Anar al contingut

Aryabhata

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Archiu:2064 aryabhata-crp.jpg
Aryabhata


Aryabhata o Aryabhata I[1][2] (cap a 476-550) va ser el primer gran matemàtic i astrònom de l'era clàssica de la matemàtica i l'astronomia índias.

L'obra de Aryabhata tracta, principalment, sobre la matemàtica i l'astronomia; també va treballar en l'aproximació del número π.

Biografia

[editar | editar còdic]

Nomene

[editar | editar còdic]
  • Āryabhaṭa en el sistema AITS (alfabet internacional de transliteración sánscrita)
  • [ariabáta] (pronunciació aproximada)
  • आर्यभटः en lletra devanagari per a l'escritura de l'idioma sánscrito

A pesar de que és usual transliterar el seu nom com Aryabhatta ―en analogia en atres noms que tenen el sufix "bhatta"―, el nom correcte és Aryabhaṭa o Aryabhata: cada text astronòmic deletrea el seu nom aixina,[3] incloent les més de cent voltes en que Brahmagupta ho nomena.[4]

Data i lloc de naiximent

[editar | editar còdic]

Aryabhata menciona en el Aryabhatiya que havien transcorregut 3630 anys en l'era de Kali iuga, quan tenia 23 anys. Açò correspon a l'any 499, i implica que havia naixcut en 476.[5]

Aryabhata va nàixer en Taregana (lliteralment, 'cançó de les estreles'), el qual és un chicotet poble en Bihar, Índia, al voltant de 30 km de la ciutat Pataliputra (actualment Patna), i que actualment la capital de l'estat de Bihar. Les evidències justifiquen el seu naiximent ahí. En Taregana, Aryabhata va establir en el sigle VI un Observatori Astronòmic en el Temple del Sol.

No hi ha proves de que haja naixcut fòra de Patliputra i viajat a Magadha, el centre d'instrucció, cultura i coneiximent pels seus estudis, a on inclús va fundar un institut d'ensenyança.[6] No obstant, els primers texts budistes descriuen a Ashmaka com més al sur, en dakshinapath o el Decán, mentres que atres texts descriuen que els Ashmakas havien barallat en Alejandro Magne.

Educació

[editar | editar còdic]

Hi ha prou certea de que, en algun punt, va anar a Kusumapura per a estudis alvançats i va viure ahí per un temps.[7] Tant la tradició hindú com la budista, aixina com Bhaskara I (629), identifiquen a Kusumapura com a Pāṭaliputra, la moderna Patna.[3]

Un vers menciona que Aryabhata va ser el cap d'una institució (kulapati) en Kusumapura i, degut a que l'universitat de Nalanda estava en Pataliputra en eixe temps i tenia un observatori astronòmic, s'especula que Aryabhata pugues haver segut també el cap de l'universitat de Nalanda.[3] Aryabhata té aixina mateix la reputació d'haver creat un observatori en el temple del Sol en Taregana, Bihar.[8]

Atres #conjectura

[editar | editar còdic]

Alguna evidència arqueològica sugerix que Aryabhata va poder haver tingut orige en l'actual Kodungallur, que va ser la ciutat capital històrica de Thiruvanchikkulam de l'antic Kerala.[9] Per eixemple, una hipòtesis va ser que aśmaka (sánscrito para "rocós, pétreo") pot ser la regió en Kerala que ara és coneguda com Koṭoṅṅallūr, basat en la creència de que es coneixia anteriorment com Koṭum-Kal-l-ūr ("ciutat de pedres dures"); no obstant, vells registres mostren que la ciutat era de fet Koṭum-kol-ūr ("ciutat de gobernanza estricta"). De manera similar, el fet de que varis comentaris en la Aryabhatiya hagen vingut des de Kerala, va servir per a sugerir que va ser el lloc principal de vida i activitat de Aryabhata; no obstant, molts comentaris han vingut de fòra de Kerala.


Aryabhata menciona "Lanka" en moltes ocasions en el Aryabhatiya, pero el seu "Lanka" és una abstracció, ocupant un punt en l'equador a la mateixa llongitut que la seua Ujjain.[10]

Obra

[editar | editar còdic]

Aryabhata és l'autor de varis tractats en matemàtiques i astronomia, alguns dels quals estan perduts. El seu major treball, Aryabhatiya, un compendio de matemàtiques i astronomia, va ser referit de manera extensa en la lliteratura matemàtica de l'Índia i ha sobrevixcut als temps moderns. La part matemàtica del Aryabhatiya cobrix aritmètica, àlgebra, trigonometria plana i trigonometria esfèrica. També conté fraccions contínues, equacions quadràtiques, sumes de series de potències i una taula de sens.

El Arya-siddhanta, un treball considerable sobre càlculs astronòmics, és conegut a través dels escrits del contemporàneu de Aryabhata, Varaja Mijira i posteriors matemàtics i comentaristes, incloent a Brahmagupta i Bhaskara I. Este treball sembla estar basat en el més vell Suria-siddhanta i usa el càlcul del migdia-nit, en contraposició a l'eixida del sol en Aryabhatiya. També contenia una descripció de varis instruments astronòmics: el gnòmon (shanku-iantra), un instrument d'ombres (chhAyA-iantra), possiblement dispositius per a medir ànguls, semicírculs i círculs (dhanur-iantra / chakra-iantra), un pal cilíndric iasti-iantra, un dispositiu en forma de parasol cridat chhatra-iantra, i rellonges d'aigua d'a lo manco dos tipos, en forma de flecha i cilíndrics.[6]

Un tercer text, el qual pugues haver sobrevixcut en la traducció àrap, és Al ntf o Al-nanf. Afirma ser una traducció de Aryabhata, pero es desconeix el nom en sánscrito d'este treball. Provablement datat del sigle IX, és mencionat per Al-Biruni, l'erudit persa i croniste de l'Índia.[6]

Aryabhatiya

[editar | editar còdic]

Els detalls directes del treball de Aryabhata són coneguts únicament a partir del Aryabhatiya. Este nom li va ser donat a esta obra per comentaristes posteriors. El propi Aryabhata podria no haver-li donat un nom. El seu discípul Bhaskara I ho crida Aśmakatantra (o el tractat dels aśmaka o ashmaka). En ocasions és referit també com Aryaśatasaṣṭa (lliteralment, els 108 de Aryabhata), degut a que hi ha 108 versos en el text. Està escrit en l'estil lacónico típic de la lliteratura sutra, en la qual cada llínea és una ajuda a la memòria per a un sistema complex. Aixina, l'explicació del significat és deguda a comentaristes. El text consistix en 108 versos i 13 versos introductoris, i està dividit en quatre pādonas o capítuls:

  1. Gitikapada: (13 versos): grans unitats de temps (kalpa, manvantra i yuga), els quals presenten una cosmologia diferent a texts anteriors com el Vedanga Jyotisha de Lagadha's (c. sigle I a. C.). Hi ha també una taula de sens (jya), donada en un únic vers. La duració de les revolucions planetàries durant un mahayuga està donada com 4,32 millons d'anys.
  2. Ganitapada (33 versos): cobrix medició (kṣetra vyāvahāra), aritmètica i progressions geomètriques, gnòmon/ombres (śankuchāiā), equacions simples, quadràtiques, simultànees i indeterminades.
  3. Kalakriyapada (25 versos): diferents unitats de temps i un método per a determinar les posicions dels planetes per a un dia donat, càlculs relacionats en el més bisiesto (adhikamāsa), kṣayatithis, i una semana de sèt dies en noms per als dies de la semana.
  4. Golapada (50 versos): aspectes geomètrics/trigonométricos de l'esfera celest, característiques de l'eclíptica, l'equador celest, nodo, forma de la Terra, la causa del dia i la nit, la pujada dels signes zodiacales en l'horisó, etc. Ademés, algunes versions citen alguns colofons afegits al final, enaltint les virtuts del treball, etc.

El Aryabhatiya va presentar un número d'innovacions en matemàtiques i astronomia en forma de vers, les quals varen ser influents durant molts sigles. L'extrema brevetat del text va ser explicada en detalle en comentaris del seu discípul Bhaskara I (Bhashya, c. 600) i per Nilakantha Somayaji en el seu Aryabhatiya Bhasya (1465). Va ser no solament el primer en trobar el radi de la Terra, sino que va ser l'únic en els temps antics, incloent als grecs i romans, en trobar el volum de la Terra.

Matemàtiques

[editar | editar còdic]

Sistema de notació posicional i el zero

[editar | editar còdic]

El sistema de notació posicional, vist per primera volta en el Manuscrit Bakhshali del sigle III, estava clarament dins de la seua obra. Mentres que ell no utilisava un símbol per al zero, el matemàtic francés Georges Ifrah explica que el coneiximent del zero estava implícit en el sistema de notació posicional de Aryabhata com un marcador de posició per a les potències de dèu en coeficients nuls.

No obstant, Aryabhata no va utilisar la numeració brahmi. Continuant en la tradició sánscrita del periodo védico, va utilisar les lletres de l'alfabet per a denotar números, expressant cantitats, tals com la taula de sens en una forma in a mnemotècnica.Erro en la cita: Element <ref> no vàlit; les referencies sense nom deuen de tindre contingut

Aproximació de π

[editar | editar còdic]

Aryabhata va treballar en l'aproximació del número π, i pot haver aplegat a la conclusió de que π és irracional. En la segona part del Aryabhatiyam (gaṇitapādona 10), ell escriu:


Açò implica que la relació entre la circumferència i el diàmetro és ((4 + 100) × 8 + 62000)/20000 = 62832/20000 = 3,1416, lo que és exacte fins a cinc sifres significatives.

S'especula que Aryabhata va utilisar la paraula āsanna (aproximació), per a indicar que no solament és açò una aproximació sino que el valor és incommensurable (o irracional). Si açò és correcte, és una comprensió prou sofisticada, degut a que l'irracionalitat de π va ser provada en Europa encara en 1761 per Johann Heinrich Lambert.Erro en la cita: Element <ref> no vàlit; les referencies sense nom deuen de tindre contingut


En acabant de que Aryabhatiya fora traduït a l'àrap (c. 820) esta aproximació va ser mencionada en el llibre d'Al-Juarismi sobre àlgebra.[6]

Trigonometria

[editar | editar còdic]

En Ganitapada 6, Aryabhata dona l'àrea d'un triàngul com

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

que es traduïx com: "per a un triàngul, el resultat d'una perpendicular en el semi-costat és l'àrea."

Aryabhata va discutir el concepte de sen en la seua obra en el nom de ardha-jya, que lliteralment significa "mig-concorde". per simplicitat, la gent va començar cridant-ho jya. Quan els escritors àraps varen traduir les seues obres del sánscrito a l'àrap, ells ho varen referir com jiba. No obstant, en els escrits àraps les vocals s'ometen, i va ser escrit simplement com <jb>. Posteriorment els escritors ho varen substituir com en jaib, que significa "bojaca" o "doblez" (en una penyora); en àrap, jiba és una paraula sense significat. Despuix en el sigle XII, quan Gerardo de Cremona va traduir estos escrits de l'àrap al llatí, va reemplaçar el jaib àrap en el seu contraparte llatina, sinus, que significa "curva" o "cavitat". El còdic alfabètic ha segut usat per ell per a definir un conjunt d'increments. Si s'usa la taula de Aryabhata i es calcula el valor de sense(30) (corresponent a hasjha) el qual és 1719/3438 = 0,5, el valor és correcte. El seu còdic alfabètic és comunament conegut com la sifra de Aryabhata.

Equacions indeterminades

[editar | editar còdic]

Un problema de gran interés per als matemàtics de l'Índia des de temps antics ha segut trobar solucions sanceres a equacions que tenen la forma ax + by = c, un tema que ha aplegat a ser conegut com equacions diofánticas. Açò és un eixemple del comentari de Bhāskara sobre Aryabhatiya:

Trobar el número que dona 5 com el residu quan és dividit per 8, 4 com el residu quan és dividit per 9, i 1 com el residu quan és dividit per 7

Açò és, trobar N = 8x+5 = 9i+4 = 7z+1. Resulta que el valor més chicotet per a N és 85. En general, les equacions diofánticas poden ser notablement difícils. Varen ser discutides de manera extensa en els antics texts védicos Shulba-sutras, els fragments dels quals més antics poden datar des de 800 a. C. El método de Aryabhata per a resoldre tals problemes és cridat el método kuṭṭaka (कुट्टक). Kuttaka significa "polvorisar" o "trencar en chicotetes peces", i el método involucra un algoritme recursivo per a escriure els factors originals en números més menuts. Actualment este algoritme, elaborat per Bhaskara en 621, és el método estàndar per a resoldre equacions diofánticas de primer orde i és a voltes referit com l'algoritme de Aryabhata.[11] Les equacions diofánticas són d'interés en criptología, i la Conferència RSA 2006, es va concentrar en el método kuttaka i el treball previ en els Shulba-sutras.

Àlgebra

[editar | editar còdic]

En Aryabhatiya Aryabhata va proporcionar resultats elegants per a la suma dels quadrats i les gavetes dels n primers naturals:[12]

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6

i

13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)2

Resultats usats, actualment, en calcular àrees per mig d'integral definida[13]

Astronomia

[editar | editar còdic]

El sistema de Aryabhata d'astronomia va ser cridat el sistema audAyaka, en el qual els dies són contats a partir de uday, començant en lanka o "equador". Alguns dels seus posteriors escrits en astronomia, els quals aparentment proponien un segon model (o ardha-rAtrikA, mijanit) estan perduts pero poden ser parcialment reconstruïts a partir de la discussió en el khanDakhAdyaka de Brahmagupta. En alguns texts, sembla atribuir els moviments aparents del cel a la rotació de la Terra. Ell pot haver cregut que les òrbites del planeta són elíptiques en lloc de circulares.[14][15]

Moviments del sistema solar

[editar | editar còdic]

Aryabhata correctament va insistir que la Terra trencada sobre el seu eix diàriament, i que el moviment aparent de les estreles és un moviment relatiu causat per la rotació de la Terra, de manera contrària al punt de vista prevaleciente llavors en atres parts del món, que era el cel el que rotaba. Açò s'indica en el primer capítul del Aryabhatiya, a on dona el número de rotacions de la Terra en un yuga,[16] i ho va fer més explícit en el seu capítul gola:[17]

In the same way that someone in a boat going forward sees an unmoving [object] going backward, baix [someone] on the equator sees the unmoving stars going uniformly westward. The cause of rising and setting [is that] the sphere of the stars together with the planets [apparently?] turns due west at the equator, constantly pushed by the cosmic wind. De la mateixa manera en que algú en un pot anant cap a avant veu un [objecte] immòvil anar cap a arrere, aixina [algú] en l'equador veu les estreles immòvils anant uniformemente cap a l'oest. La causa de l'eixida i la posada [és que] l'esfera de les estreles junt en els planetes [¿aparentment?] gira cap a l'oest en l'equador, espentat constantment pel vent còsmic.

Aryabhata va descriure un model geocéntrico del sistema solar, en el qual el Sol i la Lluna són cada u transportats per epiciclos. Ells a la seua volta giren al voltant de la Terra. En este model, el qual es troba també en el Paitāmahasiddhānta (c. 425), els moviments dels planetes són cada u governats per dos epiciclos, un més chicotet mana (llent) i un més gran śīghra (ràpit). [18] L'orde dels planetes en térmens de distància des de la Terra és pres com: la Lluna, Mercurio, Venus, el Sol, Mart, Júpiter, Saturn, i l'asterisme."[6]

Les posicions i els periodos dels planetes varen ser calculats de manera relativa a punts movent-se uniformemente. En el cas de Mercurio i Venus, es mouen al voltant de la Terra a la mateixa velocitat mija que el Sol. En el cas de Mart, Júpiter i Saturn, ells es movien al voltant de la Terra a velocitats específiques, representant el moviment de cada planeta a través del zodiaco. La majoria dels historiadors d'astronomia consideren que este model de dos epiciclos reflectix elements de l'astronomia en l'Antiga Grècia pre-Ptolomeica.[19]

Un atre element en el model de Aryabhata, el śīghrocca, el periodo planetari bàsic en relació en el Sol, és vist per alguns historiadors com una senyal d'un subjacent model heliocéntrico.[20]

Eclipses

[editar | editar còdic]

Els eclipses solars i llunars varen ser explicats científicament per Aryabhata. Aryabhata va afirmar que la Lluna i els planetes lluïxen per mig de la llum solar reflectida. En lloc de la cosmogonia prevaleciente en la qual els eclipses eren causats pels nodos pseudo-planetaris Rajú i Ketu, ell explica els eclipses en térmens d'ombres proyectades sobre la Terra. Aixina, l'eclipse llunar ocorre quan la Lluna entra en l'ombra de la Terra (vers gola.37). Ell analisa en detalle el tamany i l'alcanç de l'ombra de la Terra (versos gola.38–48) i llavors proveïx els càlculs i el tamany de la part eclipsada durant un eclipse. Posteriorment astrònoms hindús varen millorar els càlculs, pero els métodos de Aryabhata varen proporcionar lo essencial. El seu pardigma computacional va ser tan precís que el científic del sigle XVIII Guillaume Li Gentil, durant una visita a Pondicherry, Índia, va trobar que els càlculs hindús de la duració de l'eclipse llunar del 30 d'agost de 1765 eren curts per 41 segons, mentres que les seues gràfiques (per Tobias Mayer, 1752) eren llarcs per 68 segons.[6]

Periodos siderales

[editar | editar còdic]

En unitats modernes de temps, Aryabhata va calcular la rotació sideral (la rotació de la Terra en referència les estreles fixes) com 23 hores, 56 minuts, i 4.1 segons;[21] el valor modern és 23:56:4.091. De manera similar, el seu valor per a la llongitut del any sidéreo en 365 dies, 6 hores, 12 minuts, i 30 segons (365,25858 dies)[22] té un error de 3 minuts i 20 segons sobre la llongitut d'un any (365,25636 dies).[23]

Heliocentrismo

[editar | editar còdic]

Com ha segut mencionat, Aryabhata va defendre un model astronòmic en el qual la Terra gira sobre el seu propi eix. El seu model també va donar correccions (l'anomalia śīgra) per a les velocitats dels planetes en el cel en térmens de la velocitat mija del Sol. Aixina, ha segut sugerit que els càlculs de Aryabhata estaven basats en un subjacent model heliocéntrico, en el qual els planetes orbitan al voltant del Sol,[24][25][26] encara que açò ha segut rebatut.[27]


També s'ha sugerit que aspectes del sistema de Aryabhata poden haver segut derivats d'un model heliocéntrico anterior, provablement grec pretolemeico, el qual era desconegut per als astrònoms hindús,[28] encara que l'evidència és escassa.[29] El consens general és que una anomalia sinódica (depenent de la posició del Sol) no implica una òrbita heliocéntrica físicament (estant tals correccions presents també en posteriors texts astronòmics babilònics), i que el sistema de Aryabhata no era explícitament heliocéntrico.[30]

Llegat

[editar | editar còdic]

L'obra de Aryabhata va ser de gran influència en la tradició astronòmica de l'Índia i va influenciar a vàries cultures veïnes per mig de traduccions. La traducció àrap durant l'Edat d'Or de l'islam (c. 820), va ser influenciada de manera particular. Alguns dels seus resultats són citats per Al-Juarismi i en el sigle X Al-Biruni va afirmar que els seguidors de Aryabhata creïen que la Terra rotaba sobre el seu propi eix.

Les seues definicions de sen (yia), coseno (koyia), verseno (utkrama-yia), i sen invers (otkram-yia) varen influir en el naiximent de la trigonometria. Ell va anar també el primer en especificar taules de sen i verseno (1 − cos x), en intervals de 3.75° des de 0° a 90°, en una precisió de 4 sifres decimals.

De fet, els noms moderns "sen" i "coseno" són transcripcions errades de les paraules jya i kojya introduïdes per Aryabhata. Com ha segut mencionat, varen ser traduïdes com jiba i kojiba en àrap i malentender per Gerardo de Cremona mentres traduïa un text àrap de geometria al llatí. Ell va assumir que jiba era la paraula àrap jaib, que significa "doblez en una penyora", L. sinus (c. 1150).

Els métodos de càlcul astronòmic de Aryabhata eren també molt influents. Junt en les taules trigonométricas, varen aplegar a ser àmpliament utilisats en el món islàmic i varen ser utilisats per a computar moltes taules astronòmiques àraps (zij). En particular, les taules astronòmiques en el treball del científic de l'Espanya àrap Azarquiel (XI) s'havien traduït al llatí com les Taules de Toledo (XII) i varen permanéixer com les efemérides més precises utilisades en Europa per sigles.

Els càlculs de calendaris ideats per Aryabhata i els seus seguidors han segut d'us continu en Índia per als propòsits pràctics d'ajustar el Panchangam (el calendari hindú). En el món islàmic, varen formar la base del calendari jalali introduït en 1073 per un grup d'astrònoms incloent a Omar Jayam,[31] versions les quals (modificades en 1925) són els calendaris nacionals en us actualment en Iran i Afganistan. Les dates del calendari jalali estan basades en el trànsit solar actual, com en els calendaris de Aryabhata i anteriors calendaris Siddhanta. Este tipo de calendari requerix una efeméride per a calcular les dates. Encara que les dates eren difícils de calcular, els errors estacionals eren menors en el calendari jalali que en el calendari gregoriano.


El primer satèlit artificial de l'Índia, el satèlit Aryabhata, i el cràter llunar Aryabhata són nomenats aixina en el seu honor. Un institut per a la realisació d'investigacions en astronomia, astrofísica i ciències atmosfèriques és l'Aryabhatta Research Institute of Observational Sciences (ARIS) prop de Nainital, Índia. La competició interescolar Aryabhata Maths Competition és també nomenada en el seu honor,[32] aixina com el Bacillus aryabhata, una espècie de bactèria descoberta per científics de l'Agència Índia d'Investigació Espacial en 2009.[33]

Vore també

[editar | editar còdic]

Notes i referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ «Aryabhata the Elder». andrews.ac.uk. Consultat el 18 de juliol de 2012.
  2. ↑ Britannica Educational Publishing (15 d'agost de 2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement, The Rosen Publishing Group, pp. 97–. ISBN 978-1-61530-218-5.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 K. V. Sarma(2001).Indian Journal of History of Science.36(4)
    105–115.
  4. ↑ Bhau Daji (1865). Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland, p. 392.
  5. ↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada Yadav2010
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada Ansari
  7. ↑ Cooke (1997). «The Mathematics of the Hindus», (en anglés), p. 204. «Aryabhata himself (one of at least two mathematicians bearing that name) lived in the clapix fifth and the early sixth centuries at Kusumapura (Pataliutra, a village near the city of Patna) and wrote a book called Aryabhatiya.»
  8. ↑ «Get ready for solar eclipse». National Council of Science Museums, Ministry of Culture, Government of Índia. Archivat des d'el original, el 21 de juliol de 2011. Consultat el 9 de decembre de 2009.
  9. ↑ Menon. An Introduction to the History and Philosophy of Science, Pearson Education Índia, pp. 52–. ISBN 978-81-317-2890-1.
  10. ↑ Vegen-se:
    * Clark 1930
    * (2000) Indian Astronomy: An Introduction (en anglés), Orient Blackswan, p. 82. ISBN 978-81-7371-205-0.: "In Indian astronomy, the prime meridian is the great circle of the Earth passing through the north and south poles, Ujjayinī and Laṅkā, where Laṅkā was assumed to be on the Earth's equator."
    * (2003) Ancient Indian Astronomy (en anglés), Alpha Science Int'l Ltd., p. 200. ISBN 978-81-7319-432-0.: "Seven cardinal points llaure then defined on the equator, one of them called Laṅkā, at the intersection of the equator with the meridional line through Ujjaini. This Laṅkā is, of course, a fanciful name and has nothing to do with the island of Sri Laṅkā."
    * Classical Muhurta (en anglés), Kala Occult Publishers, p. 44. ISBN 978-0-9709636-2-8.: "The point on the equator that is below the city of Ujjain is known, according to the Siddhantas, as Lanka. (This is not the Lanka that is now known as Sri Lanka; Aryabhata is very clear in stating that Lanka is 23 degrees south of Ujjain.)"
    * (2006) Pride of Índia: A Glimpse into Índia's Scientific Heritage, SAMSKRITA BHARATI, p. 63. ISBN 978-81-87276-27-2.
    * (1989) The Surya Siddhanta: A Textbook of Hindu Astronomy, Motilal Banarsidass Publ., p. 46. ISBN 978-81-208-0612-2.
  11. ↑ Amartya K Dutta, "Diophantine equations: The Kuttaka", Resonance, octubre de 2002. Vore també el resum previ: Mathematics in Ancient Índia.
  12. ↑ Boyer (1991). «The Mathematics of the Hindus», A History of Mathematics, segona edició (en anglés), John Wiley & Sons, Inc., p. 207. ISBN 0-471-54397-7. «"He gave more elegant rules for the sum of the squares and cubes of an initial segment of the positive integers. The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the séries is the sum of the cubes."»
  13. ↑ Càlcul en geometria analítica de Fraleigh o un atre text
  14. ↑ (en anglés) J. J. O'Connor and I. F. Robertson, Aryabhata the Elder
    "He believes that the Moon and planets shine by reflected sunlight, incredibly he believes that the orbits of the planets llaure ellipses."
  15. ↑ Hayashi (2008), Aryabhata I
  16. ↑ Aryabhatiya 1.3ab, vejau Plofker 2009, p. 111.
  17. ↑ [achalAni bhAni samapashchimagAni ... – golapAda.9–10]. Traducció de K. S. Shukla i K.V. Sarma, K. V. Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa, Nova Delhi: Indian National Science Academy, 1976. Citat en Plofker 2009.
  18. ↑ pp. 127–9.
  19. ↑ Otto Neugebauer, "The Transmission of Planetary Theories in Ancient and Medieval Astronomy," Scripta Mathematica, 22 (1956), pp. 165–192; reimpreso en Otto Neugebauer, Astronomy and History: Selected Essays, Nova York: Springer-Verlag, 1983, pp. 129–156. ISBN 0-387-90844-7
  20. ↑ Hugh Thurston, Early Astronomy, Nova York: Springer-Verlag, 1996, pp. 178–189. ISBN 0-387-94822-8
  21. ↑ R.C.Gupta (31 de juliol de 1997). Helaine Selin (ed.). Encyclopaedia of the history of science, technology, and medicine in senar-western cultures, Springer, p. 72. ISBN 978-0-7923-4066-9.
  22. ↑ Ansari, p. 13, Taula 1
  23. ↑ Aryabhatiya Plantilla:Lang-mr, Mohan Apte, Pune, Índia, Rajhans Publications, 2009, p.25, ISBN 978-81-7434-480-9
  24. ↑ El concepte de heliocentrismo hindú ha segut defés per B. L. van der Waerden, Dones heliozentrische System in der griechischen, persischen und indischen Astronomie. Naturforschenden Gesellschaft in Zürich. Zürich:Kommissionsverlag Leeman AG, 1970.
  25. ↑ B.L. van der Waerden, "The Heliocentric System in Greek, Persian and Hindu Astronomy", en David A. King i George Saliba, ed., From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of I. S. Kennedy, Annals of the New York Academy of Science, 500 (1987), pp. 529–534.
  26. ↑ Hugh Thurston (1996). Early Astronomy, Springer, p. 188. ISBN 0-387-94822-8.
  27. ↑ Noel Swerdlow, "Review: A Lost Monument of Indian Astronomy," Isis, 64 (1973): 239–243.
  28. ↑ Encara que a Aristarco de Samos (sigle III a. C.) se li acredita en tindre una teoria heliocéntrica, la versió de l'astronomia grega coneguda en l'antiga Índia com el Paulisa Siddhanta no fa referència a tal teoria.
  29. ↑ Dennis Duke, "The Equant in Índia: The Mathematical Basis of Ancient Indian Planetary Models." Archive for History of Exact Sciences 59 (2005): 563–576, n. 4 [1]
  30. ↑ Kim Plofker (2009). Mathematics in Índia, Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 111. ISBN 0-691-12067-6.
  31. ↑ [enllaç trencat]
  32. ↑ «[2]», The Hindu. Consultat el 6 de juliol de 2007.
  33. ↑ «Comunicat de prensa ISRO del 16 de març de 2009». ISRO. Archivat des d'el original, el 20 de novembre de 2012. Consultat el 24 de juny de 2012.

Referències adicionals

[editar | editar còdic]
  • Kak, Subhash C. (2000). 'Birth and Early Development of Indian Astronomy'. In
  • Shukla, Kripa Shankar. Aryabhata: Indian Mathematician and Astronomer. New Delhi: Indian National Science Academy, 1976.

Enllaços externs

[editar | editar còdic]

Commons


Referències

[editar | editar còdic]
Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Aryabhata&oldid=664362»