Càlcul vectorial

El càlcul vectorial o multivariable, també cridat anàlisis vectorial, és la branca de les matemàtiques que aplica els conceptes del anàlisis matemàtic a les funcions vectorials. Estes són funcions entre espais vectorials, és dir, que poden tindre vàries variables i donen com resultat un vector en una o vàries dimensions. El càlcul vectorial estudia els llímits, continuïtat, diferenciabilidad i integració d'estes funcions, de modo anàlec a com l'anàlisis real estudia les funcions reals d'una variable.

El càlcul vectorial té importants aplicacions en física i ingenieria. Moltes magnituts en física poden estudiar-se per mig de camps vectorials, que associen un vector a cada punt en l'espai (o un escalar en el cas particular dels camps escalares) i per tant són funcions vectorials. Per eixemple, la distribució de temperaturas de l'atmòsfera és un camp escalar: cada punt té associat un valor de temperatura distint que varia gradualment d'un punt a un atre. Per contra, la velocitat del vent és un camp vectorial: cada punt té associat un vector que representa la direcció i magnitut del fluix d'aire.

La derivada d'una funció vectorial és tècnicament una aplicació llineal i per tant ve donada per una matriu, cridada matriu jacobiana. En el cas particular dels camps escalares la derivada és una matriu fila (un vector) cridada gradient que apunta en la direcció cap a la que més aumenta el valor del camp. Atres operadors diferencials d'interés són el rotacional (o rotor), la divergència i el laplaciano. L'integració de funcions a lo llarc d'un domini de dimensió superior a un es resol, gràcies al Teorema de Fubini, per mig d'integrals múltiples, sent necessàries tantes com a dimensions tinga l'espai. Les teoremes de Green, de Stokes i de la divergència relacionen vàries d'estes operacions entre sí.

El càlcul vectorial es val de les ferramentes de l'anàlisis (tradicionalment cridat càlcul infinitesimal) i del àlgebra llineal. El seu àmbit d'estudi són els espais euclídeos, reals o complexos, i les funcions entre estos. A la seua volta, la generalisació a varietats (com poden ser les superfícies) és la geometria diferencial.

Història

L'estudi dels vectores s'origina en l'invenció dels cuaterniones d'Hamilton, qui junt a uns atres els varen desenrollar com a ferramenta matemàtiques per a l'exploració de l'espai físic. Pero els resultats varen ser desilusionantes, perque varen vore que els cuaterniones eren massa complicats per a entendre'ls en rapidea i aplicar-los fàcilment.

Els cuaterniones contenien una part escalar i una part vectorial, i les dificultats sorgien quan estes parts es manejaven al mateix temps. Els científics es varen donar conte de que molts problemes es podien manejar considerant la part vectorial per separat i aixina va començar el Anàlisis Vectorial.

Este treball es deu principalment al físic nortamericà Josiah Willard Gibbs (1839-1903) i al físic matemàtic anglés Oliver Heaviside^[1] (1850-1925).

Recentment, s'ha desenrollat el Càlcul Fraccional de Conjunts (en anglés, Fractional Calculus of Sets o FCS) com una metodologia derivada del Càlcul Fraccional. Esta metodologia, mencionada per primera volta en l'artícul "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",^[2] té com a objectiu caracterisar i organisar els elements del càlcul fraccional per mig de l'us de conjunts, aprofitant la varietat d'operadors fraccionales disponibles en la lliteratura.^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

Actualment, el càlcul fraccional carix d'una definició unificada de lo que constituïx una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{d^�lpha}{dx^�lpha}. }

Els operadors fraccionales tenen vàries representacions, pero una de les seues propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mida que Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �lpha o n} . Considerant una funció escalar $h : m a t h b b R^{m} o m a t h b b R$ i la base canònica de $m a t h b b R^{m}$ denotada per ${h a t i_{k}}_{k g e q 1}$ , el següent operador fraccional d'orde Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �lpha} es definix utilisant notació d'Einstein:^[9]

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle o_x^�lpha h(x) := hat{i}_k o_k^�lpha h(x). }

Denotant $p a r t i a l_{k}^{n}$ com la derivada parcial d'orde $n$ sobre el component $k$ -ésimo del vector $x$ , es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle O_{x,�lpha}^n(h) := left{ o_x^�lpha : exists o_k^�lpha h(x) ext{ i } lim_{�lpha o n} o_k^�lpha h(x) = partial_k^n h(x) �orall k geq 1 ight}. }

Càlcul diferencial en camps escalares i vectorials

Funcions de Rⁿ en R^m. Campos escalares i vectorials

Formularem les definicions per a camps vectorials. També seran vàlides para camps escalares. Siga

m a t h b f f : V l o n g r i g h t a r r o w W

un camp vectorial que fa correspondre a tot punt P definit biunívocamente per la seua vector posició, un vector Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf{f}�ig (mathbf{OP}�ig )} a on el punt O és el nostre orige de coordenades.

V s u b s e t e q m a t h b b R^{n}, W s u b s e t e q m a t h b b R^{m},

en

n > 1

i

m g e q s l a n t 1

. Quan

m = 1

tenim un camp escalar. Per a

m > 1

tenim un camp vectorial. Utilisarem la norma euclídea per a trobar la magnitut dels vectorés.

Llímits i continuïtat

Si $m a t h b f a i n m a t h b b R^{n}$ i $m a t h b f b i n m a t h b b R^{m} .$ Escrivim:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle lim_{mathbf{x} o mathbf{a}}mathbf{f}�ig (mathbf{x}�ig )=mathbf{b}} ,

o be,

m a t h b f f (m a t h b f x) i g h t a r r o w m a t h b f b

quan

m a t h b f x i g h t a r r o w m a t h b f a

per a expressar lo següent:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle lim_{�ig |mathbf{x-a}�ig | o 0}�ig |mathbf{f}�ig (mathbf{x}�ig ) - mathbf{b}�ig | = 0}

a on Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ig |mathbf{x}�ig |} és la norma euclídea de $m a t h b f x$ . Expressant-ho en funció de les components de Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf{x} = �ig (x_1,ldots,x_n�ig ), mathbf{a} = �ig (a_1,ldots,a_n�ig ),}

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle lim_{�ig (x_1,ldots,x_n�ig ) o �ig (a_1,ldots,a_n�ig )}mathbf{f}�ig (x_1,ldots,x_n�ig ) = mathbf{b}}

o, de forma equivalent,

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle lim_{mathbf{x} o mathbf{a}}mathbf{f}�ig (mathbf{x}�ig ) = mathbf{b}}

Diem que una funció $m a t h b f f$ és contínua en Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf{a} Leftrightarrow lim_{mathbf{x} o mathbf{a}}mathbf{f}�ig (mathbf{x}�ig ) = mathbf{f}�ig (mathbf{a}�ig )}

Derivades direccionals

Derivada d'un camp escalar respecte a un vector

Derivades parcials

{{Definició|1=Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle ## <math>mathbf{F}�ig (mathbf{x}�ig )} és definida negativa $R i g h t a r r o w f$ té un màxim local (màxim relatiu) en $m a t h b f x$ .

1. Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf{F}�ig (mathbf{x}�ig )} és indefinida $R i g h t a r r o w f$ té un punt de ensilladura en $m a t h b f x$ .

En lo anteriorment expost, hem supost que <math>

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cálculo vectorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] ttp://worrydream.com/refs/crowe-HistoryOfVectorAnalysis.pdf secció 5

[2] Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods

[3] A review of definitions for fractional derivatives and integral

[4] A review of definitions of fractional derivatives and other operators

[5] How many fractional derivatives llaure there?

[6] Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers

[7] Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming

[8] Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications

[9] Einstein summation for multidimensional arrays

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]