l'operador unió i P és el polígon base.

Un tetraedre recte sobre un triàngul isósceles es pot anotar d'atres tres formes: com ( )∨[( )∨{ }], que descriu l'unió del punt en els vèrtiços d'una base en forma de triàngul isósceles composta per un atre punt i un segment; com [( )∨( )]∨{ }, que descriu l'unió de dos punts que a la seua volta s'unixen en un segment; o com { }∨{ }, que descriu l'unió de dos segments ortogonals entre sí (un disfenoide digonal en quatre cares isósceles). Posseïx simetria C_1v a partir de dos orientacions base-àpiç diferents, i C_2v en la seua simetria completa.

Una piràmide recta rectangular, anotada com ( )∨[{ }×{ }], i una piràmide ròmbica, anotada com ( )∨[{ }+{ }], posseïxen simetria C_2v.

Àrea

Àrea d'un polígon regular

L'àrea d'un polígon regular pot calcular-se en funció de la llongitut de cada costat i del seu número de costats. Un polígon regular de n costats pot dividir-se en n triànguls isósceles (equiláteros en el cas del hexàgon regular) les bases del qual són els costats del polígon regular. La altura de cada u d'estos triànguls és una #apotema del polígon regular i dividix cada u dels triànguls isósceles en dos triànguls rectànguls, dividint aixina el polígon en 2n triànguls rectànguls.

L'àrea del polígon regular (A_b) és igual a la suma de les àrees dels triànguls rectànguls (A_t):

$A_b=2n\cdot A_t=2n\frac{\frac{l}{2}a}{2}=\frac{n}{2}l\cdot a$

A on a és la #apotema del polígon regular. Per a calcular la llongitut de la #apotema s'aplica la trigonometria.

Aparte: Es deu calcular la #apotema a, a on α és l'àngul del vèrtiç del triàngul rectàngul que coincidix en el centre del polígon regular:

$\tan (\alpha )=\frac{\frac{l}{2}}{a}$

$\tan (\alpha )=\frac{l}{2\cdot a}$

$a=\frac{l}{2\cdot \tan (\alpha )}$

Ara, reemplaçant el valor de la #apotema a en l'àrea del polígon regular (A_b) tenim:

$A_b=\frac{n}{2}l\cdot a=\frac{n}{2}l\cdot \frac{l}{2\cdot \tan (\alpha )}=\frac{n}{4}{l}^2\cdot \cot (\alpha )$

El valor de l'àngul α resulta de dividir el àngul complet (2π) pel número de triànguls rectànguls (2n), després $\alpha =2\pi /2n=\pi /n$.

(1) $A_b=\frac{n}{4}{l}^2\cdot \cot \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Àrea lateral d'una piràmide

L'àrea lateral d'una piràmide és la suma de les àrees de les cares laterals pel número de cares laterals.

(2) $A_l=n\cdot \frac{l\cdot a_p}{2}=\frac{p\cdot a_p}{2}$

A on a_p és la #apotema de la piràmide i p és el perímetro de la base.

La #apotema de la piràmide (a_p) pot calcular-se a partir de la #apotema de la base (a_b) i de l'altura de la piràmide (h) aplicant el teorema de Pitágoras.

$a_p^2=a_b^2+h^2$

Àrea total d'una piràmide

L'àrea total de la piràmide és la suma de l'àrea de la base i l'àrea lateral.

(3) $A=A_b+A_l$

En el cas d'una piràmide regular, substituint l'àrea de la base (1) i l'àrea lateral (2) en l'equació (3), s'obté:

$A=\frac{n}{4}{l}^2\cdot \cot \left(\frac{\pi }{n}\right)+\frac{p\cdot a_p}{2}$

Volum

El volum d'una piràmide pot obtindre's per mig de càlcul diferencial. El àrea d'un pla de cort travessera és directament proporcional a l'àrea de la base (A_b) i al quadrat de la distància del pla de cort respecte al vèrtiç de la piràmide. Esta distància (d) és la diferència entre l'altura de la piràmide (h) i altura del pla de cort (z).

$d=h-z$

Per lo tant, l'àrea d'un pla de cort travessera situat a una altura z per damunt de la base és

$A\left(z\right)=A_b\frac{d^2}{h^2}=A_b\frac{(h-z{)}^2}{h^2}$

El volum d'una piràmide es pot trobar coneixent l'àrea de la seua base i la seua altura, independentment de la forma de la base i de la posició de l'àpiç en un pla paralel a la base.

$V=\underset{0}{\overset{h}{\int }}A\left(z\right)dz=A_b\underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{(h-z{)}^2}{h^2}dz=-A_b\frac{(h-z{)}^3}{3h^2}{|}_0^h$

(4) $V=\frac{A_{b}h}{3}$

Esta fòrmula també és vàlida per al con, ya que no depén de la forma de la base, sino de la seua àrea.

El matemàtic i astrònom indi Aryabhata va deduir la fòrmula utilisant un método similar, que apareix en la seua obra titulada Aryabhatiya (secció 2.6), que data de l'any 499 a. C.

Volum d'una piràmide regular

El volum d'una piràmide la base de la qual és un polígon regular pot calcular-se a partir del costat del polígon regular que definix la seua base i de l'altura de la piràmide. Substituint l'àrea de la base A_b (1) en l'equació del volum de la piràmide (4) s'obté:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{4}\cdot l^2\cdot \cot \left(\frac{\pi }{n}\right)\cdot h$

$V=\frac{n}{12}\cdot l^2\cdot h\cdot \cot \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Com un polígon regular és inscriptible, pot usar-se el radi r de la circumferència circumscrita, l'àngul α interior del polígon, l'altura h i el número n de costats, i calcular, en dits senyes, el volum subjecte a la següent fòrmula:

$V=\frac{n}{6}h{r}^2\mathrm{sen}2\alpha$

La fòrmula del volum d'una piràmide també es pot deduir a partir de raonaments geomètrics, sense necessitat de realisar càlcul algun:

• A partir d'un prisma de base triangular:

Donat un prisma recte triangular de bases ABC i DEF, obtindre el seu volum és immediat:

V_prisma = Base · altura = Àrea (ABC) · AD

A continuació, es descompon en tres piràmides. Per a facilitar la comprensió del dibuix, es denominen en els punts de la base entre paréntesis acompanyats del vèrtiç (encara que en tindre totes les seues cares triangulars, l'elecció del vèrtiç és arbitrària):

Piràmide roja = (ABC)I // Piràmide blava = (DEF)C // Piràmide verda = (ACD)I

La piràmide roja i la blava cada una té com a base una de les dos bases del prisma, en l'única llimitació de que els seus vèrtiços respectius (cada u en la base contrària) no poden estar en la mateixa aresta vertical. Les tres piràmides reblixen per complet el prisma, ya que la piràmide verda queda definida pel buit que deixen les atres dos, que tal com s'han definit, no compartixen volum algun.

Ya que les bases de les piràmides roja i blava són iguals, i les seues altures fins al vèrtiç també (per definició del prisma, BE = CF), llavors el seu volum és el mateix; és dir: V_roja = V_blau

Per un atre costat, canviant l'ordenació dels vèrtiços, la piràmide verda i la piràmide blava posseïxen una cara cada una que tenen la mateixa àrea (cada una de les seues bases ocupa la mitat del paralelogramo (ACFD), per #lo que Àrea (ACD) = Àrea (CFD)), i ademés estan en un mateix pla. Si es considera que l'atre punt que compartixen, el punt I, és el vèrtiç de les dos piràmides, la distància del punt I al pla que passa per la cara (ACFD) és única, i és l'altura tant de la piràmide verda com de la blava. En conseqüència, si les àrees de les bases i les altures de les dos piràmides són iguals, llavors:

V_vert = V (ACD)I = V (CFD)I = V_blau

Análogamente (encara que es deduïx de forma directa a partir de que V_roja = V_blau = V_vert), es pot comprovar que, reordenando els punts:

V_vert = V (ADE)C = V (ABE)C = V_roig = V_piràmide

En conseqüència,

V_prisma = V_roig + V_blau + V_vert = 3 · V_piràmide

i per lo tant:

V_piràmide = V_prisma / 3

• A partir d'una gaveta:

En el cas de piràmides rectes en base rectangular, basta considerar una gaveta unitària, i dibuixar llínees des del centre de la gaveta fins a cada u dels 8 vèrtiços. Açò dividix la gaveta en 6 piràmides quadrades iguals, de base en àrea 1 i altura 1/2. Cada piràmide clarament té un volum d'1/6 de la gaveta. D'ací es deduïx que el volum de la piràmide = altura × àrea de la base / 3.

Una atra manera de demostrar-ho és generar directament tres piràmides en lloc de sis, utilisant com a àpiç un dels vèrtiços de la gaveta en lloc del seu centre (vejau l'image de la dreta). En este cas, basta elegir les tres cares que rodegen a un vèrtiç qualsevol de la gaveta, i utilisar el vèrtiç que queda lliure com a àpiç de les tres piràmides que es generen. És immediat comprovar que les tres piràmides tenen el mateix volum, ya que les tres tenen bases iguals (les tres cares de la gaveta elegides) i la mateixa altura (les tres arestes de la gaveta que partixen del vèrtiç elegit com a àpiç de les tres piràmides).

A continuació, s'expandix la gaveta uniformemente en tres direccions en cantitats desiguals, per a que les arestes sòlides rectangulars resultants siguen a, b i c, en un volum sòlit abc. Cada una de les 6 piràmides internes també s'expandix. I cada piràmide té el mateix volum abc/6. Ya que els parells de piràmides tenen altures a/2, b/2 i c/2, s'observa que el volum de la piràmide = altura × àrea de la base / 3 novament.

Quan els triànguls de la piràmide són equiláteros, la fòrmula per a trobar el seu volum és (sent $s$ la llongitut del costat del triàngul, i $n$ el número de costats de la base):

$V=\frac{1}{12}n{s}^3\cot \left(\frac{\pi }{n}\right)\sqrt{1-\frac{1}{4{\mathrm{sen}}^2\frac{\pi }{n}}}.$

Esta fòrmula solament s'aplica per a n = 2, 3, 4 i 5; i també cobrix el cas n = 6, per al que el volum és igual a zero (és dir, l'altura de la piràmide és zero).

Centroide, centre de masses i centre de gravetat

El centroide o baricentre d'un tetraedre regular està situat en la seua altura. El punt a on es tallen les quatre possibles altures, es troba a una distància de la base igual a:

$h_b=\frac{1}{4}\cdot h$

és dir, el centre de gravetat d'una piràmide de densitat i camp uniforme està situat a una distància de la base igual a un quarto de la seua altura.

Coincidix en el centre de masses d'un tetraedre regular de densitat uniforme. També coincidix en el centre de gravetat d'un tetraedre regular de densitat uniforme en un camp gravitacional uniforme.

Formulari general

La taula conté fòrmules per a les propietats geomètriques d'una piràmide recta regular general en la columna 2, i en les columnes 3 i 4 específicament per als casos $n=4$ i $n=3$.

Dimensions d'una piràmide regular en altura $h$ i un $n$-ágono regular de costat $a$ com a base
	Cas general	Piràmide quadrada	Piràmide triangular regular
Volum	$V=\frac{n{a}^{2}h}{12}\cot \left(\frac{\pi }{n}\right)$	$V=\frac{a^{2}h}{3}$	$V=\frac{a^{2}h}{12}\sqrt{3}$
Superfície	$O=\frac{na}{4}(a\cot \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sqrt{4h^2+a^2{\cot }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)})$	$O=a^2+a\sqrt{4h^2+a^2}$	$O=\frac{3a}{4}(\frac{a}{3}\sqrt{3}+\sqrt{4h^2+\frac{a^2}{3}})$
Llongitut d'aresta lateral	$l={(h^2+\frac{a^2}{4{\mathrm{sen}}^2\left(\frac{\pi }{n}\right)})}^{\frac{1}{2}}$	$l=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}$	$l=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{3}}$
Ràdio de l'esfera circumscrita	$r_u=\frac{h}{2}+\frac{a^2}{8h{\mathrm{sen}}^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}$	$r_u=\frac{h}{2}+\frac{a^2}{4h}$	$r_u=\frac{h}{2}+\frac{a^2}{6h}$
Ràdio de l'esfera inscrita	$r_i=\frac{ah}{a+\sqrt{4h^2{\tan }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)+a^2}}$	$r_i=\frac{ah}{a+\sqrt{4h^2+a^2}}$	$r_i=\frac{ah}{a+\sqrt{12h^2+a^2}}$
Ànguls base dels triànguls isósceles ${\alpha }_2={\alpha }_1$	${\alpha }_1=\arctan \left(\frac{1}{a}\sqrt{4h^2+a^2{\cot }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}\right)$	${\alpha }_1=\arctan \left(\frac{1}{a}\sqrt{4h^2+a^2}\right)$	${\alpha }_1=\arctan \left(\frac{1}{a}\sqrt{4h^2+\frac{a^2}{3}}\right)$
Àngul en el vèrtiç dels triànguls isósceles	${\alpha }_3=2\arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4h^2+a^2{\cot }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}}\right)$	${\alpha }_3=2\arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4h^2+a^2}}\right)$	${\alpha }_3=2\arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4h^2+\frac{a^2}{3}}}\right)$
Àngul entre la base i els triànguls isósceles	${\beta }_1=\arctan \left(\frac{2h\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}{a}\right)$	${\beta }_1=\arctan \left(\frac{2h}{a}\right)$	${\beta }_1=\arctan \left(\frac{2\sqrt{3}h}{a}\right)$
Ànguls entre els triànguls isósceles	${\beta }_2=2\arctan \left(\frac{1}{2h}{\left(\frac{4h^2{\mathrm{sen}}^2\left(\frac{\pi }{n}\right)+a^2}{{\tan }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)-{\mathrm{sen}}^2\left(\frac{\pi }{n}\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)$	${\beta }_2=2\arctan \left(\frac{1}{2h}\sqrt{4h^2+2a^2}\right)$	${\beta }_2=2\arctan \left(\frac{1}{3h}\sqrt{3h^2+a^2}\right)$
Àngul entre la vora lateral i la base	$\gamma =\arctan \left(\frac{2h\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{n}\right)}{a}\right)$	$\gamma =\arctan \left(\frac{2h}{\sqrt{2}a}\right)$	$\gamma =\arctan \left(\frac{\sqrt{3}h}{a}\right)$
Àngul sòlit en la base	${\Omega }_1=4\arctan \left(\sqrt{\tan \left(\frac{2{\beta }_1+{\beta }_2}{4}\right)\tan \left(\frac{2{\beta }_1-{\beta }_2}{4}\right){\tan }^2\left(\frac{{\beta }_2}{4}\right)}\right)$
Àngul sòlit en el vèrtiç	${\Omega }_2=2\pi -2n\arcsin (\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\sqrt{{\tan }^2\left(\frac{\pi }{n}\right)-{\tan }^2\left(\frac{{\alpha }_3}{2}\right)})$

Piràmide pentagonal en un icosaedre

Casos especials:

Per a certs valors de $n$ i $h$ existixen conexions en els sòlits platònics:

• Per a $n=3$ i $h=\frac{a}{3}\sqrt{6}$ s'obté un tetraedre regular.
• Per a $n=4$ i $h=\frac{a}{2}\sqrt{2}$ s'obté una piràmide quadrada que és la mitat d'un octaedre regular.
• Per a $n=5$ i $h=\frac{a}{10}\sqrt{50-10\sqrt{5}}$ es genera una piràmide pentagonal que forma part del icosaedre.

Volum màxim per a una superfície total donada

Archiu:Pyram-reg-n-max-keg.svg

Piràmides de volum màxim donada la seua superfície total (inclosa la base) $O$,
Colo roig: con en la mateixa propietat i la mateixa superfície
$V_{Piram}/V_{Cono}$:
$n=3:0,78n=4:0,89$
$n=6:0,95n=10:0,98$

Entre totes les piràmides uniformes de n costats en àrea de superfície donada $O$ (inclosa la base), per a la de major volum es complix que:

$a=\sqrt{\frac{O}{n\cot \frac{\pi }{n}}},$

$h=\sqrt{2O}\sqrt{\frac{\cot \frac{\pi }{n}}{n}}=\sqrt{\frac{2O}{\pi }}\cdot \sqrt{\frac{\pi }{n}\cot \frac{\pi }{n}}$

i per lo tant s'aplica que $h=a\sqrt{2}\cot \frac{\pi }{n}$.

El circunradio del polígon base és

$r_u=\frac{a}{2\mathrm{sen}\frac{\pi }{n}}=\sqrt{\frac{O}{4\pi }}\cdot \sqrt{\frac{\frac{2\pi }{n}}{\mathrm{sen}\frac{2\pi }{n}}}$.

El volum màxim és $V=\frac{O}{12}\sqrt{\frac{2O}{\pi }}\cdot \sqrt{\frac{\pi }{n}\cot \frac{\pi }{n}}$.

Quan $n$ tendix a infinit, $a$ decreix monòtonament cap a $0$ i $h$ aumenta monòtonament cap a $h_c=\sqrt{\frac{2O}{\pi }}$. Esta última és l'altura d'un con en volum màxim per a una superfície donada $O$. Per a obtindre este resultat, es partix del llímit conegut $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}x}{x}=1$.

El radi del círcul base del con que maximizar el volum és $r_c=\sqrt{\frac{O}{4\pi }}$,
la seua altura és $h_c=2\sqrt{2}{r}_c=\sqrt{\frac{2O}{\pi }}$
i el seu volum val $V_c=\frac{O}{12}\sqrt{\frac{2O}{\pi }}$.

La relació entre els volums és: $V_{Piram}/V_{Cono}=\sqrt{\frac{\pi }{n}\cot \frac{\pi }{n}}$,
tendint a 1 per a $n\to \mathrm{\infty }$.

Piràmide homotética de volum la mitat

Donada una piràmide recta d'altura h, la piràmide homotética el volum de la qual és la mitat tindrà una altura h':

$h^{\prime }=h\cdot \sqrt[3]{1/2}$

Demostració

Un pla paralel a la base, situat a dita distància del cim, tallarà a la piràmide en dos parts d'igual volum. Per a calcular-la, es deu trobar la raó de la homotecia, el coeficient pel que es deuen multiplicar les llongituts dels costats de la base i l'altura, per a obtindre les dimensions de la piràmide homotética el volum de la qual medix la mitat del total.

Si el volum total de la piràmide és:

$V=\frac{a\cdot b\cdot h}{3}$

La piràmide el volum de la qual és la mitat, tindrà:

$V^{\prime }=\frac{ka\cdot kb\cdot kh}{3}$

sent k la raó de la homotecia, el coeficient de proporcionalitat.

Com

$V^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot V$

es deduïx que

$\frac{ka\cdot kb\cdot kh}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\cdot b\cdot h}{3}$

simplificant

$k^3\cdot a\cdot b\cdot h=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot h$

$k^3=\frac{1}{2}$

$k=\sqrt[3]{1/2}$

La raó de la homotecia és k=0,79370053 aproximadament.

Relació en el con circular

Es pot usar una successió de piràmides regulars que tenen un polígon regular com base en cada volta més costats per a aproximar un con, que per definició té una circumferència com a base.

Si la base de la piràmide és un polígon regular en $n$ costats, el successió que tendix alinfinits'aproxima al perímetro d'una circumferència. El con circular pot entendre's com una piràmide regular, per aixina dir-ho, a on la base té un número infinit de vèrtiços i la llongitut del costat té el llímit 0.

Açò permet deduir el volum del con de la manera que s'explica a continuació.

Usant la fòrmula del àrea d'un polígon regular en $n$ costats, el volum $V$ de la piràmide regular s'obté a partir de l'àrea de la circumferència circumscrita al polígon de la base, de ràdio $r_u$:

$V=\frac{Gh}{3}=n\frac{r_u^2}{2}\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi }{n}\right)\frac{h}{3}=\frac{n{r}_u^{2}h}{6}\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi }{n}\right)$

Per a determinar el volum d'un con, es pot calcular el llímit quan $n$ tendix a infinit. Este llímit s'obté per mig de la fòrmula $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}x}{x}=1$:

$V_{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Gh}{3}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n{r}_u^{2}h}{6}\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi }{n}\right)$

$=\frac{r_u^{2}h}{6}2\pi \cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{sen}\left(\frac{2\pi }{n}\right)}{\frac{2\pi }{n}}=\frac{r_u^{2}h}{6}2\pi \cdot 1=\frac{1}{3}\pi r_u^2\cdot h$

Piràmides n-dimensionals

Una piràmide bidimensional és un triàngul, format per una vora base conectat a un punt no colineal cridat àpiç.

Una piràmide de 4 dimensions es diu piràmide poliedral, i està constituïda per un poliedre contingut en un 3-hiperplano d'un espai de 4 dimensions i per un punt situat fòra d'eixe 3-hiperplano, que es conecta en tots els vèrtiços del poliedre.

Les piràmides de dimensions superiors es construïxen de manera similar.

La família de símplices inclou piràmides en qualsevol dimensió, aumentant a espais de major orde per a formar successivament triànguls, tetraedres, pentacorones, 5-símplex, etc.

Un símplex n-dimensional té com a mínim n+1 vèrtiços, en tots els parells de vèrtiços conectats per arestes, totes les ternes de vèrtiços que definixen cares, tots els grups de quatre punts que definixen celes tetraèdriques, i aixina successivament.

Piràmide polièdrica

En geometria de 4 dimensions, una piràmide polièdrica és un polícoro construït per un poliedre com a cela base i un punt àpiç. Les cares laterals són celes piramidals, cada una construïda per una cara del poliedre base i el vèrtiç. Els vèrtiços i les arestes de les piràmides polièdriques formen eixemples de grafos d'àpiç, gràfics formats en agregar un vèrtiç (l'àpiç) a un grafo pla (el grafo associat a la base).

El pentácoron regular (o 4-símplex) és un eixemple d'una piràmide tetraèdrica de quatre dimensions. Els poliedres uniformes en circunradio menor que 1 es poden fer piràmides polièdriques en costats tetraèdrics regulars. Un poliedre en v vèrtiços, i arestes i f cares pot ser la base d'una piràmide polièdrica en v+1 vèrtiços, i+v arestes, f+i cares i 1+f celes.

Una "piràmide polièdrica" 4D en simetria axial es pot visualisar en 3D en un diagrama de Schlegel, una proyecció 3D que coloca el vèrtiç en el centre del poliedre base.

Piràmides basades en poliedres uniformes equiláteros (Diagrames de Schlegel)

Simetria	[1,1,4]	[1,2,3]	[1,3,3]	[1,4,3]		[1,5,3]
Nom	Piràmide quadrada-piramidal	Piràmide de prisma triangular	Pentácoron	Piràmide cúbica	Piràmide octaèdrica	Piràmide icosaédrica
Índex de la segmentocora	K4.4	K4.7	K4.1	K4.26.1	K4.3	K4.84
Altura	0.707107	0.645497	0.790569	0.500000	0.707107	0.309017
Image de la base
Base	Piràmide quadrada	Prisma triangular	Tetraedre	Gaveta	Octaedre	Icosaedre

Qualsevol 4-politopo convexo es pot dividir en piràmides polièdriques agregant un punt interior i creant una piràmide des de cada faceta fins al punt central. Açò pot ser útil per a calcular volums.

El "hipervolumen" de 4 dimensions d'una piràmide polièdrica és 1/4 del volum del poliedre base per la seua altura perpendicular, en comparació a l'àrea d'un triàngul que és 1/2 de la llongitut de la base per l'altura i el volum d'una piràmide és 1/3 de l'àrea de la base per l'altura.

El volum de superfície tridimensional d'una piràmide polièdrica és $SV=B+\frac{1}{3}AL$, a on $B$ és el volum de la base, $A$ és l'àrea de la superfície de la base i $L$ és l'altura inclinada (altura de les celes piramidals laterals). A la seua volta, $L=\sqrt{h^2+r^2}$, a on $h$ és l'altura i $r$ és el radi interior.

Vore també

• Piràmide
• Tronc de piràmide
• Tetraedre
• Eudoxo de Cnidos
• Bipirámide (unió de dos piràmides per les seues bases)
• Con
• Geometria molecular piramidal trigonal

Llectures adicionals

• William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 46 Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers [3] archivat en Wayback Machine.

• Wenninger, Magnus J. (1974). Polyhedron Models (en anglés), Cambridge University Press, p. 50. ISBN 978-0-521-09859-5..

Enllaços externs

Pyramids (geometry) en Wikimedia Commons.

• Piràmide en MathWorld.